Группа 1-3 Математика

ПЛАН УРОКА

Урок №___

Предмет: математика

Дата проведения__24.03.2020__ Преподаватель Амирханова А. К.

Группа № __1-3_

Специальность. 23.01.17 «Мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей»

Тема урока: Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Цель урока:

образовательная: формировать понятие перпендикулярных прямых в пространстве, доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, дать определение перпендикулярности прямой и плоскости, доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости;

развивающая: развивать вычислительные навыки, логическое и пространственное мышление, речь учащихся;

воспитательная: воспитывать интерес к предмету, аккуратность при выполнении чертежей.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Требования к ЗУН: учащиеся должны знать понятие перпендикулярных прямых в пространстве, доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой, определение перпендикулярности прямой и плоскости, формулировки теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости; уметь применять изученные понятия и утверждения при решении задач по данной теме.

Литература:

1. Геометрия, 10–11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2002 г.

2. Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод. рекомендации к учеб.: Кн. для учителя /С. М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М. Просвещение, 2003. – 222 с.: ил. – ISBN 5-09-011836-1.

3. Методика и технология обучения математике. М.: Дрофа, 2005. – 416 с.

План урока:

I. Орг. момент (2 мин)

II. Изучение нового материала (20 мин)

1. Актуализация знаний.

2. Формирование понятия перпендикулярности двух прямых в пространстве.

3. Доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

4. Формирование понятия перпендикулярности прямой и плоскости.

5. Доказательство теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

III. Первичное закрепление материала. №№ 117, 120 (17 мин)

IV. Подведение итогов (5 мин)

V. Домашнее задание. п.15 – 16, вопросы 1, 2 стр.54, №№ 116, 118 (1 мин)

ХОД УРОКА:

1. Орг. момент

Приветствие учеников, проверка готовности учащихся к уроку, проверка отсутствующих.

Учитель: (слайд 1) Мы приступаем к изучению новой большой главы: «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Тема нашего сегодняшнего урока: «Перпендикулярность прямой и плоскости». Мы познакомимся с понятием перпендикулярных прямых в пространстве, с теоремами, касающимися перпендикулярности прямых и затем рассмотрим задачи.

II. Изучение нового материала

1. Актуализация знаний.

Учитель: Какое взаимное расположение прямых на плоскости?

Ученик: Прямые могут не иметь общих точек – быть параллельными, иметь одну общую точку – пересекаться, либо быть перпендикулярными, иметь множество общих точек – совпадать.

Учитель: Какие прямые называются перпендикулярными на плоскости?

Ученик: Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла.

Учитель: Какое взаимное расположение прямых в пространстве?

Ученик: Две прямые могут пересекаться, быть параллельными, либо скрещивающимися.

2. Формирование понятия перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Учитель: (слайд 2) Перед вами куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

Учитель: Какое взаимное расположение прямых АВ и ВС?

Ученик: Прямые перпендикулярны.

Учитель: (слайд 2) Найдите угол между прямыми АА₁ и DC.

Ученик: Прямые АА₁ и DC тоже перпендикулярны, угол между ними равен 90 градусов.

Учитель: (слайд 2) Запишем определение перпендикулярности двух прямых в пространстве

Запись в тетрадях:

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов.

Учитель: (слайд 3) В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. Обратите также внимание на рисунок 43 на стр.34 ваших учебников. Перпендикулярные a и b пересекаются, а прямые a и c скрещиваются.

3. Доказательство леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Учитель: (слайд 4) Рассмотрим прямые АА₁ , СС₁ и DC.

Учитель: Прямая АА₁ параллельна прямой СС₁, а прямая СС₁ перпендикулярна прямой CD. Нами установлено, что АА₁ перпендикулярна CD. Какой мы можем сделать из этого вывод? Сформулируйте это утверждение.

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: (слайд 5) Это утверждение носит название Леммы о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Запись в тетрадях:

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: (слайд 6) Докажем лемму.

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: а || b, a . с

Доказать: bс.

Учитель: Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как прямая a перпендикулярна c, то угол AMC равен 90 градусов.

Запись на доске и в тетрадях:

МА||а и МС||с. Т.к. a  c, то угол AMC = 90°

Учитель: По условию b||а, а по построению а || МА, поэтому b||МА. Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b  c.

Запись на доске и в тетрадях:

b||а (по условию), а || МА (по построению), = b||МА.

b|| МА и с|| МС, угол AMC = 90° = (b,^c) = 90°, т. е. b  c

4. Формирование понятия перпендикулярности прямой и плоскости.

Учитель: (слайд 7) Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдем углы между прямой АА₁ и прямыми плоскости АBCD.

Ученик: Между прямой АА₁ и прямыми плоскости АBCD углы равны 90°, т.е прямая АА₁ перпендикулярна прямым плоскости АBCD.

Учитель: Отсюда мы можем сделать вывод: прямая АА₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АBCD. Такие прямые называются перпендикулярными. Перпендикулярность прямой α и плоскости α обозначается так: α  α,

Учитель: (слайд 7) Запишем определение прямой, перпендикулярной к плоскости:

Запись в тетрадях:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение: α  α

Учитель: Говорят также, что плоскость α перпендикулярна к прямой α.

Учитель: (слайд 8) Если прямая α перпендикулярна к плоскости α, то она пересекает эту плоскость. Действительно, если бы прямая α не пересекала плоскость α, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей, а это противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости, значит прямая α пересекает плоскость α.

Учитель: (слайд 9) На рисунке 45 стр.35 ваших учебников изображена прямая α перпендикулярная к плоскости α. Скажите, прямая будет перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α?

Ученик: Да, будет. Это следует из определения прямой, перпендикулярной к плоскости.

Учитель: (слайд 10) Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Прокомментируйте их.

Ученик: Телеграфный столб перпендикулярен к плоскости земли.. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола.

Учитель: А чему будет перпендикулярна открытая половинка окна?

Ученик: Плоскости подоконника, плоскости пола, плоскости потолка.

Учитель: Какие ещё примеры вы можете привезти из жизни?

Ученик: Люстра висит перпендикулярно к плоскости пола и плоскости потолка, горизонтальная линия доски перпендикулярна плоскости стены и т.д.

5. Доказательство теорем, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Учитель: (слайд 11) Рассмотрим ещё две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Запись в тетрадях:

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель: (слайд 12) Докажем её.

Запись на доске и в тетрадях:

Дано: а || b, a α

Доказать: bα.

Учитель: Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α. Так как аα, то ах. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей bх.

Таким образом, прямая b перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. bα.

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к аα, то ах = bх (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей), а значит bα (по определению).

Учитель: (слайд 13) Докажем обратную теорему.

Запись в тетрадях:

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Учитель: (слайд 14) Доказательство:

Учащиеся самостоятельно записывают доказательство в тетрадь.

III. Закрепление изученного материала

Учитель: Переходим к решению задач. №№ 117, 120

Один ученик работает у доски, остальные на местах в тетрадях.

Учитель: Что дано в задаче?

Учитель: Что нужно доказать?

Учитель: Как мы это докажем?

Учитель: Какие теоремы можно применить?

1. Подведение итогов

Обобщение материала, изученного на уроке, повторение основных понятий и формулировок (фронтальный опрос). Выделение положительных и отрицательных моментов урока, оценка работы ребят, выставление отметок.

1. Домашнее задание

Запись в дневниках

п.15 – 16, вопросы 1, 2 стр.54, №№ 116, 118

ПЛАН УРОКА

Урок №___

Предмет: математика

Дата проведения__25.03.2020__ Преподаватель Амирханова А. К.

Группа № __1-3_

Специальность. 23.01.17 «Мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей»

Тема урока: Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Цели:

1. закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

2. вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости.

Тип урока: комбинированный

Ход урока

I.Организационный момент.

II. Сообщение темы и целей урока.

III. Актуализация опорных знаний и умений.

Теоретический опрос 

1. Закончить предложение:

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)

2. Дан параллелепипед

а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC₁) (ответ: AD; A₁D₁; B₁C₁; BC) 
2) плоскости, перпендикулярные ребру BB₁ (ответ: (АВС); (A₁B₁C₁))

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC₁ и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)
2) прямой D₁C₁ и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)

VI. Решение задач.

1. Решение задач по готовым чертежам (Устно)

№1

Дано: ∆ ABC - прямоугольный; AM ⊥ AC; M ∉ (ABC)
Доказать: AC ⊥ (AMB)
Доказательство: Т.к. AC ⊥ AB и AC ⊥ AM, а AM ⋂ AB, т.е. АМ и АВ лежат в плоскости (АМВ), то AC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Ч.т.д.

№2

Дано: ВМDC - прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ AB
доказать: CD ⊥ (ABC)
Доказательство: MB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е. ВС и АВлежат в плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВпо свойству сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
Ч.т.д.

№3

Дано: АВСD – прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ BC
Доказать: AD ⊥ AM
Доказательство:
1) ∠ABC = 90°, т.к. АВСD – прямоугольник ⇒ BC ⊥ AB, BS ⊥ MB по условию, MB ⋂ AB = B, т.е. МВ иАВ лежат в плоскости (АМВ) ⇒ BC ⊥ (AMB) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2) BC ∥ AD (по свойству сторон прямоугольника) ⇒ AD ⊥ (AMB) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
3) Т.к. AD ⊥ (AMB) ⇒ AD ⊥ AM по определению прямой, перпендикулярной плоскости.
Ч.т.д.

№4

Дано: АВСD – параллелограмм, M ∉ (ABC), МВ = МD, МА = МС
Доказать: MO ⊥ (ABC)
Доказательство:
1) Т.к. О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, то АО = СО и ВО = DO. ∆ BMD - равнобедренный, т. к. ВМ = МD по условию, значит МО - медиана и высота, т.е. MO ⊥ BD.
2) Аналогично доказывается в ∆ AMC: MO ⊥ AC.
3) Итак, MO ⊥ BD и MO ⊥ AC. а ВD и АС – пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости (АВС) ⇒ MO⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Ч.т.д.

(Устные ответы к каждой задаче требуется обосновывать, проговаривая всякий раз формулировки применяемых теорем)

2. Решение письменных задач №1.2 

Через точки P и Q прямой РQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P₁ и Q₁. Найдите P₁Q₁, если PQ = 15 cм; PP₁ = 21,5 cм; QQ₁ = 33,5 cм.
Решение:

1) PP₁ ⊥ α и QQ₁ ⊥ α по условию ⇒ PP₁ ∥ QQ₁ (обосновать);
2) PP₁ и QQ₁ определяют некоторую плоскость β, α ⋂ β = P₁Q₁;
3) PP₁Q₁Q - трапеция с основаниями PP₁ и QQ₁, проведём PK ∥ P₁Q₁;
4) QK = 33,5 - 21,5 = 12 (см)

P1Q1 = PK =

= 9 см.

Ответ: P₁Q₁ = 9 см.

№2.2

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ АВ = 9 см; ВС = 8 см; ВD = 17 см. Найдите площадь BDD₁B₁.
Решение:

1) ∆ ABD: ∠BAD = 90°; АD = BC = 8 см;

ВD =

см;

2) ∆ DD₁B: ∠D₁DB = 90°;

DD1 =

= 12 см;

3) SBB1D1D = BD ∙ DD1 =

см2.

Ответ:

см2.

№3.2

Отрезок МН пересекает плоскость α в точке К. Из концов отрезка проведены прямые МЕ и НР, перпендикулярные к плоскости α. НР = 4 см; МЕ = 12 см; НК = 5 см. Найдите отрезок РЕ.
Решение:

1) Т.к. прямые МЕ и НР перпендикулярны к плоскости α, то МЕ ∥ НР (обосновать) и через них проходит некоторая плоскость β. α ⋂ β = EP;
2)МЕ ⊥ EP; НР ⊥ EP(обосновать), т.е. ∠MEK = ∠HPK = 90°;

3) ∆ HPK: KP =

= 3 см;

4) ∠EMK = ∠PHK (накрест лежащие для параллельных прямых МЕ и НР и секущей МН),

тогда ∆ MEK ∆ HPK по двум углам и

; т.е.

⇒ EK =

= 9 см,

РЕ = РК + КЕ, РЕ = 3 + 9 = 12 см.

Ответ: РЕ = 12 см.

3. Самостоятельная работа (направлена на проверку усвоения материала по данной теме)

Вариант I	Вариант II
Через вершины А и В прямоугольника АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости прямоугольника. Известно, что AA1 ⊥ AB, AA1 ⊥ AD. Найдите B1B, если B1D = 25 см, AB = 12 см, AD = 16 см.	Через вершины А и В ромба АВСD проведены параллельные прямые AA1 и BB1, не лежащие в плоскости ромба. Известно, что BB1 ⊥ BC,BB1 ⊥ AB. Найдите A1A, если A1C = 13 см, BD = 16 см, AB = 10 см.
Решение: 1) AA1 ⊥ AB, AA1 ⊥ AD, а AB ⋂ AD = A ⇒ AA1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. AA1 ∥ BB1, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥BD; 2) ∆ ABD: ∠BAD = 90°. По теореме Пифагора: BD = = 20 см; 3) ∆ B1BD – прямоугольный. По теореме Пифагора: B1B = = 15 см. Ответ: 15 см.	Решение: 1) BB1 ⊥ AB, BB1 ⊥ BC, а AB ⋂ BC = B ⇒ BB1 ⋂ (ABC) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), а т.к. BB1 ∥ AA1, то AA1 ⊥ (ABC) ⇒AA1 ⊥ AC; 2) Используя свойство диагоналей ромба, имеем в ∆ AOB: ∠AOB = 90°, BO = ½ BD = 8 см. По теореме Пифагора: AO = = 6 см, AO = ½ AC ⇒ AC = 12 см; 3) ∆ A1AC – прямоугольный. По теореме Пифагора: AA1 = = 5 см. Ответ: 5 см.

V. Подводятся итоги урока. Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной теме, глава II, № 216 (подг.к к.р.)

Индивидуальное задание для более сильных учеников. (Вариант III)

Дано: ∆ ABC; AB = AC = BC; CD ⊥ (ABC); AM = MB; DM = 15 дм; CD = 12 дм.
Найти: S_∆ ADB
Решение:

1) Т.к. CD ⊥ (FDC) ⇒ CD ⊥ AC и CD ⊥ BC, т.е. ∆ ADC, ∆ BDC – прямоугольные;
2) ∆ ADC = ∆ BDC (по двум катетам) ⇒ AD = BD, т.е. ∆ ADB – равнобедренный и DM – медиана, а значит и высота; 3) DC ⊥ MC ⇒ MCD – прямоугольный,

тогда MC =

= 9;

4) ∆ ABC – равносторонний, поэтому СМ – медиана и высота, т.е. ∆ MCB – прямоугольный, ∠B = 60°,

sin ∠B =

, тогда

,

а АВ = ВС (по условию).
5) S_∆ ADB = ½ DM ∙ AB;

S∆ ADB = ½ ∙ 15 ∙

.

Ответ:

ПЛАН УРОКА

Урок №___

Предмет: математика

Дата проведения_31.03.2020__ Преподаватель Амирханова А. К.

Группа № __1-3__

Специальность. 23.01.17 «Мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей»

Тема урока: Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах

Цели урока:

• обучающие: создать условия для формирования основных понятий перпендикуляра, наклонной, проекции наклонной, расстояния от точки до плоскости; рассмотреть свойства наклонных и их проекций; рассмотреть связь между перпендикуляром, наклонной и проекцией наклонной, закрепить эти понятия в ходе решения задач.

• развивающие: развивать логическое мышление, память, пространственное воображение, познавательный интерес, расширять представления учащихся об окружающем мире, поддерживать интерес к изучаемому предмету; содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность;

• воспитывающие: активизировать интерес к изучаемому материалу.

Ход урока

1. Организационный момент. Проверка готовности к уроку.

2. Мотивация урока.

Ни для кого не секрет что вся элементарная геометрия пришла к нам в основном с Египта и Греции. В далекие и древние времена геометрия использовалась как наука для измерения земли, а также очень тесно при строительстве. Все теоремы, законы и аксиомы выводили и доказывали, чтобы облегчить измерительные или строительные работы. Сегодняшняя тема была очень важна для людей того времени так как перпендикуляр и наклонная основные ориентиры при работе такого типа.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Игра «Верю-не верю»:

• При пересечении прямые образуют четыре угла.

• Углом между пересекающими прямыми является больший из двух смежных углов.

• Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

• Через произвольную точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

• Если две пересекающиеся прямые параллельны двум перпендикулярным прямым, то они тоже параллельны.

• Через любую точку пространства, не принадлежащую прямой, нельзя провести прямую, перпендикулярную данной.

• Если прямая, перпендикулярна одной из двух параллельных прямых и лежит с ними в одной плоскости, то она параллельна и второй прямой.

• Вопросы нахождение перпендикулярных прямых и плоскостей по кубу.

Повторить теорему Пифагора.

4. Изучение нового материала.

Пусть точка A не принадлежит плоскости α . Проведем прямую a, проходящую через эту точку и перпендикулярную α . Точку пересечения прямой a с плоскостью α обозначим O. Отрезок AO называется перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость α.

Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной называют также отрезок, соединяющий точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости, и не являющийся перпендикуляром.

На рисунке: АО – перпендикуляр к плоскости α, АВ – наклонная, ОВ – проекция наклонной.

Примеры материальных моделей перпендикуляров к плоскости: столб, телевизионная вышка перпендикулярны плоскости горизонта; перпендикулярно этой плоскости забивают сваи, бурят скважины, проходят шахтные стволы, запускают космические корабли. Только набрав нужную высоту, ракета отклоняется в нужном направлении.

Введение понятия расстояния от данной точки до плоскости.

Из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости α наименьшим является расстояние до точки В. Это расстояние, т.е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α.

Теорема о перпендикуляре и наклонной

Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

Доказательство. Пусть AB – наклонная к плоскости α, AO – перпендикуляр, опущенный на эту плоскость. Соединим отрезком точки O и B. Треугольник AOB прямоугольный, AB гипотенуза, AO – катет. Следовательно, AO AB.

Теорема о трех перпендикулярах

Д оказательство.

Пусть прямая а плоскости α перпендикулярна проекции OB наклонной АВ. Тогда она будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым OB и AO. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АOВ и, следовательно, она будет перпендикулярна наклонной АВ.

5. Закрепление нового материала.

1. Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»?

Ответ: Нет.

2. К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение о том, что произвольная точка M этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника?

Ответ: Да

3. Точка M равноудалена от всех точек окружности. Верно ли утверждение о том, что она принадлежит перпендикуляру к плоскости окружности, проведённому через её центр?

Ответ: Да

4. Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB BC. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший.

Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший.

Задачи:

1) Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AC, если AB = 6 см, ÐBAC = 60°.(Ответ 12 см)

2) Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка.(Ответ 9 см)

3) Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию отрезка AC, если AC = 37 см, AB = 35 см.(Ответ 12 см)

Решить № 5.42.

6. Историческая справка:

Хоть эта теорема и носит имя Пифагора, она встречается ещё в вавилонских тетрадях, написанных за 1200 лет до Пифагора. О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые, вероятно, пользовались этим соотношением для построения прямых углов при сооружении зданий. В Китае предложение о квадрате гипотенузы было известно по крайней мере за 500 лет до Пифагора. Известно более 150 доказательств этой теоремы.

7. Самостоятельная работа.

8. Итог урока. Геометрическая перестрелка.

1. Какой отрезок называется перпендикуляром?

2. Какой отрезок называется наклонной?

3. Какой отрезок называется проекцией наклонной?

4. Какая точка называется основанием перпендикуляра?

5. Какая точка называется основанием наклонной?

6. Что называется расстоянием от данной точки до плоскости?

7. Как найти расстояние от точки до плоскости?

8. Может ли наклонная быть короче перпендикуляра, проведенного из той же точки?

9. Если наклонные, проведённые из одной точки к плоскости равны, то что можно сказать об их проекциях?

10. Как сформулировать обратное утверждение?

11. Точка А не лежит на плоскости . Сколько наклонных одной длины можно провести из этой точки к данной плоскости?

12. Если точка равноудалена от всех вершин прямоугольника, то во что она проектируется на его плоскость?

№ п/п	Вопрос	Варианты ответа	Ответ
1 (1 балл)	Как называется линия, соединяющая основания перпендикуляра и наклонной?	а) отрезок; б) угол; в) проекция; г) расстояние.
2 (1 балл)	Прямая проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и...	а) самой себе; б) самой наклонной; в) самой проекции; г) самому перпендикуляру.
3 (1 балл)	Расстояние от точки до прямой равно длине...	а) наклонной; б) медианы; в) проекции; г)перпендикуляра
4 (1 балл)	Из двух наклонных, исходящих из одной точки, не лежащей на данной плоскости, больше та, у которой...	а)перпендикуляр больше; б) проекция меньше; в) проекция больше; г) перпендикуляр меньше.
7 (2 балла)	Точка А не лежит в плоскости, а точка Е - принадлежит этой плоскости. АЕ = 13, проекция этого отрезка на плоскость равна 5. Каково расстояние от точки А до данной плоскости?	а) 144; б) 8; в) 18; г) 12.

ПЛАН УРОКА

Урок №___

Предмет: математика

Дата проведения__01.04.2020__ Преподаватель Амирханова А. К.

Группа № _1-3_

Специальность. 23.01.17 «Мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей»

Тема урока: Признак перпендикулярности плоскостей.

Задачи урока – изучить теорему признак перпендикулярности прямой и плоскости; решить задачи на применение этой теоремы.

Цели урока: 1. доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости; 2.формировать навык применения признака перпендикулярности прямой и плоскости к решению задач

Примерный план проведения урока

1. Повторение материала предыдущего урока – опрос учащихся

2. Подготовка к изучению нового материала – решение задачи №119

3. Доказательство теоремы признак перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Выделяем 3 этапа доказательства теоремы: а) прямая a проходит через точку пересечения прямых p и q, лежащих в плоскости О. б) используя лемму о перпендикулярности прямой а любой прямой, лежащей в плоскости : а перпендикулярно . в) рассматриваем случай, когда прямая не проходит через точку пересечения прямых.

5. Используя слайд Признак перпендикулярности прямой и плоскости записать в тетради план доказательства теоремы.

6. Закрепление изученного – решение задач: № 121, 124.

7. Итог урока: выставление оценок за урок, домашнее задание

Ход урока

1. Организационный момент.

2. П роверка домашнего задания: а) 3 ученика у доски готовят доказательство леммы и двух теорем. Класс работает устно по готовым чертежам.

В Дано: AB CD AB= CD.

Определить вид четырехугольника ABCD

А С

D

Дано: AB АC=8 ABCD - параллелограмм

B Найти: BD

D C

1. Изучение нового материала

а) актуализация знаний: задача№ 119а)

б) верно ли утверждение: « Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна какой – нибудь прямой, лежащей в этой плоскости» Ответ обоснуйте. Приведите контрпример

Формулируем прямой и плоскости, записываем условия и требования и план доказательства (Слайд)

1. Закрепление изученного материала. Задача №121

2. Подведение итогов. 1) Можно ли утверждать, что прямая, проходящая через центр круга, перпендикулярна:

а) диаметру

б) двум радиусам

в) двум диаметрам

Ответы: а) нет, по определению; б) не всегда, т.к. радиусы могут лежать на диаметре; в) да, по определению.

1. Домашнее задание: п.17; № 126

ПЛАН УРОКА

Урок №___

Предмет: математика

Дата проведения_07.04.2020__ Преподаватель Амирханова А. К.

Группа № _1-3_

Специальность. 23.01.17 «Мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей»

Тема урока: Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние

точками. Координаты середины отрезка.

Цели урока:

Образовательные: Рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве; вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка.

Развивающие: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.

Воспитательные: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Оборудование: Чертежные принадлежности, презентация, ЦОР

Тип урока: Урок изучения нового материала

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Актуализация новых знаний

5. Итог урока.

Ход урока

1. Повторение. Прямоугольная система координат на плоскости.

Вопросы:

1. Что называют системой координат на плоскости?

2. Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?

3. Как определяются координаты точки на плоскости?

4. Назовите координаты начала координат?

5. Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?

6. Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками на плоскости?

1. Изучение нового материала:

Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат обозначается буквой O.

Ох – ось абсцисс,

Оу – ось ординат,

Оz – ось аппликат

Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оzх.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты.

М (х,у,z), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.

Система координат в пространстве

Коордиаты точки

Расстояние между точками

Есть две произвольные точки A₁(x₁;y₁;z₁) и A₂(x₂;y₂;z₂)

Тогда расстояние между точками A₁ и A₂ вычисляется так:

Координаты середины отрезка в пространстве

Есть две произвольные точки A₁(x₁;y₁;z₁) и A₂(x₂;y₂;z₂). Тогда серединой отрезка A₁A₂ будет точка С с координатами x, y, z, где

3.Получение навыков решения:

1) Найдите координаты ортогональных проекций точек A(1, 3, 4) и

B(5, -6, 2) на:

а) плоскость Oxy; б) плоскость Oyz; в) ось Ox; г) ось Oz.

Ответ: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

г) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) На каком расстоянии находится точка A(1, -2, 3) от координатной плоскости:

а) Oxy; б) Oxz; в) Oyz?

Ответ: а) 3; б) 2; в) 1

3)Найдите координаты середины отрезка:

а) AB, если A(1, 2, 3) и B(-1, 0, 1); б) CD, если C(3, 3, 0) и D(3, -1, 2).

Ответ: а) (1, 1, 2); б) (3, 1, 1).

4. Домашнее задание: учебник А.В.Погорелова «Геометрия 10-11» п. 23 – 25, стр.53 ответить на вопросы № 1 – 3; №7, №10(1)

6.Итог урока.

Таблица

На плоскости

В пространстве

Определение. Системой координат называется совокупность двух пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей

Определение. Системой координат называется совокупность трех координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей

2 оси,

ОУ- ось ординат,

ОХ- ось абсцисс

3 оси,

ОХ - ось абсцисс,

ОУ – ось ординат,

ОZ - ось аппликат.

ОХ перпендикулярна ОУ

ОХ перпендикулярна ОУ,

ОХ перпендикулярна ОZ ,

ОУ перпендикулярна ОZ

(О;О)

(О;О;О)

Направление, единичный отрезок

Направление, единичный отрезок

Расстояние между точками.

Расстояние между точками

Координаты середины отрезка.

Координаты середины отрезка

Вопросы:

1. Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?

2. Как определяются координаты точки в пространстве?

3. Чему равна координата точки пересечения координатных осей?

4. Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?

5. Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?

ПЛАН УРОКА

Урок №___

Предмет: математика

Дата проведения__08.04.2020__ Преподаватель Амирханова А. К.

Группа № __1-3__

Специальность. 23.01.17 «Мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей»

Тема урока: «Угол между скрещивающимися прямыми. Решение задач»

Цели урока:

- формирование умения применять теоретические знания при решении задач;

- развивать пространственное и логическое мышление;

- воспитывать у учащихся интерес к предмету.

Ход урока

I. Организационный момент.

С2.1. В кубе A...D1 точки Е, F - середины ребер соответственно A1B1 и В1С₁. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.

Каково взаимное расположение прямых

АЕ и BF.

- Дайте определение скрещивающихся прямых.

- Назовите пары скрещивающихся прямых по рисунку куба.

- Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

- Как найти угол между скрещивающимися прямыми.

III.Тренировочные упражнения (15 мин)

Учитель. Постройте угол между скрещивающимися прямыми.

 Для решения задачи нам потребуется теорема косинусов. Сформулируйте эту теорему.

( Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.)

Как ещё можно найти косинус угла треугольника?

(Косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе)

Запишите теорему косинусов для треугольника

Н айдите соs C, если AB=7см BC=9см AC=10см.

(Решение: AB²= BC² + AC² – 2* BC* AC* соs C;

49=81+100- 180 соs C;

соs C=132/180; соs C=11/15.)

IV. Решение задачи С2.1

V . Задание на дом:

С2.2. В кубе A...D1 точки E, F - середины ребер соответственно А₁ В₁ и C₁D₁ Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.