Группа 1-16 Математика

Урок №___

Предмет: ОДБ 10 Математика

Дата проведения: 23.03.2020 – 24.03.2020

Группа № 1-16

Тема урока: Определение первообразной

Специальность: «Мастер по обработке цифровой информации»

Форма урока: Комбинированный урок

Преподаватель: Чулакаева Р.И.

Определение первообразной

Основное свойство первообразной

Изучая математику, мы не раз сталкивались со взаимно-обратными операциями.
Примерами взаимно-обратных операций являются:

Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I ,если для любого х из промежутка I выполняется равенство: 

Или Первообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной.
Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играет признак постоянства функции:
Если   на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.

Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f.

Основное свойство первообразных:
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C,

где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная.

В этом утверждении сформулированы два свойства первообразной
1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C.

Основная задача интегрирования: записать все первообразные для данной функции. Решить её - значит представить первообразную в таком общем виде:  F(x)+C

Т аблица первообразных некоторых функций

Геометрический смысл первообразной

Графики первообразных -это кривые, получаемые из одной из них путём параллельного переноса вдоль оси ОУ

Примеры решения заданий

Пример 1.   Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1).

Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т.е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x).

Пример 2.  Найти все первообразные функции f(x):   f(x) = х 4 + 3х 2 + 5

Решение: Используя таблицу и правила нахождения первообразных, получим:

Ответ:

Задания по теме: "Определение первообразной. Основное свойство первообразной"

Задание № 1
Скачай задание из Приложений к странице. Распечатай, выполни предложенные задания, отсканируй и отошли учителю

Задание № 2
Найдите первообразные для указанных функций:

Контрольные вопросы:

1. Дать определение первообразной.

2. Сформулировать основное свойство первообразной.

3. Что собой представляет график первообразной?

Урок №___

Предмет: ОДБ 10 Математика

Дата проведения: 25.03.2020

Группа № 1-16

Тема урока: Три правила нахождения первообразной

Специальность: «Мастер по обработки цифровой информации»

Форма урока: Комбинированный урок

Преподаватель: Чулакаева Р.И.

Три правила нахождения первообразных

 Существует три основных правила нахождения первообразных функций. Они очень похожи на соответствующие правила дифференцирования.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g.

По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь: 

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2

Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k – некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции.

Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3

Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b).

Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Рассмотрим несколько примеров применения этих правил:

Пример 1. Найти общий вид первообразных для функции f(x) = x^3 +1/x^2. Для функции x^3 одной из первообразных будет функция (x^4)/4, а для функции 1/x^2 одной из первообразных будет являться функция -1/x. Используя первое правило, имеем:

F(x) = x^4/4 – 1/x +C.

Пример 2. Найдем общий вид первообразных для функции f(x) = 5*cos(x). Для функции cos(x) одна из первообразных будет являться функция sin(x). Если теперь воспользоваться вторым правилом, то будем иметь:

F(x) = 5*sin(x).

Пример 3. Найти одну из первообразных для функции y = sin(3*x-2). Для функции sin(x) одной из первообразных будет являться функция -cos(x). Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Пример 4. Найти первообразную для функции f(x) = 1/(7-3*x)^5

Первообразной для функции 1/x^5 будет являться функция (-1/(4*x^4)). Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим:

F(x) = 1/(12*(7-3*x)^4).

Урок №___

Предмет: ОДБ 10 Математика

Дата проведения: 27.03.2020

Группа № 1-16

Тема урока: Решение упражнений на нахождение первообразной

Специальность: «Мастер по обработки цифровой информации»

Форма урока: Комбинированный урок

Преподаватель: Чулакаева Р.И.

Примеры:

№1. Для функции y = f(x) найдите множество всех первообразных. Выполните проверку. f(x) = 2sin x + 3x³

Решение:

f(x) = 2sin x + 3x³

Проверка:

Найдем производную функции F(x).

F’(x) = f(x)

Ответ: 

№2. Значение первообразной функции F(x) функции f(x) = 10cosx в точке  равно -4. Найдите  .

Решение. Сначала найдем первообразную

F(x) = 10sinx+ C

Затем подставляя значения точки х, найдем число с

C = -14

Далее получаем уравнение первообразной в этой точке

F(x) = 10sin x – 14

И находим значение первообразной в другой точке

Ответ: -19

№3. По графику первообразной функции y = F(x) определите числовые промежутки, на которых функция y = f(x) имеет отрицательный знак.

Решение:

Так как F’(x) = f(x)- по определению первообразной, то числовые промежутки, на которых функция f(x) (производная функции F(x)) имеет отрицательный знак – это промежутки убывания функции F(x). Таких промежутков на данном графике 3. Это (-7; -6); (-3; -1); (3;6)

Ответ: (-7; -6); (-3; -1); (3;6)

№4. Значение первообразной функции F(x) функции f(x) = 5x³ – 3x² + 7x – 2 в точке х = 0 равно 5. Найдите F(2).

Решение.

1. Найдем множество всех первообразных для данной функции.

1. Так как в точке х = 0 значение первообразной функции равно 5, то нам необходимо найти такое значение С, для которого выполняется условие F(0) = 5.

Решим уравнение:

1. Из полученного уравнения находим С = 5.

Следовательно, первообразная для функции f(x) = 5x³ – 3x² + 7x – 2 при заданном условии F(0) = 5 имеет вид: 

1. Тогда 

F(2) = 27

Ответ: 27