Группа 1-14 Математика

Урок №___

Предмет: ОДБ 10 Математика

Дата проведения: 23.03.2020

Группа № 1-14

Тема урока: угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями.

Специальность: пожарный

Форма урока: Комбинированный урок

Преподаватель: Чулакаева Р.И.

1. Угол между прямой и плоскостью – определение

Предварительно необходимо повторить понятие о прямой линии в пространстве и понятие плоскости. Для определения угла между прямой и плоскостью необходимый несколько вспомогательных определений. Рассмотрим эти определения подробно.

Определение 1

Прямая и плоскость пересекаются в том случае, когда они имеют одну общую точку, то есть она является точкой пересечения прямой и плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, может являться перпендикулярной  относительно плоскости.

Определение 2

Прямая является перпендикулярной к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, находящейся в этой плоскости.

Определение 3

Проекция точки MM на плоскость γγ является сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо является точкой пересечения плоскости с прямой, перпендикулярной плоскости γγ, проходящей через точку MM, при условии, что она не принадлежит плоскости γγ.

Определение 4

Проекция прямой а на плоскость γγ - это множество проекций всех точек заданной прямой на плоскость.

Отсюда получаем, что перпендикулярная к плоскости γγ проекция прямой имеет точку пересечения.  Получаем, что проекция прямой aa – это прямая, принадлежащая плоскости γγ и проходящая через точку пересечения прямой aa и плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

На данный момент имеем все необходимые сведения и данные для формулировки определения угла между прямой и плоскостью

Определение 5

Углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на эту плоскость, причем прямая не перпендикулярна к ней.

О
пределение угла, приведенное выше, помогает прийти к выводу о том, что угол между прямой  и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми, то есть заданной прямой вместе с ее проекцией на плоскость. Значит, угол между ними всегда будет острым. Рассмотрим на картинке, приведенной ниже.

Угол, расположенный между прямой и плоскостью, считается прямым, то есть равным 9090 градусов, а угол, расположенный между параллельными прямыми, не определяется. Бывают случаи, когда его значение берется равным нулю.

1. Понятие угла между плоскостями

Пусть даны две плоскости α и β, которые пересекаются по прямой с (рис. 289). Проведем плоскость, которая перпендикулярна к прямой с, она пересечет плоскости α и β по прямым а и b. Угол между прямыми а и b называется углом между плоскостями α и β.

Угол между двумя плоскостями, которые пересекаются,- это угол между прямыми пересечения этих плоскостей с плоскостью, перпендикулярной к линии пересечения данных плоскостей. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°. Если плоскости перпендикулярны, то угол между ними равен 90°. Итак, если φ - угол между плоскостями, то 0° φ 90°. Далее учащиеся самостоятельно знакомятся с доказыванием того, что назван так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости, по учебнику (§ 4, п. 33).

Решение задач

1. Дано изображение куба. Найдите угол между плоскостями АВС и ABD (рис. 290).

Рис. 290

Ответ, а) 90°; б) 45°; в) arctg  ; г) 2arctg  ; д) 0°; е) 90°.

Контрольные вопросы:

1. Чему равен угол между параллельными прямыми?

2. Чему равен угол между прямой и плоскостью если они не пересекаются?

3. Какой угол называют углом между прямой и плоскостью?

4. Как определить угол между плоскостями?

5. Определен ли угол между параллельными плоскостями?

Урок №___

Предмет: ОДБ 10 Математика

Дата проведения: 24.03.2020

Группа № 1-14

Тема урока: Векторы в пространстве

Специальность: Пожарный

Форма урока: Комбинированный урок

Преподаватель: Чулакаева Р.И.

Контрольные вопросы:

1. Что такое вектор?

2. Что такое абсолютная величина вектора?

3. Дать определение координат вектора.