Группа 1-10 Математика

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения: 24.03.2020г Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа № 1-10

литература: А.В. Погорелов Учебник математики

Тема: «Перпендикуляр и наклонная»

Цели урока:

Образовательные – ввести понятие расстояния от точки до плоскости, наклонной и проекции; рассмотреть свойства наклонных; показать применение этих свойств при решении задачи; обеспечить восприятие учебного материала с помощью презентации;

Развивающие – способствовать формированию ключевых компетенций, а также активизации творческой деятельности учащихся;

Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике, умению четко организовывать работу.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Методы обучения: словесный, наглядный, деятельностный

Формы обучения: коллективная, индивидуальная

Средства обучения:

(в том числе технические средства обучения)

Компьютер, печатные средства (раздаточный материал).

Содержание урока:

План урока:

• Организационный момент (2 мин).

• Постановка цели урока. (1 мин).

• Актуализация опорных знаний (4 мин).

• Изучение нового материала (15 мин).

• Закрепление изученного материала (20 мин).

• Домашнее задание (1 мин).

• Подведение итогов (2 мин).

Ход урока:

1. Организационный момент.

Сегодня мы познакомимся с понятиями перпендикуляра, наклонной и проекции.

2. Постановка цели урока.

Запишите тему урока: «Перпендикуляр и наклонная». А скажите, исходя из темы урока, какова цель сегодняшнего занятия?
Итак, цель нашего урока – познакомиться, что такое перпендикуляр, наклонная.

3. Актуализация опорных знаний.

Проводится в форме фронтальной работы с классом.

• Каким может быть взаимное расположение прямых в пространстве?

• Какие две прямые называются  параллельными в пространстве?

• Дать определение скрещивающихся прямых.

• Дать определение перпендикулярных прямых в пространстве.

• Сформулируйте определение прямой перпендикулярной  плоскости.

• Сформулируйте свойства перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Изучение нового материала.

• Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н – основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведём отрезок АМ. Он называется наклонной,, проведенной из точки А к плоскости α, а точка

М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.

Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости. Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α.

Замечания:

• Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости.

• Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью является расстояние от произвольной точки прямой до плоскости.

• Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

3) Решение примеров на доске

Задача. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки F до верин квадрата, если BF=8дм, АВ=4дм

Ответ: 

5. Закрепление изученного материала.

Учитель: Решаем задания № 13. №14. №16 стр37 (Погорелов Л.С. «Геометрия» 10-11 класс).

6. Домашнее задание.

№15 стр 37

7. Подведение итогов.

Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения: 25.03.2020г Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа № 1-10

литература: А.В. Погорелов

тип урока: изучение новой темы

Тема урока: «Теорема о трёх перпендикулярах».

Цели урока:

обучающие:

• знать теорему о трех перпендикулярах и уметь применять ее при решении задач;

развивающие:

• уметь логически мыслить, точно выражать свои мысли, творчески подойти к поставленной задаче;

воспитательные:

• воспитать точность, аккуратность, любовь к предмету; показать красоту предмета.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: иллюстративно-словесный (комментируется ход доказательства теоремы, решаются задачи на применение теоремы).

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная.

Средства обучения:

(в том числе технические средства обучения)

Компьютер, мультимедийный проектор, экран, принтер, печатные средства (раздаточный материал).

Содержание урока:

План урока:

• Организационный момент (2 мин).

• Постановка цели урока. (1 мин).

• Актуализация опорных знаний (4 мин).

• Изучение нового материала (15 мин).

• Закрепление изученного материала (20 мин).

• Домашнее задание (1 мин).

• Подведение итогов (2 мин).

• Резерв.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.

2. Постановка цели урока.

Сегодня мы с вами узнаем теорему о трех перпендикулярах и научимся решать и доказывать задачи в пространстве с помощью это теоремы.

3. Актуализация опорных знаний.

Проводится в форме фронтальной работы с классом.

• Способы задания плоскости;

• Какие прямые в пространстве называются параллельными?

• Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

• Определение перпендикулярности прямой и плоскости;

• Признак перпендикулярности прямой и плоскости;

• Как проверить  перпендикулярность  прямой и плоскости с помощью строительного угольника?

• Сформулируйте теорему о перпендикулярности плоскости одной из параллельных прямых;

• Что называется перпендикуляром к плоскости?

• Что называется наклонной к плоскости?

• Что называется проекцией наклонной на плоскость?

4. Изучение нового материала.

Учитель: Открывайте тетради, записывайте сегодняшнее число и тему урока «Теорема о трёх перпендикулярах».

Учитель:

• Запишите в тетрадях теорему о трёх перпендикулярах:

Теорема 1. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство:

. Прямая перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым и , лежащим в плоскости (по условию и, так как . Отсюда следует, что прямая перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , в частности . ЧТД.

Обратная теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

2) Решение примеров на доске:

Задача 1. В треугольнике угол прямой, а - перпендикуляр к плоскости . Доказать, что - прямоугольный.

Доказательство: 

Пусть треугольник лежит в плоскости . Так как перпендикулярна плоскости , то . Прямую рассмотрим как наклонную к плоскости , тогда будет проекцией на плоскость . По условию, так как в , то . Таким образом по теореме о трех перпендикулярах из того что и , следует, что . Получаем, что в угол прямой, а значит - прямоугольный. ЧТД

Задача 2. Из вершины квадрата со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр длиной 12 см. Доказать, что треугольник - прямоугольный и найти его площадь.

Решение: Сделаем рисунок

Обозначим - плоскость, в которой лежит квадрат . По условию , тогда . Если рассмотреть как наклонную к плоскости , то является её проекцией на эту плоскость. Так как - квадрат, . С другой стороны можно рассматривать как прямую, проведенную в плоскости через основание наклонной перпендикулярную ее проекции . Тогда по теореме о трех перпендикулярах и . Таким образом, - прямоугольный.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как полупроизведение катетов и . Для нахождения , рассмотрим . Он прямоугольный, , в этом треугольнике является гипотенузой. Запишем для этого треугольника теорему Пифагора: . По условию см и см. Подставляя эти значения в последнее равенство, получим:

Формула для нахождения площади запишется следующим образом:

Подставляя в это равенство заданное значение см и найденное значение см, получим: (см²)

5. Закрепление изученного материала.

Учитель: Решаем задания №25.№26 №29 стр 38 (а) (А.В. Погорелов «Геометрия» 10-11 класс).

6. Домашнее задание

№23 «Геометрия» 10-11 класс.

7. Подведение итогов.

Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения: 26.03.2020г Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа № 1-10

литература: А.В.Погорелов

тип урока: изучение новой темы

Тема урока: «Признак перпендикулярности плоскостей».

Цель урока: введение понятия угла между плоскостями.

Задачи:

Образовательная: дать определение перпендикулярных плоскостей, доказать признак перпендикулярности двух плоскостей;

Развивающая: развитие внимания, познавательной активности, памяти, мышления;

Воспитательная: воспитание аккуратности, внимательности, культуры математической речи.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный

Оборудование: компьютер

Литература:

• Геометрия. 10-11 классы : А. В. Погорелов

План урока:

• Организационный момент (2 мин)

• Актуализация знаний (5 мин)

• Изучение нового материала (12 мин)

• Закрепление изученного материала (21 мин)

• Домашнее задание (2 мин)

• Подведение итогов (3 мин)

Ход урока:

1. Организационный момент.

Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.

2. Актуализация опорных знаний.

Учитель: какие прямые называются перпендикулярными?

Учитель: какие плоскости называются перпенд-ми?

3.Изучение нового материала.

Учитель: Открывайте тетради, записывайте сегодняшнее число и тему урока.

Признак перпендикулярности плоскостей.

Учитель: При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Углом между пересекающимися плоскостями называется линейный угол φ этого двугранного угла, который 0° ≤ 90°

Учитель: Если φ = 90°, то плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными)

Учитель: Приведите примеры взаимно перпендикулярных плоскостей.

Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А .Доказать: α ⊥ β.

 

Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD - линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD = 90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β. Запишите теорему и её доказательство в тетради и сделайте чертёж.

Запись на доске и в тетрадях:

Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А .Доказать: α ⊥ β.

 

Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD - линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD = 90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β.

4.Закрепление изученного материала.

Учитель: При решении задач используются утверждения:

• Плоскость, перпендикулярная к ребру двугранного угла, перпендикулярна к его граням (следствие).

• Перпендикуляр, проведенный из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к линии их пересечения, есть перпендикуляр к другой плоскости

Учитель: Решим №3 (1;2;4) и №8

Прямые АВ. АС и АD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если:

1)АВ=3см, ВС=7см, AD=1,5 см

5.Подведение итогов.

Учитель: Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Ученики: Узнали какие плоскости называются перпендикулярными, признак перпендикулярности плоскостей.

6.Домашнее задание.

№3(3) стр 36 №4

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения: 1.04.2020г Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа № 1-10

 Литература.

• А.В. Погорелов. Учебник 10-11. М. “Просвещение”, 2010г.

Тема: Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние между точками.

Цели урока:

Образовательные: Рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве; вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка.

Развивающие: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.

Воспитательные: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Оборудование: Чертежные принадлежности

Тип урока: Урок изучения нового материала

Структура урока:

• Организационный момент.

• Актуализация опорных знаний.

• Изучение нового материала.

• Актуализация новых знаний

• Итог урока.

Ход урока

• Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую.

В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 – 1650) впервые введшего координаты в геометрию.

(Рассказ ученика об Рене Декарте.)

Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени — Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.

После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.

Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.

• Повторение. Прямоугольная система координат на плоскости.

• Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат обозначается буквой O.

Ох – ось абсцисс,

Оу – ось ординат,

Оz – ось аппликата

Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оzх.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты.

М (х,у,z), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.

Расстояние между точками

Есть две произвольные точки A₁(x₁;y₁;z₁) и A₂(x₂;y₂;z₂)

Тогда расстояние между точками A₁ и A₂ вычисляется так:

Координаты середины отрезка в пространстве

Задание№1

Есть две произвольные точки A₁(x₁;y₁;z₁) и A₂(x₂;y₂;z₂). Тогда серединой отрезка A₁A₂ будет точка С с координатами x, y, z, где

• А)Найдите координаты ортогональных проекций точек A(1, 3, 4) и B(5, -6, 2) на: а) плоскость Oxy; б) плоскость Oyz; в) ось Ox; г) ось Oz. 

Б) На каком расстоянии находится точка A(1, -2, 3) от координатной плоскости: а) Oxy; б) Oxz; в) Oyz? 

В)Найдите координаты середины отрезка: а) AB, если A(1, 2, 3) и B(-1, 0, 1); б) CD, если C(3, 3, 0) и D(3, -1, 2).

Задание№2

Найти длину отрезка:

А (1;2;3;) и В (-1; 0; 5)

А (1;2;3) и В (х; 2 ;-3)

Задание №3

Найдите координаты точки М - середины отрезка

А(2;3;2), В (0;2;4) и С (4;1;0)

АС

АВ

Является ли точка В серединой отрезка АС?

построить рисунок фронтально-диметрической проекции осей.

Рассмотреть положение осей в соответствии с черчением.

Построить точку с заданными координатами А (2; - 3)

Построить точку с заданными координатами А (1; 2; 3 ).

5.закрепление
решаем задачи № 29. №31. №35 стр38

6.Итог урока.

• Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?

• Как определяются координаты точки в пространстве?

• Чуму равна координата начала координат?

• Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?

• Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?

Домашнее задание № 33 стр38

Оценивание учащихся

 Литература.

• А.В. Погорелов. Учебник 10-11. М. “Просвещение”, 2010г.

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения: 2.04.2020г Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа № 1-10

литература: Погорелов

тип урока: изучение новой темы

Тема: Угол между скрещивающимися прямыми

Цель урока: формирование понятия угла между скрещивающимися прямыми, а также умений учащихся находить углы между скрещивающимися прямыми.

Развивать мышление, память.

Воспитать интерес к уроку.

Оборудование: стереометрический набор, модели куба, тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда.

Ход урока

1. орг. момент

 

2. Проверка домашнего задания

3. изучение нового материала

К определению угла между скрещивающимися прямыми будем подходить постепенно.

Сначала напомним определение скрещивающихся прямых: две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Из этого определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, и, тем более, не совпадают, иначе они обе лежали бы в некоторой плоскости.

Приведем еще вспомогательные рассуждения.

Пусть в трехмерном пространстве заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Построим прямые a₁ и b₁ так, чтобы они были параллельны скрещивающимся прямым a и b соответственно и проходили через некоторую точку пространства M₁. Таким образом, мы получим две пересекающиеся прямые a₁ и b₁. Пусть угол между пересекающимися прямыми a₁ и b₁ равен углу  . Теперь построим прямые a₂ и b₂, параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно, проходящие через точку М₂, отличную от точки М₁. Угол между пересекающимися прямыми a₂ и b₂ также будет равен углу  . Это утверждение справедливо, так как прямые a₁ и b₁ совпадут с прямыми a₂ и b₂ соответственно, если выполнить параллельный перенос, при котором точка М₁ перейдет в точку М₂. Таким образом, мера угла между двумя пересекающимися в точке М прямыми, соответственно параллельными заданным скрещивающимся прямым, не зависит от выбора точки М.

Теперь мы готовы к тому, чтобы дать определение угла между скрещивающимися прямыми.

Определение.

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Из определения следует, что угол между скрещивающимися прямыми также не будет зависеть от выбора точки M. Поэтому в качестве точки М можно взять любую точку, принадлежащую одной из скрещивающихся прямых.

Приведем иллюстрацию определения угла между скрещивающимися прямыми.

К началу страницы

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Так как угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол между пересекающимися прямым, то нахождение угла между скрещивающимися прямыми сводится к нахождению угла между соответствующими пересекающимися прямыми в трехмерном пространстве.

Несомненно, для нахождения угла между скрещивающимися прямыми подходят методы, изучаемые на уроках геометрии в средней школе. То есть, выполнив необходимые построения, можно связать искомый угол с каким-либо известным из условия углом, основываясь на равенстве или подобии фигур, в некоторых случаях поможет теорема косинусов, а иногда к результату приводит определение синуса, косинуса и тангенса угла прямоугольного треугольника.

Однако очень удобно решать задачу нахождения угла между скрещивающимися прямыми методом координат. Именно его и рассмотрим.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz (правда, во многих задачах ее приходится вводить самостоятельно).

Поставим перед собой задачу: найти угол   между скрещивающимися прямыми a и b, которым соответствуют в прямоугольной системе координат Oxyz некоторые уравнения прямой в пространстве.

Решим ее.

Возьмем произвольную точку трехмерного пространства М и будем считать, что через нее проходят прямые a₁ и b₁, параллельные скрещивающимся прямым a и b соответственно. Тогда искомый угол   между скрещивающимися прямыми a и b равен углу между пересекающимися прямыми a₁ и b₁ по определению.

Таким образом, нам осталось найти угол между пересекающимися прямыми a₁ и b₁. Чтобы применить формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве нам нужно знать координаты направляющих векторов прямых a₁ и b₁.

Как же мы их можем получить? А очень просто. Определение направляющего вектора HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/directing_vector_of_line.html" HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/directing_vector_of_line.html"HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/directing_vector_of_line.html"HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/directing_vector_of_line.html"HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/directing_vector_of_line.html" HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/directing_vector_of_line.html"HYPERLINK "http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/directing_vector_of_line.html"прямой позволяет утверждать, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Следовательно, в качестве направляющих векторов прямых a₁ и b₁ можно принять направляющие векторы   и   прямых a и b соответственно.

Координаты векторов   и   определяются либо по известным из условия уравнениям прямых a и b (смотрите раздел координаты направляющего вектора прямой), либо по известным из условия координатам двух точек прямых a и b (здесь может быть полезна теория раздела координаты вектора через координаты точек его начала и конца).

Итак, угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется по формуле  , где   и   - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Формула для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми a и b имеет вид  .

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла между скрещивающимися прямыми, если известен косинус:  .

Осталось разобрать решения примеров.

Пример.

Найдите угол между скрещивающимися прямыми a и b, которые определены в прямоугольной системе координат Oxyz уравнениями   и 

4.закрепление

Пример2. Дано изображение куба. Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b.

Решение задач А.В.Погорелов № 24. №25(1. 2)

5. Домашнее заданиие №22. №25(3,4) 6. Подведение итога урока Вопрос к классу 1) Что называется углом между скрещивающимися прямыми? 2) зависит Ли угол между скрещивающимися прямыми от выбора прямых, которые пересекаются? 3) Сформулировать обобщенное определение перпендикулярности прямой и плоскости. 4) Сформулируйте обобщенную признак перпендикулярности прямой и плоскости. 5) Сформулируйте обобщенную теорему о трех перпендикуляры.

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения: 3.04.2020г Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа № 1-10

литература: А.В.Погорелов

тип урока: изучение новой темы

Тема: Угол между прямой и плоскостью.

Тип урока: урок применения и закрепления знаний.

Цель урока: сформировать умение применять понятие угла между прямой и   плоскостью к решению задач.

Задачи:

образовательные:

• продолжить формирование умений применять теоретический материал для построения углов между прямой и плоскостью и решения вычислительных задач,

развивающие:

• развивать пространственное воображение,

• развивать умения выделять главное, сравнивать, обобщать изучаемые факты, логически излагать свои мысли;

воспитательные:

• содействовать формированию такого мировоззренческого понятия как познаваемость мира;

• воспитывать   интерес к предмету.

·        

Оборудование:  индивидуальные листы с заданиями для учащихся, оценочные листы, цветные мелки.

Ход урока:

1. Организационный момент:

-эмоциональный настрой;

-готовность к уроку;

-накопительная система оценок включает домашнее задание и деятельность учащихся на каждом этапе урока.

2. Сообщение темы, целей и задач урока.

Тема нашего сегодняшнего занятия «Угол между прямой и плоскостью».

Цель: формировать умение применять понятие угла между прямой и   плоскостью к решению задач. (СЛАЙД 2)

3. Формульное ассорти

-определение угла между прямой и плоскостью

-определение синуса

-синус 30⁰

-формула теоремы косинусов

-основное тригонометрическое тождество

-синус двойного угла

-алгоритм построения угла между прямой и плоскости

4.Начертить куб.

АВСD…. – куб. Назовите угол между прямой АВ₁ и (ВСС₁)

9.Запишите угол между В₁D и (ABC)

10.ABCD – параллелограмм. Будет ли угол В ₁DC₁ углом между В₁D и (DD₁C₁) -- нет не перпендикулярно.

5.     Решение задач по готовым чертежам ( в тестовом режиме) на доске

(комментирует готовое решение учащийся из пары)

Задача№1

Точка А отстоит от плоскости на расстояние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой точки под следующими углами к плоскости: (рис.81 стр51)

1)30 ; 2)45; 3)60

6. Решение на доске и в тетрадях задания №5 № 2 № 8 стр 60 Часто приходится слышать, что то, что учил на уроках математики, не пригодилось в жизни.

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.

Алексей Николаевич Крылов (1863-1945) Советский кораблестроитель, механик, математик, академик.

На самом деле понятие угла между прямой и плоскостью очень широко используется в астрономии, физике, строительстве, медицине, военном деле. И мы попробуем решить прикладные задачи в области строительства и горном деле.

Ответы на вопросы на 2-9 на стр 59

7..Подведем итоги урока: итак, мы рассмотрели разнообразные виды задач – на нахождение угла между прямой и плоскостью

8. домашнее задание № 3 №4

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения: 8.04.2020г Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа № 1-10

литература: А.В. Погорелов

тип урока: изучение новой темы

ТЕМА «Двугранный угол. Угол между плоскостями»

• Тип урока: комбинированный

Цели деятельности преподавателя

Главная дидактическая цель: сформировать представление о двугранном угле; способствовать развитию математической речи; наглядно-действенного мышления; воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной работе.

Формировать УУД:

Р: умение определять и формулировать цель на занятии с помощью преподавателя: проговаривать последовательность действий на уроке: работать по коллективному плану; оценивать правильность выполнения действий; планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей; вносить необходимые коррективы в действия после завершения на основе его оценки и учета характера сделанных ошибок; высказывать предположения.

К: уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме; слушать и понимать речь других; совместно договариваться о правилах поведения и общения и следовать им.

Планируемые образовательные результаты

Предметные: понимать понятие двугранного угла и его линейного угла; решать задачи на применение этих понятий; сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями; рассмотреть задачи на применение этих понятий.

Основные понятия

Двугранный угол, линейный угол двугранного угла

Ресурсы

Учебник, раздаточный материал

Организация пространства

Индивидуальная, фронтальная,

Деятельность преподавателя

Задания для обучающихся

Деятельность обучающихся

Планируемые УУД

• Проверка домашнего задания. Актуализация опорных действий и фиксирование затруднений в пробном действии (повторение изученного, необходимого для изучения нового, обнаружение проблемы).

Цель: актуализировать требования к обучающемуся с позиции учебной деятельности; создать условия для формирования внутренней потребности обучающихся во включении в учебную деятельность, развитие умения устанавливать тематические рамки; уточнить тип занятия и наметить шаги учебной деятельности.

Контролирует ход выполнения, консультирует.

2. Повторение раннее изученного.

На предыдущем уроки мы познакомились с такими понятиями как «перпендикуляр», «наклонная», «проекция», а так же рассмотрели теорему о трех перпендикулярах, связывающую эти понятия вместе. Давайте сейчас вспомни эти определения.

Восстановленные определения нам помогут решить следующие задачи:

1. Из точки В к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость углы в 30⁰. Угол между наклонными равен 90⁰. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки В до плоскости равно√6.

2. Из точки Р проведен перпендикуляр РА к плоскости прямоугольника АКМО. Доказать, что треугольники РОМ и РКМ прямоугольные.

Прежде чем записать тему урока повторим из планиметрии некоторые понятия связанные с углами:

- угол

- вспомним понятия смежных углов

- вертикальных углов

Слушают, отвечают, выполняют чертежи

3. Первичное усвоение новых знаний.

4.закрепление

Решение задач по учебнику А.В. Погорелов

№15 №17

5. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

1. Используя рис83 решить задачи: а) АС=ВС=7

Найти : угол В, АВ.

б) угол В=45, АС=а.

Найти: ВА, СВ.

в) АВ=12, ВС=6

Найти угол В.

г) АВ=5, АС=3. Найти tgB.

2. Используя рисунок83 решить задачи:

д) Найти угол А.

3.

ж) АВ=АС=m, угол А=60

Найти ВС.

з) АВ=3, АС=2, угол А=60.

Найти ВС.

Итак, сегодня на занятии мы рассмотрели тему «Двугранный угол». Чтобы закрепить эту тему и разобраться в местах, которые вызвали затруднения дома надо проработать конспект занятия и разобрать по нему задачи.

Теперь продолжите предложение:

- На занятии я вспомнил(а)….

- На занятии мне удалось сделать самостоятельно…

- Трудно было .

6. итог урока

Домашнее задание №16

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения: 9.04.2020г Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа № 1-10

литература: А.В.Погорелов

тип урока: изучение новой темы

Тема:«ВЕКТОР. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ.

Цели урока: Изучить, что такое “вектор в пространстве", как определяются координаты, вектора, если известны координаты его начала и конца, научитесь решать задачи, связанные с вектором.

Обобщить свои знания о векторах в координатах, узнаете о сложении векторов, вычитании векторов, умножении вектора на число, а также научитесь выполнять эти действия.

Развивать мышление, память.

Воспитать интерес к уроку.

Тип урока: Изучения нового материала.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Этап актуализации.

3. Формирование новых понятий и способов действия.

ВЕКТОР. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется величина, которая задается своей длиной и направлением. Вектор изображатеся направленным отрезком, длина которого равна длине вектора. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.

Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.

Определение. Координатами вектора , начало которого точка A(x₁,y₁,z₁), а конец — точка В(х₂, у₂, z₂), называются числа a₁= х_2- x_1, a₂=y₂-y_1, a₃=z₂-z₁.

Записывают такой вектор, указывая его координаты: (a₁ а₂, а₃) или (a₁ а₂, а₃).

Например, если точки А(4; 0; 3) и B(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка , тогда

а₁ = 0 - 4 = -4, а₂ = 6 - 0 = 6, а₃ = 4 - 3 = 1.

Значит, направленному отрезку соответствует вектор (-4; 6; 1

Так же, как и на плоскости, равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание говорить о том, что любой вектор можно отложить от любой точки пространства.

Длину вектора (a₁ а₂, а₃) можно выразить через его координаты. Отложим вектор от начала координат (рис. 68). Тогда четырехугольник OPAN — прямоугольник. Его стороны равны а₁ и а₂, поэтому ОА_z² = а₁² + а₂². В прямоугольном треугольнике ОА₂ А второй катет А_z А = а₃ и ОА² = ОА²_г + а₃² = а₁² + а₂²+ а₃². Отсюда | | =

Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называют коллинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены (а b) или противоположно направлены (а b). Если векторы ON и ОМ коллинеарны, то точки О, N, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.

4. Закрепление

1.Точки С(4;1;-1) и D(0;5;5) делят отрезок АВ на три равные части. Найдите длину отрезка АВ.

а) 6  в)11 . с)9  d) 8

7.Решение задач по учебнику

№13. №16. №17. Стр 61

(А.В. Погорелов «Геометрия» 10-11 класс)

Домашнее задание

№15. №18 стр 61

8. Подведение итога урока

Урок № ______

Предмет: ОГСЭ 05. математика

Дата проведения: 10.04.2020г Преподаватель: Касымова У.Ш.

Группа № 1-10

литература: А.В Погорелов

тип урока: изучение нового материала

ТЕМА:ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ.

Цель:ввести понятие вектора в пространстве, равества векторов. Рассмотреть правила действия над векторами,правило сложения.

Развивать умение быстро ориентироваться в пространстве

Воспитать доброжелательность по отношению к окружающим, внимательность, дисциплинированность.

Ход урока.

1.Орг. момент

Приветсвие.

2. Актуализация опорных знаний

-что такое абсолютная величина вектора?

-что называется вектором на плоскости?

_приведите примеры векторных величин.

_какие векторы называются равными?

3. Объяснение нового материала.

Действия над векторами в пространстве осуществляются аналогично тому, как они определялись для векторов на плоскости.

Определение. Суммой векторов a (a₁ а₂, а₃) и b(b₁ b₂, b₃) называется вектор а + b с координатами (а₁ + b₁; а₂ + b₂ ; а₃ + b₃)

Для любых векторов а , b и с справедливы равенства:

• а+b=b+а — переместительный закон сложения;

• а + (b + с) = (а+ b) + с — сочетательный закон сложения.

Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие

координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.

Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место векторное равенство + = .

Действительно, для любых трех точек A(a₁ а₂, а₃), B(b₁ b₂, b₃), C(c₁, с₂, с₃) (b₁ – а₁; b₂ - а₂; b₃ - а₃) и (с₁ - b_г; с₂ - b₂, с₃ - b₃).

Отсюда + = (с₁ – а₁; с₂ - а₂; с₃ - а₃).

Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилам треугольника (рис. 69).

Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.

Если ABCD — параллелограмм (рис. 70), то + = .

Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, В, С, D, Е, F, то всегда

АВ + ВС +CD + DE + EF = AF.

Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными.

Из определения следует, что у противоположных векторов соответствующие координаты имеют противоположные знаки.

Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором b дает вектор а .

Если а (а₁; а₂; а₃) и b( b₁; b₂; b₃), то - = (а₁ –b₁; а₂ - b₂; а₃ – b₃).

Определение. Произведением вектора (a₁; а₂; a₃) на число k называется вектор

k = (k а₁; k а₂; k а₃).

Из определения вытекают следующие свойства:

• k( + ) =k + k,

• (т + n) • =т+п и равенство | k • | = | k |•| | (здесь k, т, п — числа).

Ненулевые векторы а и b коллинеарные тогда и только тогда, когда найдется такое число х, что выполняется равенство = х . При этом число х единственно.

4. Применение. Формирование умений и навыков.

3.Лежат ли точки А,В,С на одной прямой , если точек А(3;-7;8), В(-5;4;1), С(27;-40;29) ?

a) нет в) . с)ортогональны  d)перпендикулярны.

4.Даны координаты точек А(1;-1;-4),В(-3;-1;0), С(-1;2;5), D(2;-3;1).Найдите косинус угла между векторами  и С а) -0, 5 в) . с) 0,7  d) -0,7.

5.Векторы  и (5;4;-3), являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Найдите сумму координат основания высоты треугольника из вершины С.

а)6 в) . с)7 d)8.

№19. № 24. №25 стр 61(А.В. Погорелов «Геометрия» 10-11 класс)

5.Этап информации о домашнем задании.

№23 стр 61 (А.В. Погорелов «Геометрия» 10-11 класс)

6. Итог урока.