Группа 1-9 Математика

ПЛАН УРОКА

УРОК №___

ПРЕДМЕТ: МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ_25.03.2020__ ПРЕПОДАВАТЕЛЬ АМИРХАНОВА А. К.

ГРУППА № _1-9_

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ. 35.02.01. ЭКСПЛУАТАЦИЯ И РЕМОНТ С\Х ТЕХНИКИ И ОБОРУДОВАНИЯ.

ТЕМА УРОКА: Введение декартовых координат в пространстве. Расстояние

точками. Координаты середины отрезка.

Цели урока:

Образовательные: Рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве; вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка.

Развивающие: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.

Воспитательные: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Оборудование: Чертежные принадлежности, презентация, ЦОР

Тип урока: Урок изучения нового материала

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Актуализация новых знаний

5. Итог урока.

Ход урока

1. Повторение. Прямоугольная система координат на плоскости.

Вопросы:

1. Что называют системой координат на плоскости?

2. Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?

3. Как определяются координаты точки на плоскости?

4. Назовите координаты начала координат?

5. Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?

6. Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками на плоскости?

1. Изучение нового материала:

Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Общее начало координат обозначается буквой O.

Ох – ось абсцисс,

Оу – ось ординат,

Оz – ось аппликат

Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оzх.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты.

М (х,у,z), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.

Система координат в пространстве

Коордиаты точки

Расстояние между точками

Есть две произвольные точки A₁(x₁;y₁;z₁) и A₂(x₂;y₂;z₂)

Тогда расстояние между точками A₁ и A₂ вычисляется так:

Координаты середины отрезка в пространстве

Есть две произвольные точки A₁(x₁;y₁;z₁) и A₂(x₂;y₂;z₂). Тогда серединой отрезка A₁A₂ будет точка С с координатами x, y, z, где

3.Получение навыков решения:

1) Найдите координаты ортогональных проекций точек A(1, 3, 4) и

B(5, -6, 2) на:

а) плоскость Oxy; б) плоскость Oyz; в) ось Ox; г) ось Oz.

Ответ: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

г) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) На каком расстоянии находится точка A(1, -2, 3) от координатной плоскости:

а) Oxy; б) Oxz; в) Oyz?

Ответ: а) 3; б) 2; в) 1

3)Найдите координаты середины отрезка:

а) AB, если A(1, 2, 3) и B(-1, 0, 1); б) CD, если C(3, 3, 0) и D(3, -1, 2).

Ответ: а) (1, 1, 2); б) (3, 1, 1).

4. Домашнее задание: учебник А.В.Погорелова «Геометрия 10-11» п. 23 – 25, стр.53 ответить на вопросы № 1 – 3; №7, №10(1)

6.Итог урока.

Таблица

На плоскости

В пространстве

Определение. Системой координат называется совокупность двух пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей

Определение. Системой координат называется совокупность трех координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей

2 оси,

ОУ- ось ординат,

ОХ- ось абсцисс

3 оси,

ОХ - ось абсцисс,

ОУ – ось ординат,

ОZ - ось аппликат.

ОХ перпендикулярна ОУ

ОХ перпендикулярна ОУ,

ОХ перпендикулярна ОZ ,

ОУ перпендикулярна ОZ

(О;О)

(О;О;О)

Направление, единичный отрезок

Направление, единичный отрезок

Расстояние между точками.

Расстояние между точками

Координаты середины отрезка.

Координаты середины отрезка

Вопросы:

1. Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?

2. Как определяются координаты точки в пространстве?

3. Чему равна координата точки пересечения координатных осей?

4. Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?

5. Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?

ПЛАН УРОКА

УРОК №___

ПРЕДМЕТ: МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ__26.03.2020__

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ АМИРХАНОВА А. К.

ГРУППА № __1-9__

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ. 35.02.01. ЭКСПЛУАТАЦИЯ И РЕМОНТ С\Х ТЕХНИКИ И ОБОРУДОВАНИЯ.

ТЕМА УРОКА: «Угол между скрещивающимися прямыми. Решение задач»

Цели урока:

- формирование умения применять теоретические знания при решении задач;

- развивать пространственное и логическое мышление;

- воспитывать у учащихся интерес к предмету.

Ход урока

I. Организационный момент.

С2.1. В кубе A...D1 точки Е, F - середины ребер соответственно A1B1 и В1С₁. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.

Каково взаимное расположение прямых

АЕ и BF.

- Дайте определение скрещивающихся прямых.

- Назовите пары скрещивающихся прямых по рисунку куба.

- Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

- Как найти угол между скрещивающимися прямыми.

III.Тренировочные упражнения (15 мин)

Учитель. Постройте угол между скрещивающимися прямыми.

 Для решения задачи нам потребуется теорема косинусов. Сформулируйте эту теорему.

( Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.)

Как ещё можно найти косинус угла треугольника?

(Косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе)

Запишите теорему косинусов для треугольника

Н айдите соs C, если AB=7см BC=9см AC=10см.

(Решение: AB²= BC² + AC² – 2* BC* AC* соs C;

49=81+100- 180 соs C;

соs C=132/180; соs C=11/15.)

IV. Решение задачи С2.1

V . Задание на дом:

С2.2. В кубе A...D1 точки E, F - середины ребер соответственно А₁ В₁ и C₁D₁ Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.

ПЛАН УРОКА

УРОК №___

ПРЕДМЕТ: МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ__27.03.2020__

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ АМИРХАНОВА А. К.

ГРУППА № _1-9_

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ. 35.02.01. ЭКСПЛУАТАЦИЯ И РЕМОНТ С\Х ТЕХНИКИ И ОБОРУДОВАНИЯ.

ТЕМА УРОКА: Угол между прямой и плоскостью.

ЦЕЛИ: Образовательная – введение нового понятия; отработка знаний,

умений и навыков по нахождению угла между прямой и

плоскостью; умение строить такие углы;

Развивающая – умение распознавать угол между прямой и

плоскостью; развивать практические навыки путем решения задач

на нахождение угла между прямой и плоскостью; повышать уровень

развития творческого мышления; развитие умения задавать вопрос;

Воспитательная – слушать и слышать других учеников;

воспитывать вкус и интерес к геометрии; умение построить хороший

грамотный чертёж является важнейшим элементом геометрической

культуры;

ЗАДАЧИ:

- повторить такие понятия, как наклонная, перпендикуляр, проекция;

- теорема о трёх перпендикулярах; применение;

- ввести понятие угла между прямой и плоскостью;

- рассмотреть задачи, в которых используется это понятие;

ХОД УРОКА:

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

2 . АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ УЧАЩИХСЯ

Вопросы:

1. По рисунку назовите: перпендикуляр, основание перпендикуляра, наклонную к плоскости α, наклонной, проекцию наклонной на плоскость α.

2. Сравните AP и AD. (APAD, так как перпендикуляр меньше любой наклонной).

3. Что называется расстоянием от точки А до плоскости α?

4. Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?

5. Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?

6. Сформулировать теорему о трёх перпендикулярах (Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.)

7. Сформулировать теорему, обратную теореме о трёх перпендикулярах (Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции)

8. На рисунках изображены: фонарный столб и полочка. Наглядным примером чего это является?

9. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то как расположена другая?

На каждый вопрос продемонстрировать примеры и контр примеры.

3. ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОЙ ТЕМЫ

Вводим понятие проекции точки на плоскость, проекции фигуры на плоскость.

Вопросы:

1. Как построить проекцию точки на плоскость?

2. Что является проекцией точки М на плоскость α? (точка К)

3. Что является проекцией точки N на плоскость α? (сама точка N)

Определение: Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.

Отметим вне α ещё три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Соединим их попарно.

Вопрос:

1. Как построить проекцию треугольника АВС на плоскость α?

2. Как построить проекцию произвольной фигуры на плоскость?

Вывод: Если построить проекции всех точек какой-нибудь фигуры на данную плоскость, то получим фигуру, которая называется проекцией.

Докажем, что проекцией прямой а на плоскость α, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая. Сначала устно по чертежу, затем запишем доказательство в тетрадь, один ученик у доски.

Дано: а α =О, а α.

Доказать: проекцией а на α является а₁

Д оказательство:

1) М а, МН  α. Проведём   через а и МН,  а₁.

2) Возьмём М_{1 ,} М₁Н₁ МН,

М₁Н₁ а₁=Н₁.

3) Так как М₁Н₁ МН, и МН а₁  М₁Н₁  α, то есть Н₁ проекция М₁ на плоскость  .

Что мы доказали?

Что проекция любой точки прямой а лежит на прямой а₁.   а₁ проекция прямой а на плоскость  .

Предложить учащимся самим сформулировать определение угла между прямой и п лоскостью.

Определение: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Вопрос: А что, если а  или а ?

Ответ оформить в тетрадь. Сделать чертеж.

(а, )=90⁰  (а, )=0⁰

4. ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

Задача 1:

В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ - ABCD – квадрат со стороной, равной 2 см. Все боковые грани – прямоугольники, B₁D=5 см. Найдите углы между B₁D и плоскостью ABC и между B₁D и плоскостью DD₁C₁.

Р
ешение:

1. ABCD – квадрат. По теореме Пифагора BD²=2²+2²=8; BD=2 ;

2. cos BDB₁=0,4 ;  BDB₁=55⁰33

3 . sin B₁DC₁=0,4;  B₁DC₁=23⁰35

Задача 2:

Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45⁰, а между собой угол в 60⁰. Определить расстояние между концами наклонных.

Решение:

1. Треугольники ACH и СHB прямоугольные и  САН= СВН=45^о  СН=АН=НВ=а

2. По теореме Пифагора СА=СВ=а ;

3. В треугольнике АВС  АСВ=60^о и АС=СВ треугольник АВС равносторонний

АВ= а ;

Далее учащиеся работают самостоятельно по карточкам. Первым оценивается построение угла между прямой и плоскостью, а затем решение самой задачи.

5. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

п.21 №164, 165

ПЛАН УРОКА

УРОК №___

ПРЕДМЕТ: МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ__01.04.2020___

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ АМИРХАНОВА А. К.

ГРУППА № _1-9__

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ. 35.02.01. ЭКСПЛУАТАЦИЯ И РЕМОНТ С\Х ТЕХНИКИ И ОБОРУДОВАНИЯ.

ТЕМА УРОКА: Угол между плоскостями.

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления знаний.

Задачи урока:

• Обучающая - повторить определение угла между прямой и плоскостью, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трёх перпендикулярах , ввести определение угла между плоскостями, доказать, что угол между плоскостями не зависит от выбора точки на прямой пересечения плоскостей.

• Воспитательная – следить за чёткостью, аккуратностью, правильным выполнением чертежей, видеть связь между различными прямыми, плоскостями, воспитывать внимание, трудолюбие.

• Развивающая – развивать логическое мышление, уметь выделять главное, делать выводы, обобщать, развивать монологическую речь.

План урока

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания и устные упражнения ( подготовка учащихся к восприятию нового материала.

3. Изучение нового материала.

4. Решение задач - первичное закрепление материала.

5. Решение задач с оформлением решения учителем у доски

6. Запись домашнего задания.

7. Проведение самостоятельной работы с проверкой в классе.

8. Подведение итогов, выставление оценок.

Содержание урока

1. Организационный момент.

2. а) Устные упражнения.

- К плоскости прямоугольника через точку пересечения его диагоналей проведён перпендикуляр ОК. Ответить на следующие вопросы:

• Назвать угол между прямой KB и плоскостью прямоугольника;

• Назвать угол между прямой КМ и плоскостью прямоугольника, где- середина стороны ВС;

• Чему равен угол между прямыми КМ и CB?

• Чему равен угол между плоскостью КОМ и прямой CB?

 Презентация.

(При ответе на первые два вопроса повторяется определение между прямой и плоскостью, при ответе на третий вопрос учащимся необходимо применить теорему о трёх перпендикулярах, при ответе на  четвёртый вопрос повторяется признак перпендикулярности прямой и плоскости).

Рассмотрим ответы на поставленные вопросы:
(См. рисунок №2.)
Решение задачи подготовлено в виде слайда.
1.  Угол между прямой KB и плоскостью (АВС)- это угол КВО, т.к. ( по определению)угол между прямой и плоскостью- это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. KO - перпендикуляр, OB - проекция наклонной КВ на плоскость АВС.  (При ответе на вопрос следует требовать от учащихся чёткого применения алгоритма нахождения угла между прямой и плоскостью.)
2.  1) М- это точка пересечения прямой КМ с плоскостью (АВС), т.е.
(АВС) ∩ КМ = М.
2) КО ┴ (АВС); (АВС) ∩ КО = О,
3) Соединяем точку О с точкой  М, имеем ОМ- проекция КМ на плоскость (АВС), значит угол между прямой КМ и плоскостью (АВС) есть угол КМО.
3.  KO - перпендикуляр, KM- наклонная, OM - проекция. Прямая CB проходит через основание наклонной и лежит в плоскости АВС, CB ┴ ОМ, т.е. CB перпендикулярна проекции ОМ, значит по теореме о трёх перпендикулярах CB ┴ КМ, значит угол между прямой CB и КМ  прямой.
4.  Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости:
CB ∩ (КОМ) = М; прямые ОМ и КМ проходят через точку пересечения прямой СВ и (КОМ); ОМ ┴ СВ; КМ ┴ СВ, значит по теореме СВ ‌┴‌ (КОМ), следовательно угол между прямой СВ и плоскостью (КОМ) –прямой.

Рисунок №1

2.  б) Проверка домашнего задания.
Через гипотенузу AB прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость β. Высота СД данного треугольника образует с плоскостью β угол 60° . Найти площадь  АСВ, где СС┴ β, если АС = 5, АВ =12.(См. рисунок №2.)
Решение задачи подготовлено в виде слайда.

Рисунок №2

 

Дано:

∆ АВС, угол АВС= 90°

CD ┴ AB

CC1 ┴ β

АС=5, AB=12

угол между прямой СD и плоскостью  равен 60°

Найти: S ∆ ABC1 .

Решение:

1. Отметим на чертеже угол между прямой СD и плоскостью β. СD ∩ β=D; СС1┴ β (по условию), значит DC1- проекция наклонной CD на плоскость β, значит по определению угла между прямой и плоскостью, угол CDC1- угол между прямой СD и плоскостью β; угол CDC1 =60° (по условию)

2. Рассмотрим треугольник АС1В. Докажем, что С1- высота  ∆ АС1В, т.е. С1D┴ АВ.
   СD ┴ AB ( по условию), AB проходит через основание наклонной СD, значит по теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах получаем, AB ┴ DС1, следовательно С1D- высота  ∆ АС1В.

3. (При проверке домашнего задания следует особое внимание уделить стереометрической части задачи, вычислительную часть, которая теперь уже не вызывает особых затруднений,  можно выписать на доске или подготовить в виде слайда без особых объяснений.)

1. Изучение нового материала.

Пусть данные плоскости пересекаются. (См. рисунок №4)

Рисунок №3.

Проведём третью плоскость, перпендикулярную линии пересечения плоскостей. Плоскость пресекает данные плоскости по двум прямым. Так вот:
«угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями».
- Как провести третью плоскость, перпендикулярную линии пересечения? Исходной теоремой, на которую мы будем опираться - это признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Итак, алгоритм нахождения угла между плоскостями:

1. Находим линию пересечения плоскостей.

2. Через точку на линии пересечения в каждой плоскости проводим прямые, перпендикулярные линии пересечения. Они однозначно задают секущую плоскость, которая по признаку перпендикулярности прямой и плоскости будет перпендикулярна линии пересечения.

3. Угол между прямыми а и в - есть угол между плоскостями.

 4.  Первичное закрепление материала.
(Задание предлагается в виде слайда)
Дан куб АВСDА1B1C1D1. Вычислить угол между плоскостями:
1) АDD1и АВС;
2) А1ВС и АВС.
Учащиеся проговаривают алгоритм и называют угол.

5. Решение задачи с оформлением.
Задача. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр АD к его плоскости. Угол АВС=30°. Вычислить угол между плоскостями BAD и CAD

Решение:
1. ∆АВС, угол C = 90°,угол АВС = 30°, значит угол САВ = 60°
2. (BAD) ∩ (CAD) = DA. По условию DA ┴ (АВС), АС ┴ DA и ВА ┴ DА (DВА) ∩ (АВС) = AB; (DАС) ∩ (АВС) = АС, значит по определению угла между плоскостями угол ВАС искомый и угол ВАС = 30°.

6. Запись домашнего задания.

7. Самостоятельная работа.

№1.

Сторона AB квадрата АВСD лежит в плоскости а. DD1перпендикулярна плоскости α. Угол между плоскостью квадрата и плоскостью α равен φ . Выполнить чертёж, отметить угол между плоскостью квадрата и плоскостью α и обосновать, что отмеченный угол, есть угол между указанными плоскостями.

№2.

Через катет МР прямоугольного треугольника МРК проведена плоскость а. Угол между плоскостью треугольника и плоскостью α равен φ. Из вершины K на плоскость α опущен перпендикуляр КВ. Выполнить чертёж, отметить угол φ  и обосновать, что отмеченный угол, есть угол между указанными плоскостями.

ПЛАН УРОКА

УРОК №___

ПРЕДМЕТ: МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ__02.04.2020__

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ АМИРХАНОВА А. К.

ГРУППА № _1-9__

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ. 35.02.01. ЭКСПЛУАТАЦИЯ И РЕМОНТ С\Х ТЕХНИКИ И ОБОРУДОВАНИЯ.

ТЕМА УРОКА: Векторы в пространстве.

Цели урока:

• Обучающая:понятие вектора в курсе планиметрии; изучить векторы в пространстве; определить основные понятия для векторов: направление вектора, абсолютная величина, равенство векторов, нулевой вектор; закрепить новые понятия на практических задачах.

• Развивающая:показать учащимся широкий спектр возможностей применения векторов; развивать стремление к достижению поставленной цели, способность переноса ЗУН на новые ситуации; совершенствовать пространственное воображение и мышление учащихся; развивать навыки диалоговой культуры.

• Воспитывающая: воспитать математическую культуру, грамотность; формировать активность, внимательность, наблюдательность.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный в форме беседы, частично-поисковый.

Оборудование к уроку:компьютер, экран, таблица “Векторы в пространстве”,презентация “Векторы в пространстве”.

Литература:

1. Глейзер Г.И. “История математики в школе: 9-10 кл.” .

2. Ершова А.П., Голобородько В.В. “Устные проверочные и зачетные работы по геометрии 10-11 класс”.

3. Журнал “Математика в школе”, N94 1990, № 4 1994, №5 1995, №3 1996.

4. Малова И.Е. и др. “Методика обучения учащихся математики”.

5. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы.

План урока:

1. Организационный этап (подготовительный).

2. Сообщение темы и целей урока.

3. Актуализация знаний.

4. Обобщение и систематизация знаний по теме.

5. Закрепление полученных знаний.

6. Постановка домашнего задания.

7. Подведение итогов.

Ход урока

Организационный этап (подготовительный).

Приветствие учащихся, проверка отсутствующих, а также готовность учащихся к уроку.

Сообщение темы и целей урока.

- Ребята, тема сегодняшнего урока “Векторы в пространстве”(слайд 1).

Мы с вами должны вспомнить понятие вектора на плоскости и перенести полученные ЗУН на рассмотрение векторов в пространстве, а также определить основные понятия для векторов и заполнить таблицу “Векторы в пространстве, которую вы получили перед началом урока вот таком виде (слайд 2).

 развернуть таблицу

Название определения	Формулировка определения	Запись
Вектор
Нулевой вектор
Одинаково-направленные (сонаправленные)
Противоположно-направленные
Коллинеарные векторы
Абсолютная величина
Равные векторы

 развернуть таблицу

3. Актуализация знаний.

- С понятием “вектор” вам приходилось встречаться очень часто. Где?

физике (направление силы, скорости, ускорения и др.)

пример: Для того, чтобы охарактеризовать движение тела в данный момент, недостаточно сказать, что оно движется с какой-то скоростью, надо указать направление его движения. (слайд 3)

- Исходя из данного примера физики, каким образом вы определяли понятие вектора на плоскости?

Учащиеся: Вектор – это направленный отрезок.

- На сегодняшний день, кроме как в физике и геометрии курса планиметриигде вы сталкивались с вектором?

электротехнике (направление электрического тока, магнитной индукции, магнитного потока и т.д.)

- Какие можно назвать векторные величины в пространстве?

Пример: движение заряженных частиц в магнитном поле, которое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции В.(слайд 4)

Обобщение и систематизация знаний по теме.

- Как вы думаете, на основе данного примера, что можно сказать о векторе в пространстве? Что такое вектор?

Учащиеся: Вектор – это направленный отрезок. (слайд 5)

- Каким образом изображается вектор на рисунке?

Учащиеся: Стрелкой. (слайд 6)

- Обозначается?

Учащиеся: Либо большими, либо прописными латинскими буквами. (слайд 6)

- Давайте занесем это в таблицу.

 развернуть таблицу

Название определения	Формулировка определения	Запись
Вектор	направленный отрезок

 развернуть таблицу

- Хорошо, мы с вами определили понятие вектора. Далее мы должны рассмотреть основные понятия векторов в пространстве: направление вектора, абсолютная величина, равенство векторов.

- Но прежде чем рассмотреть данные понятия ответьте на такой вопрос. Как называется вектор, у которого начало совпадает с концом? (Выслушиваются мнения учащихся).

- Итак, вектор у которого начало совпадает с концом вектора называется нулевым. (слайд 7)

Обозначение: 

Изображение: в виде точки.

- Занесем данные в таблицу

 развернуть таблицу

Название определения	Формулировка определения	Запись
нулевой вектор	вектор, у которого начало совпадает с концом

 развернуть таблицу

- Далее перейдем к рассмотрению направления векторов. Итак, вектор-это направленный отрезок, а если у нас имеется два вектора, как могут быть направлены эти векторы? (Выслушиваются мнения учащихся).

- Итак, вспомнили, два вектора, могут быть одинаково- направленными (сонаправленными) и противоположно- направленными. (слайд 8)

- В пространстве также два вектора могут быть одинаково-направленными (сонапрвленными) и противоположно-направленными.

Пример:

                                     

Следовательно, одинаково-направленные (сонаправленные) векторыимеют одно направление, а противоположно-направленные – противоположное направление.(слайд 9)

Запись: в виде стрелок.(слайд 9).

- Отметим это в таблице.

 развернуть таблицу

Название определения	Формулировка определения	Запись
одинаково-направленные(сонаправленные)	одинаковое направление
противоположно-направленные	противоположное направление

 развернуть таблицу

- Далее рассмотрим устно задачу.(слайд10)

Задача. На рисунке определите одинаково-направленные (сонаправленные) и противоположно-направленные векторы.

Решение:

одинаково-направленные

противоположно-направленные

Игровой вопрос.

- Ответьте как называются ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых?

Учащиеся: коллинеарные

- Итак, коллинеарные векторы- это ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

- Запишем в таблицу определение коллинеарных векторов.

 развернуть таблицу

Название определения	Формулировка определения	Запись
коллинеарные векторы	это ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых	одинаково-направ. противоположно-направ.

 развернуть таблицу

Коллинеарные векторы могут быть одинаково-направленными (сонаправленными) и противоположно-направленными. (слайд 11)

Запись:   и 

- Итак, с одним основным понятием векторов мы познакомились. Далее вспомним абсолютную величину (или модуль) вектора. Что такое абсолютная величина вектора, вспоминаем. (Выслушиваются мнения учащихся).

Учащиеся: - это длина отрезка, изображающего вектор.

- Посмотрим определение абсолютной величины вектора в пространстве.(слайд 12)

- Что мы видим отличий нет.

Абсолютная величина (модуль)– это длина отрезка, изображающего вектор.

Запись: 

- Занесем данное понятие в таблицу.

 развернуть таблицу

Название определения	Формулировка определения	Запись
абсолютная величина (модуль)	длина отрезка, изображающего вектор

 развернуть таблицу

- Как находится абсолютная величина вектора мы рассмотрим на следующем уроке, когда познакомимся с координатами вектора.

- И перейдем к последнему понятию связанному с вектором - это равные векторы. Итак, какие векторы называются равными? (Выслушиваются мнения учащихся)

(слайд 13)

Равные векторы – это векторы, которые одинаково направлены (сонаправленные ) и имеют равные длины.

Запись: 

- Занесем в таблицу определение равных векторов , а также запись равных векторов.

 развернуть таблицу

Название определения	Формулировка определения	Запись
равные векторы	векторы, которые сонаправлены и имеют равные длины

 развернуть таблицу

- Итак, мы рассмотрели с вами определение вектора в пространстве и все понятия, связанные с ним. Заполнили таблицу, которая вам поможет в дальнейшем при изучении темы и при выполнении домашнего задания:

 развернуть таблицу

Название определения	Формулировка определения	Запись
Вектор	направленный отрезок
нулевой вектор	вектор, у которого начало совпадает с концом
одинаково-направленные(сонаправленные)	одинаковое направление
противоположно-направленные	противоположное направление
коллинеарные векторы	это ненулевые векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых	одинаково-направ. противоположно-направ.
абсолютная величина (модуль)	длина отрезка, изображающего вектор
равные векторы	векторы, которые сонаправлены и имеют равные длины

 развернуть таблицу

5. Закрепление полученных знаний

Задание 2

Выберите один из вариантов ответа “да” или “нет” на следующие вопросы:

1.Можно ли считать, что нулевой вектор может быть коллинеарен любому вектору? (да)

2.Два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправленны? (да)

3. Верно ли, что векторы и   противоположно-направленные? (да)

4. Два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены? (нет)

5. Справедливо ли утверждение: Любые два сонаправленных вектора равны? (нет)

6. Согласны ли вы, что любые два противоположно-направленных вектора коллинеарны? (нет)

7. Верно ли, что любые два равных ненулевых вектора коллинеарны? (нет )

Домашнее задание

• параграф 4, п.35 с.54.

• таблица, сделанная на уроке.

• прочитать п.36, разобрать задачи в этом пункте.

Подведение итогов

ПЛАН УРОКА

УРОК №___

ПРЕДМЕТ: МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ_03.04.2020__

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ АМИРХАНОВА А. К.

ГРУППА № _1-9__

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ. 35.02.01. ЭКСПЛУАТАЦИЯ И РЕМОНТ С\Х ТЕХНИКИ И ОБОРУДОВАНИЯ

ТЕМА УРОКА: Действия над векторами в пространстве.

Цели урока: Изучить, что такое “вектор в пространстве", как определяются координаты, вектора, если известны координаты его начала и конца, научитесь решать задачи, связанные с вектором.

Обобщить свои знания о векторах в координатах, узнаете о сложении векторов, вычитании векторов, умножении вектора на число, а также научитесь выполнять эти действия.

Тип урока: Изучения нового материала.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Этап актуализации.

3. Формирование новых понятий и способов действия.

ВЕКТОР. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется вели­чина, которая задается своей длиной и направлением. Вектор изображатеся направленным отрезком, длина которого равна длине вектора. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.

Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.

Определение. Координатами вектора  , начало которого точка A(x₁,y₁,z₁), а конец — точка В(х₂, у₂, z₂), называются числа a₁= х_2- x_1, a₂=y₂-y_1, a₃=z₂-z₁.

Записывают такой вектор, указывая его координаты:   (a₁ а₂, а₃) или   (a₁ а₂, а₃).

Например, если точки А(4; 0; 3) и B(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка  , тогда

а₁ = 0 - 4 = -4, а₂ = 6 - 0 = 6, а₃ = 4 - 3 = 1.

Значит, направленному отрезку   соответствует вектор   (-4; 6; 1) (рис. 67).

Так же, как и на плоскости, равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание говорить о том, что любой вектор можно отложить от любой точки пространства. 

Длину вектора   (a₁ а₂, а₃) можно выразить через его координаты. Отложим вектор   от начала координат (рис. 68). Тогда четырехуголь­ник OPAN — прямоугольник. Его стороны равны а₁ и а₂, поэтому ОА_z² = а₁² + а₂². В прямоугольном треугольнике ОА₂ А второй катет А_z А = а₃ и ОА² = ОА²_г + а₃² = а₁² + а₂²+ а₃². Отсюда |  | = 

Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.

Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называют коллинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены (а   b) или противоположно направлены (а   b). Если векторы ON и ОМ коллинеарны, то точки О, N, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ

Действия над векторами в пространстве осуществляются аналогич­но тому, как они определялись для векторов на плоскости.

Определение. Суммой векторов a (a₁ а₂, а₃) и b(b₁ b₂, b₃) называется вектор а + b с координатами (а₁ + b₁; а₂ + b₂ ; а₃ + b₃)

Для любых векторов а , b и с справедливы равенства:

1. а+b=b+а — переместительный закон сложения;

2. а + (b + с) = (а+ b) + с — сочетательный закон сложения.

Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие

координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.

Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место вектор­ное равенство   +   =   .

Действительно, для любых трех точек A(a₁ а₂, а₃), B(b₁ b₂, b₃), C(c₁, с₂, с₃)   (b₁ – а₁; b₂ - а₂; b₃ - а₃) и   (с₁ - b_г; с₂ - b₂, с₃ - b₃).

Отсюда   +   =   (с₁ – а₁; с₂ - а₂; с₃ - а₃).

Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилам треугольника (рис. 69).

Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.

Если ABCD — параллелограмм (рис. 70), то   +   =   .

Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, В, С, D, Е, F, то всегда

АВ + ВС +CD + DE + EF = AF.

Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными.

Из определения следует, что у противоположных векторов соот­ветствующие координаты имеют противоположные знаки.

Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором b дает вектор а .

Если а (а₁; а₂; а₃) и b( b₁; b₂; b₃), то   -  =   (а₁ –b₁; а₂ - b₂; а₃ – b₃).

Определение. Произведением вектора   (a₁; а₂; a₃) на число k называется вектор

k   = (k а₁; k а₂; k а₃).

Из определения вытекают следующие свойства:

1. k(  +  ) =k  + k ,

2. (т + n) •   =т +п  и равенство | k •   | = | k |•|   | (здесь k, т, п — числа).

Ненулевые векторы а и b коллинеарные тогда и только тогда, когда найдется такое число х, что выполняется равенство   = х   . При этом число х единственно.

4. Применение. Формирование умений и навыков. стр 72. №2,5. стр 74, №1,2,3,4,5,11,14.

5.Этап информации о домашнем задании. п.п.22,23. стр 72. №6,7. стр 74 № 8,10.

6.Подведение итогов урока.

ПЛАН УРОКА

УРОК №___

ПРЕДМЕТ: МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ_08.04.2020__

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ АМИРХАНОВА А. К.

ГРУППА № _1-9__

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ. 35.02.01. ЭКСПЛУАТАЦИЯ И РЕМОНТ С\Х ТЕХНИКИ И ОБОРУДОВАНИЯ

ТЕМА УРОКА: Действия над векторами в координатах. Решение задач.

Тип урока: Урок закрепления ЗУН.

Цель: - обобщение у учащихся знаний о векторах в координатах и выявления уровня усвоения навыков выполнения действий над векторами в пространстве;

Задачи: - совершенствовать у учащихся умения и навыки выполнения действий над векторами;

- развивать у учащихся навыки самостоятельного выполнения заданий;

- воспитывать у учащихся сознательное отношение к изучению данной темы.

Ожидаемые результаты (учащиеся должны):

знать: - определения суммы, разности и произведения векторов;

уметь: - решать задания на выполнение действий над векторами в координатах;

понимать: - алгоритм выполнения действий над векторами, используя правила треугольника и параллелограмма.

Тип урока: Урок закрепления ЗУН.

Методы: Устный опрос, беседа, работа в парах и в группах, практическое решение заданий по учебнику, тестовые задания.

Ресурсы: ноутбук, проектор, учебник, карточки с заданиями, раздаточный материал, листы самооценивания и взаимооценивания, стикеры.

Ход урока

1. Организационный момент

1. Проверка подготовленности учащихся к уроку.

2. Приветствие учителя и учащихся.

3. Фиксация отсутствующих учащихся.

1. Психологический настрой

Демонстрация видеоролика «С добрым утром!».

1. Постановка цели и задач урока

Сегодня на уроке мы с вами обобщим ранее изученный материал касательно векторов в пространстве и продолжим совершенствовать навыки и умения решать задания на нахождение суммы или разности векторов в координатах.

1. Актуализация опорных знаний

Давайте вначале вспомним основные определения, а в этом поможет следующее задание «Угадай вопрос». Вам предоставляются вопросы и отдельно возможные на них ответы. Вам необходимо найти ответ на соответствующий вопрос. Затем обобщить полученный материал и изобразить информацию в виде кластера на тему «Вектор».

Вопросы: 1) Числа, которые определяют положение точки, называются …? (Координатами).

2) Величина, которая задается своей длиной и направлением, называется …? (Вектором).

3) Вектора, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых, называются …? (Коллинеарными).

4) Разностью векторов и называется …? (такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор ).

5) Чтобы найти координаты вектора нужно …? (из координат конца вектора вычесть координаты начала).

6) При умножении векторов на число …? (все координаты вектора умножаются на это число).

7) При сложении векторов …? (их соответствующие координаты складываются).

8) Формула нахождения длины вектора ?

( ).

9) Формула нахождения координат вектора ? (

10) Формула нахождения координаты середины вектора ?

( ).

Практическое выполнение заданий

1. Для повторения навыков нахождения координат вектора, длины вектора и действий над векторами необходимо выполнить тестовое задание.

Тестовое задание

1. Найдите сумму векторов:

1. (2; -6; 6); B) (2; -6;14); C) (10; -2; 6); D) (2; -2; 6); E) (10; -2; -14)

1. Умножьте вектор на –3:

А) (-12; -6; -3); B) (12; -6; -3); C) (-12; 6; 3); D) (-12; -6; 3); E) (-12; 6; -3).

1. Найдите разность векторов:

1. (-2; 5; -3); B) (2; -5; 3); C) (-2; -5; 3); D) (2; 5; 7); E) (2; 5; -3).

1. Найдите координаты вектора если

1. (3; -6; 5); B) (3; 6;-5); C) (-3; 6; -5); D) (7; -4; 1); E) (-3; 6; 5).

1. Найдите длину вектора если .

1. 4; B) 9; C) 5; D) 3; E) .

После выполнения тестовых заданий, учащимся необходимо обменяться

тестовыми заданиями и произвести взаимопроверку (за каждый правильный ответ – один балл).

1. Для совершенствования и закрепления умений и навыков решения заданий на действия с векторами нужно выполнить по учебнику задание № 12 стр. 75 (у доски); № 13 стр. 75 (в парах).

№ 12 (у доски)

Дано:

Решение

1. Находим координаты вектора

;

1. Затем находим координаты вектора

1. Теперь находим аналогично координаты вектора

1. Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:

Ответ:

№ 13 (в парах) – каждый учащийся решает по одной задаче, после выполнения решения, учащиеся обмениваются тетрадями и производят проверку правильности выполнения задачи, комментируя правильность решения в случае неверного решения (после выполнения данного задания каждый учащийся выставляет баллы от 1 до 5 тому учащемуся, которого проверял).

Дано:

; 2) .

Решение

Первый случай

1. Находим координаты вектора

;

1. Затем находим разность векторов

;

1. Теперь находим длину вектора :

Второй случай

1. Находим координаты вектора

;

1. Находим координаты вектора

;

1. Затем находим сумму векторов

;

1. Теперь находим длину вектора :

Ответ:

1. Задания на применение навыков и умений действий над векторами (работа в тетрадях).

1. Найдите координаты вектора , если

2. Даны векторы и Найдите координаты и длину вектора .

1. Даны векторы и Найдите координаты и длину вектора .

2. Даны векторы Найдите координаты вектора

3. Найдите длину вектора , если

1. Даны векторы Найдите координаты вектора

2. Найдите длину вектора , если

3. Из точки построен вектор . Найдите координаты точки , если:

1. Даны векторы и Найдите координаты и длину вектора .

1. Найдите сумму векторов:

1. (2; -6; 6); B) (2; -6;14); C) (10; -2; 6); D) (2; -2; 6); E) (10; -2; -14)

1. Умножьте вектор на –3:

А) (-12; -6; -3); B) (12; -6; -3); C) (-12; 6; 3); D) (-12; -6; 3); E) (-12; 6; -3).

1. Найдите разность векторов:

1. (-2; 5; -3); B) (2; -5; 3); C) (-2; -5; 3); D) (2; 5; 7); E) (2; 5; -3).

1. Найдите координаты вектора если

1. (3; -6; 5); B) (3; 6;-5); C) (-3; 6; -5); D) (7; -4; 1); E) (-3; 6; 5).

1. Найдите длину вектора если .

1. 4; B) 9; C) 5; D) 3; E)

1. Рефлексия

Каждый учащиеся заполняет лист самооценивания, где проводит рефлексию над своей учебной деятельностью и уровнем понимания и усвоения учебного материала.

После того, как каждый учащийся заполнил лист самооценивания, можно заслушать некоторые из них.

1. Подведение итогов урока