Группа 1-8 Математика

Урок №___

Предмет: ОДБ 10 Математика

Дата проведения: 23.03.2020

Группа № 1-8

Тема урока: Усеченная пирамида, правильная пирамида, правильные многогранники.

Специальность: Сварщик (электро и газосварочные работы)

Форма урока: комбинированный урок

Преподаватель: Чулакаева Рукижат Исмаиловна

1. Усеченная пирамида

В озьмем произвольную пирамиду PA₁A₂...A_n и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В₁,В₂,...В_n (рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A₁A₂...A_n и В₁В₂...В_n (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, … A₁A_nB_nB₁ (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

Рисунок 6 – Усеченная пирамида

Отрезки A₁B₁, A₂B₂, … A_nB_n называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями A₁A₂...A_n и В₁В₂...В_n обозначают следующим образом: A₁A₂...A_nВ₁В₂...В_n.

П ерпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH₁ и В1O –высоты усеченной пирамиды.

Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды

1. Правильная пирамида

Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).

Рисунок 5 – Правильная пирамида

Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.

Рассмотрим правильную пирамиду PA₁A₂...A_n (рис. 5).

Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А₁О, А₂О,...А_nО.

Образованные высотой и радиусами треугольники являются прямоугольными. Причем, эти треугольники имеют общий катет – РО и равные катеты А₁О, А₂О,...А_nО (равны как радиусы). Значит, треугольники РОА₁, РОА₂,...РОА_n равны по двум катетам, значит равны гипотенузы PA_{1 ,} РA₂... РA_n, которые являются боковыми ребрами правильной пирамиды.

Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

Таким образом, верны следующие утверждения:

• Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

• Боковые ребра правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО – высота.

Доказать:  . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

РАВС – правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС. Пусть О – центр треугольника АВС, тогда РО – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС. Заметим, что  .

Треугольники РАВ, РВC, РСА – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА. Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Теорема доказана.

1. Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если:

1. все его грани — равные правильные многоугольники;

2. в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Все рёбра правильного многогранника равны, а также равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

 Возникают вопросы:

1. какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника?

2. Сколько граней может иметь правильный многогранник?

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные многоугольники, если число их сторон 6 или больше, то есть правильные n-угольники, если n≥6.

1. У правильного n-угольника, если n≥6, углы не меньше 120°.

2. В каждой вершине многогранника должно быть не меньше трёх углов.

3. Даже при трёх углах сумма всех углов уже достигает 360°.

4. Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°.

 Следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого являлись бы правильные n-угольники, если n≥6.

Только правильные треугольники, четырёхугольники (квадраты) и пятиугольники могут быть гранями правильного многогранника.

 Существуют ли правильные многогранники с такими гранями, и сколько граней они имеют? Очевидно, меньшее возможное число граней — четыре.

Доказано существование правильных многогранников:

т етраэдр с 4 гранями, 6 рёбрами и 4 вершинами:

куб с 6 гранями, 12 рёбрами и 8 вершинами:

октаэдр с 8 гранями, 12 рёбрами и 6 вершинами:

додекаэдр с 12 гранями, 30 рёбрами и 20 вершинами:

и косаэдр с 20 гранями, 30 рёбрами и 12 вершинами:

Контрольные вопросы:

1. Что такое пирамида (основание, боковое ребро, высота)?

2. Какая пирамида называется правильной, усеченной?

3. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?

4. Что такое апофема?

Урок №___

Предмет: ОДБ 10 Математика

Дата проведения: 25.03.2020

Группа № 1-8

Тема урока: Тестовая работа

Специальность: Сварщик

Форма урока: Комбинированный урок

Преподаватель: Чулакаева Р.И.

Тест по теме «Многогранники»
Вариант 1.
1. Сколько рёбер у шестиугольной призмы?      
а) 18; б) 6;   в) 24;  г) 12; д) 15.
2. Какое наименьшее число граней может иметь призма?
а) 3; б) 4; в) 5; г) 6; д) 9.  
3. Выберите верное утверждение:        
а) у n-угольной призмы 2n граней;        
б) призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники;  
в) у треугольной призмы нет диагоналей;          
г) высота призмы равна её боковому ребру;        
д) площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней.
4. Дан тетраэдр АВСD, у которого противоположными рёбрами являются: 
а) АС и DС; б) АС и DВ; в) АВ и DА; 
г) АС и ВС; д) АС и DА.
5. Какое из следующих утверждений верно? 
а) параллелепипед состоит из шести треугольников; 
б) противоположные грани параллелепипеда имеют общую точку; 
в) диагонали параллелепипеда пересекаются в отношении 2:1, начиная от вершины нижнего

основания; 
г) две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются смежными; 
д) существуют тетраэдр и параллелепипед, у которых одинаковая площадь полной поверхности.
6. Дан куб АВСДА₁В₁С₁Д. Каково расположение прямых В₁Д₁ и АС ?
а) пересекаются ; б) параллельны;  в) скрещиваются.
7.Три ребра параллелепипеда равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите сумму длин всех эго рёбер.
а) 12 м; б) 18 м; в) 24 м; г) 48 м; д) 36 м. 
8.Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Точки М, N, К, - середины соответственно рёбер АА₁, В₁С₁ и СD. Сечение куба плоскостью МNК представляет собой: 
а) треугольник; б) четырёхугольник; в) пятиугольник;
г) шестиугольник; д) семиугольник.
9. Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются:
а) длины трёх произвольно взятых диагоналей;
б) длины трёх равных рёбер параллелепипеда;
в) длины трёх рёбер, имеющих общую вершину;
г) длины диагоналей основания параллелепипеда;
д) длины смежных сторон и диагонали параллелепипеда.
10. Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником?
а) правильный тетраэдр ; б) правильный гексаэдр;  в) правильная призма;   г) правильный додекаэдр; д) правильный октаэдр.»

Урок №___

Предмет: ОДБ 10 Математика

Дата проведения: 26.03.2020

Группа № 1-8

Тема урока: Определение первообразной

Специальность: Сварщик

Форма урока: Комбинированный урок

Преподаватель: Чулакаева Р.И.

Определение первообразной

Основное свойство первообразной

Контрольные вопросы:

1. Дать определение первообразной.

2. Сформулировать основное свойство первообразной.

3. Что собой представляет график первообразной?