Группа 2-6 Математика

ПЛАН УРОКА

УРОК №

ПРЕДМЕТ :МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ : 25.03.2020.

ГРУППА № 2-6

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 23.01.17. МАСТЕР ПО РЕМОНТУ И ОБСЛУЖИВАНИЮ АВТОМОБИЛЕЙ .

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ :ХИЗРИЕВА Н.А.

ТЕМА: Повторение основного стереометрического материала .

Цель урока: рассмотреть основные свойства точек, прямых и

плоскостей в пространстве.

Тема занятия: «Аксиомы стереометрии и их следствия»

Тип занятия: комбинированный урок.

Цель занятия: формировать основные понятия стереометрии, ввести аксиомы стереометрии, формировать умение формулировать и доказывать следствия из аксиом.

Задачи занятия:

Образовательные:

· Студент должен иметь представление о таких понятиях как точка, прямая, плоскость и пространство.

· Студент должен знать аксиомы стереометрии и их следствия.

· Студент должен уметь применять аксиомы стереометрии для решения задач.

Развивающие:

·  Развивать образное мышление, внимание, воображение, устную и письменную математическую речь, память.

· Развивать умения сравнивать, обобщать выделять главное и формулировать выводы.

Воспитательные:

· Воспитывать культуру общения, культуру учебного труда, самостоятельность, дисциплинированность, самоконтроль.

1.Предмет стереометрии. Геометрические тела. Примеры различных тел вокруг нас.

СТЕРЕОМЕТРИЯ – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» - объёмный, пространственный и «метрио» - измерять.

2.Основные неопределяемые понятия стереометрии: точки, прямые, плоскости. В «Началах» Евклида даны следующие формулировки:

-Точка есть то, что не имеет частей.

-Линия есть длина без ширины.

-Границы линии суть точки.

-Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

-Границы поверхности суть линии.

Эти определения Евклида являются лишь описаниями геометрических образов. Для доказательства теорем в «Началах» эти определения не применялись.

Современное строго дедуктивное изложение геометрии, отражённое, например, в системе Гильберта не даёт прямого определения основным объектам геометрии: точке, прямой, плоскости, а также отношениям: принадлежит, между, конгруэнтный (совместимый при наложении).

Эти объекты не связываются ни с какими представлениями о конкретных предметах. То, что необходимо знать о них излагается в аксиомах, которые являются, таким образом, косвенными их определениями.

3.Современные обозначения также введены Гильбертом в «Основаниях геометрии». Гильберт обозначает точки прописными латинскими буквами (А, В, С, …), прямые - строчными латинскими буквами (a, b, c, …), плоскости – малыми или греческими буквами (, , , , …).

Различные случаи комбинации между собой прямых, точек и плоскостей, их условные изображения и их обозначения показаны на рисунках.

Точки А и В, плоскость , причем точка А лежит в плоскости а точка В не

лежит в плоскости .

Прямые c, k, m расположены по отношению к плоскости следующим образом:

-прямая c не лежит в плоскости 

-прямая k лежит в плоскости ;

-прямая m пересекает плоскость  в точке А.

Плоскости и пересекаются по прямой а.

Вывод. Различные случаи взаимного расположения прямых, прямых и плоскостей, плоскостей в пространстве изучает стереометрия.

5. Наряду с этими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Примеры простейших геометрических тел: куб, шар, цилиндр, призма, конус, пирамида. 

Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать их практической деятельности, в частности: в строительстве, архитектуре, машиностроении и других.

6. Аксиомы стереометрии.

АКСИОМА – это высказывание, истинность которого принимается без доказательства (аксиома - греческое слово, означающее «бесспорное положение»).

А1: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна.

Плоскость проходит через точки А, В, и С. Можно сказать, что эти три точки задают плоскость АВС.

ВОПРОСЫ:

-всегда ли три точки лежат в одной плоскости? (ДА)

-всегда ли четыре точки лежат в одной плоскости? (Нет)

-всегда ли через три точки проходит плоскость, и притом только одна? (нет)

-сколько плоскостей можно провести через две точки? (множество)

А2: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.

Точки А и В лежат в плоскости , значит и точка С лежит в плоскости  потому, что она лежит на прямой АВ.

ВОПРОСЫ: верно ли утверждение:

-если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? (Нет)

-если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости? (Да)

-если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника? (Да)

-если прямая проходит через одну из вершин треугольника, то она лежит в плоскости данного треугольника? (Нет)

-если две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в этой плоскости? (Да)

-если две противоположные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости, то и две другие вершины тоже лежат в этой плоскости? (Нет)

А3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 

ВОПРОСЫ:

могут ли две плоскости иметь:

-только одну общую точку? (Нет)

-только две общие точки? (Нет)

-только одну общую прямую? (Да)

-могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?

Рассмотрим модель куба АВСDA1B1C1D1.

ВОПРОСЫ:

а) назовите точки, которые лежат в плоскости DCC1, ABC, ADD1;

б) назовите плоскости, которым принадлежат точки М, К, P1, R, S, N;

в) назовите плоскости , в которых расположены прямые KP, C1D1, RP, MK;

г) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DD1C1, BB1C1 и AA1B1, AA1D1 и A1B1C1;

д) назовите прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и KPN, RPK

DСС1, BDС1 и RSP;

е) назовите точки пересечения прямых DS и CC1, AD и PC, MR и AD, KP и AD, DC1 и RP1;

ж) назовите общие точки плоскостей CDD1 и BCC1, ABC и AA1D1, BDC и ABB1.

Запишите ответы в тетрадь с помощью символики. Проверьте. Проверьте выполнение упражнения.

а)  DCC, P  DCC1, S DCC1,

К  ABC, K1 ABC, P  ABC, P1 ABC,

M  ADD1, R  ADD1, K1  ADD1, P1  ADD1;

б) M  ABB1, M  ADD1, K  ABC, K  ABB1, P1  ABC, P1 DCC1, R  ADD1, R  DCC1, S  DCC1, N  A1B1C1, N  BCC1;

в) KP  ABC, C1D1  CDD1, C1D1  A1B1C1, RP  CDD1, MK AA1B1;

г) ABC ∩ DD₁C₁=DC, BB₁C₁ ∩ AA₁B₁=BB₁, AA₁D₁ ∩ A₁B₁C₁=A₁D₁;

д) ABC ∩ KPN = KP, RPK ∩ DCC₁ = RP, BDC₁ ∩ RSP = DC₁;

е) DS ∩ CC₁=C₁, AD ∩ PC=D, MR ∩ AD=P₁, KP ∩ AD=K₁, DC₁∩ RP₁=;

ж) C,C₁ (CDD₁∩BCC₁), A₁,D₁,K₁, P₁ (ABC∩AA₁D₁), A,K,B (BDC∩ABB₁).

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: устно п. 1-2, письменно № 1 (перечертить чертеж и ответ записать с помощью символики), № 11.

Список литературы:

1. Геометрия 10-11. Л. С. Атанасян, С. Б. Кадомцев и др. М. «Просвещение» 1992

2. Геометрия 7-11. А. В. Погорелов. М. «Просвещение» 1982

3. Стереометрия. Устные задачи 10-11. Б. Г. Зив. СПб «ЧеРО-на-Неве» 2002

4. История математики в школе. IX-X классы. Г. И. Глейзер. М. «Просвещение» 1983.

5. Детская энциклопедия. Том 3. Академия педагогических наук. М. 1959.

6. Энциклопедия для детей. Том 11.Математика. «Аванта+» М. 1998.

ПЛАН УРОКА

УРОК №

ПРЕДМЕТ :МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ : 26.03.2020.

ГРУППА № 2-6

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 23.01.17. МАСТЕР ПО РЕМОНТУ И ОБСЛУЖИВАНИЮ АВТОМОБИЛЕЙ .

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ :ХИЗРИЕВА Н.А.

1. ТЕМА УРОКА: Формулы площадей и объемов многогранников .

1. Комплексная цель урока.                   

1. Познавательная – обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся, полученные в процессе изучения темы «Площади поверхности многогранников. Объемы многогранников». Научить применять теоретические знания при решении задач практической направленности.

2. Развивающая – развивать логическое мышление учащихся, практические умения и навыки при решении задач; развивать пространственное воображение, речь учащихся; развивать навыки решения задач практического характера.

3. Воспитательная – воспитывать:

-интерес к предмету,

-навыки контроля и самоконтроля,

-доброжелательное отношение к своим одноклассникам,

-чувство ответственности,

-способность к самовыражению,

      -культуру речи,

      -сознательное отношение к учебе,

      -деловые качества учащихся.

МНОГОГРАННИКИ. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.

Определение. Многогранник- это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней. Все ребра правильного многогранника - равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

Определение. Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Определение. Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если:

1) все его грани – равные правильные многоугольники;

2) в каждой вершине сходится одинаковое количество граней;

3) все его двугранные углы равны.

Следствия. В правильном многограннике равны:

а) все ребра;

б) все плоские и многогранные углы и в каждой вершине сходится одинаковое количество ребер.

Существует всего пять правильных многогранников:

Правильный тетраэдр	Правильный октаэдр	Правильный икосаэдр	Куб (гексаэдр)	Правильный додекаэдр
Составлен из четырёх равносторонних треугольников	Составлен из восьми равносторонних треугольников.	Составлен из двадцати равносторонних треугольников	Составлен из шести квадратов	Составлен из двенадцати правильных пятиугольников

Следствие. Выпуклых многогранников, у которых в каждой грани больше пяти ребер или в каждой вершине сходится более пяти ребер не существует.

Теорема Эйлера: Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2

Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г + В - Р = 2

Правильный многогранник	Число
	граней	вершин	рёбер
Тетраэдр	4	4	6
Куб	6	8	12
Октаэдр	8	6	12
Додекаэдр	12	20	30
Икосаэдр	20	12	30

ПР ИЗМА

Определение. Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки многоугольников.

Основания ABCDE, KLMNP

Боковые грани Все грани, кроме оснований. ABLK, BCML, CDNM, DEPN, EAKP

Боковые ребра AK, BL, CM, DN, EP

Высота KR

Диагональ BP

Диагональное сечение EBLP

• основания призмы равны.

• у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.

• у призмы боковые ребра параллельны и равны.

Определение. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.

Оп ределение. Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

• Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками.

• Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками.

• Боковые ребра правильной призмы равны.

• Правильная призма является прямой.

Параллелепипед

ПРЯМОЙ НАКЛОННЫЙ

Определение. Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

Теорема 1. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

AA`BB`=DD`CC`, AA`BB`|| DD`CC`

Теорема 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

A`O = OC, B`O = OD

Определение. Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани- прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Длина непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами или измерениями. У прямоугольного параллелепипеда их три: длина, ширина, высота.

Центр симметрии прямоугольного параллелепипеда - точка пересечения его диагоналей.

Теорема 3. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

А`С<sup>2</sup>= А`А² + АД² +ДС².

Решение задач на тему «Призма. Параллелепипед.»

Задача № 1. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с диагоналями 1,6 дм и 3 дм, боковое ребро призмы равно 10 дм. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение:

Ис пользуя свойство – диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, найдем сторону .

OD=0,8 дм, OC=1,5 дм

Рассмотрим ∆СОD- прямоугольный.

CD=

CD=  дм

AB=BC=CD=AD=1,7 дм

S=4∙ (1,7∙10)=68 дм².

Ответ: 68 дм²

Задача № 2. Ребро куба равно а. заполните таблицу, используя формулы:

Диагональ грани:d= a√2

Диагональ куба: D= a√3

Периметр основания: P= 4a

Площадь грани: S=a²

Пл ощадь диагонального сечения: Q= a²√2

Площадь поверхности куба: S= 6a²

Периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из одной вершины: P= 3a√2 ,

Задача № 3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро - 6 см. Найдите Sсеч, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Решение:

Треугольник A₁B ₁C₁ - равнобедренный(A₁ B=C₁B как диагональ равных граней)

1)Рассмотрим треугольник BCC₁– прямоугольный

BC₁ ² =BС² +CC₁ ²

BC₁=  =10 см

2) Рассмотрим треугольник BMC₁– прямоугольный

BC₁ ² = BM^{2 +} M C₁ ²

BM² = BC₁ ² -M C₁ ²

BM² =100-16=84

BM=  =2  см

3) Sсеч =   A₁C₁ *BM=  ∙8∙2 =8  см²

Ответ: 8  см²

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА на тему «Тела вращения»

№ 1. Радиус основания конуса равен 10 см, а высота 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от его вершины.

№ 2. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плос­костью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм². Найдите радиус цилиндра.

План урока

Урок №

Предмет :Математика

Дата проведения : 01.04.2020.

Группа № 2-6

Специальность: 23.01.17. Мастер по ремонту и обслуживанию автомобилей .

Преподаватель :Хизриева Н.А.

1. Тема урока: Формулы площадей и объемов многогранников .

2. Комплексная цель урока.                   

1. Познавательная – обобщить и систематизировать знания, умения и навыки учащихся, полученные в процессе изучения темы «Площади поверхности многогранников. Объемы многогранников». Научить применять теоретические знания при решении задач практической направленности.

2. Развивающая – развивать логическое мышление учащихся, практические умения и навыки при решении задач; развивать пространственное воображение, речь учащихся; развивать навыки решения задач практического характера.

3. Воспитательная – воспитывать:

-интерес к предмету,

-навыки контроля и самоконтроля,

-доброжелательное отношение к своим одноклассникам,

-чувство ответственности,

-способность к самовыражению,

      -культуру речи,

      -сознательное отношение к учебе,

      -деловые качества учащихся.

ПИРАМИДА

Определение. Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника- основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

А- вершина пирамиды;

AB, AC, AD, AE- ребра пирамиды;

ADE, AEB, ABC, ACD- боковые грани пирамиды;

BCDE- основание пирамиды;

AО- высота;

AF- апофема;

AEC-диагональное сечение.

Определение. Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.

У правильной пирамиды боковые ребра равны, а боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

Определение. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Если сечение пирамиды параллельно основанию, то мы получим усеченную пирамиду.

Определение. Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

А₁А₂ А₃А₄А₅ и В₁В₂В₃В₄В₅ - нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды

А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃… - боковые ребра усечённой пирамиды

А₁В₁ В₂А₂, В₂А₂В₃А₃… - боковые грани усечённой пирамиды.

СН – перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки верхнего основания к нижнему основанию – называется высотой усечённой пирамиды

Свойства усеченной пирамиды:

• Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.

• Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.

• Боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны и одинаково наклонены к основанию пирамиды.

• Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные между собой равнобедренные трапеции и одинаково наклонены к основанию пирамиды.

• Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды равны.

Усеченную пирамиду полученную из правильно пирамиды называют правильной.

Высоту боковой грани правильной усеченной пирамиды называют ее апофемой.

правильной усеченной пирамиды:

• Боковые грани равны;

• Боковые ребра равны;

• Апофемы равны;

• Двугранные углы при каждом основании равны;

• Боковые углы при боковых ребрах равны.

Решение задач на тему «Пирамида. Усеченная пирамида».

Задача № 1. Основание пирамиды- параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды- 12 см, а все боковые ребра равны между собой. Найдите длину бокового ребра.

Решение:

1. АО- высота. АС=АВ=АЕ=AD, то DO=OВ=ОС=ОЕ, поэтому точка О- центр окружности описанной около параллелограмма BCDE. Но тогда параллелограмм является параллелограммом, диагонали которого пересекаются в точке О и равны друг другу. BCDE- прямоугольник.

2. Из ∆BDC по теореме Пифагора , DB==10 см., следовательно АО= 5 см

АО DBC. ∆АОD- прямоугольный, по теореме Пифагора , АD==13 см.

Ответ: 13 см

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. ЦИЛИНДР.

Тела вращения: цилиндр, конус, усеченный конус, шар, сфера.

Определение. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

прямая OO_` - ось цилиндра

отрезок OO_`- высота,

отрезок АА_{`</sub>= ВВ<sub>`} - образующая

круг (О,ОВ) =кругу (O_{`</sub>, O<sub>`}В_`) – основание цилиндра

Если секущая плоскость цилиндра проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого образующие, а две другие- диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым .Определение. Цилиндр называется равносторонним, если осевое сечение является квадратом.

Если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение является кругом.

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Задача №1. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если рассто­яние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Решение:

А₁В₁ВА- прямоугольник. Из ∆АСО по теореме Пифагора АС=

AС=, AB=2

S=AB∙H==2∙8=16∙4=64 см²

Ответ: 64 см²

КОНУС.

Определение. Конусом (круговым конусом), называется тело, которое состоит из круга- основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга- вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания- образующие конуса.

Определение Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.

Определение. Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между его основанием и сечением, параллельным основанию. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры- высотой усеченного конуса.

h — высота усеченного конуса,

r₁ и r₂ — радиусы основания усеченного конуса, l — образующая усеченного конуса.

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям.

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция.

Задача № 2. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом . Найдите площадь основания конуса, если = 30.

Решение:

SOB – прямоугольный, в нем катеты – SO, OB, гипотенуза – SB, = cos30 , ОВ = R (радиус основания) ОВ= SB∙  = 6 см.

В основании конуса лежит круг: S=R, S =  (см)

Ответ: (см)

Задача № 3. В усеченном конусе диагональ осевого сечения равна 10 см, радиус меньшего основания 3 см, высота 6 см. Найдите радиус большего основания.

Решение:

Осевым сечением усеченного конуса является равнобокая трапеция. ВД- диагональ данной трапеции. Из вершины В опустим высоту. ВК=ОО₁=6см. По теорема Пифагора, из ∆ДВК- прямоугольный, найдем ДК.  см. ДК=8 см. ДК=ДО₁+О₁К, О₁К=ОВ= 3 см.

Следовательно ДО₁= ДК- О₁К=8-3=5 см.

Ответ: 5 см.

ШАР.

Определение. Шар- тело, которое состоит из всех точек пространства, находящих на расстоянии, не больше данного, от данной точки. Точка называется центром шара, а расстояние- радиусом шара.

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.

О – центр шара

ОА=ОВ – радиус шара

АВ – диаметр

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Плоскость, проходящая через центр шара называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы- большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Определение. Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку- точку касания.

Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку, то касательная прямая тоже имеет с шаром только одну общую точку- точку касания.

Теорема. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Задача № 1. Сечение шара плоскостью имеет площадь 36(м). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Решение:

1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. S= r , где r- радиус сечения.

36 = r r= 36 (м), r = 6 см.

2. ОО^’ Х – прямоугольный

( ОО^’ )= OX- O^’X - по т. Пифагора

( ОО^’ )=100 – 36 =64, ОО^’ = 8 м

Ответ: 8 м

Задача № 2. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой А касательной плоскости, равен 17 см. Радиус шара 8 см. Найдите расстояние от точки А до точки касания шара с плоскостью и от точки А до ближайшей к ней точки шара.

Решение.

АК  ОК. По теореме Пифагора из треугольника ОАК: АК² = АО² – ОК², АК = = 15 . AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы,

AM = АО-ОМ = 17 – 8 = 9 см.

Ответ: 9. см

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА на тему «Многогранники».

№ 1. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 0,7 см и 2,4 см, боковое ребро призмы равно 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

№ 2. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды 1 дм и 4 дм. Боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту пирамиды.

№ 3. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту.

ПЛАН УРОКА

УРОК №

ПРЕДМЕТ :МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ : 02.04.2020.

ГРУППА № 2-6

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 23.01.17. МАСТЕР ПО РЕМОНТУ И ОБСЛУЖИВАНИЮ АВТОМОБИЛЕЙ .

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ :ХИЗРИЕВА Н.А.

ТЕМА УРОКА: «Формула площадей и объемов тел вращений ».

Тип урока: комбинированный

Образовательная: проверка усвоения изученного материала, умения применять теоретический материал для решения практико-ориентированных задач связанных с конусом, шаром, цилиндром.

Развивающая: развитие конструктивных способностей учащихся; каждый учащийся борется за личное и командное первенство.

Воспитывающая: воспитывать волю к победе, любовь к профессии, фантазию.

Средства обучения:

Технические: мультимедийная система, интерактивная доска.

Художественно-изобразительные (цифровые материалы): электронная презентация к конкурсу капитанов и к историческому конкурсу «Тела вращения».

Оборудование: демонстрационная полка с телами вращения, модели фигур вращения (цилиндр, конус, шар), раздаточный материал таблицы-задания, шарикоподшипники, роликовые подшипники, глобус, линейки, карандаши.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративное повторение пройденного материала.

Межпредметные связи: физика «Поверхностное натяжение», астрономия «Солнечная система», география «Параллели и меридианы», черчение «Разрез поршня ДВС».

Ход урока:

1. Организационный момент:

а) Рапорт о готовности к уроку.

б) Проверка принадлежностей у всех учащихся.

в) Объяснить ход урока и его цели:

Ребята, сегодня у нас урок – конкурс по теме: «Тела вращения, их объёмы и площади поверхностей». Вам предстоит участвовать в конкурсах: конкурс капитанов; разминка команд; практический конкурс; исторический конкурс; конкурс – «гимнастика ума», где вы будете применять изученный материал и бороться как за личное, так и командное первенство.

ЦИЛИНДР

1. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом и отрезков, соединяющих соответствующие точки кругов.

Круги – основания цилиндра.

Отрезки – образующие цилиндра.

ВС – радиус (радиусом цилиндра называется радиус его основания).

АВ – высота (высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований). Ось цилиндра (осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований).

2. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

3. Цилиндр – тело, полученное от вращения прямоугольника вокруг его стороны как оси.

4. Сечение, проходящее через ось, называется осевым.

5. Сечение, перпендикулярное оси – круг.

6. S_б.=C∙H; S_nn=2∙S_осн.+S_бок.; V=S_осн.∙Н;

S_б. =2R∙H; S_nn=2R²+2RH; V=R²∙H.

R – радиус цилиндра, Н – высота. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

КОНУС

1. Конусом называется тело, которое состоит из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости круга (вершины) и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания (образующих).

2. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из

его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

1. Конус – тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

2. Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник.

3. Сечение, перпендикулярное оси конуса – круг.

6. Плоскость, перпендикулярная оси, отсекает меньший конус.Оставшаяся часть – усечённый конус.

7. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности:

S_nn=S_осн.+S_бок.; S_nn=R²+RL; V=R²H.

ШАР

1. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара.

2. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой.

3. Точки сферы – это точки шара, удалённые от центра на расстояние равное радиусу.

4. Отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом.

5. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара – диаметр.

6. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

7. Шар, получается, от вращения полукруга вокруг диаметра как оси.

8. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

9. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.

10. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом. Сечение сферы – большой окружностью.

11. Площадь сферы: S=4R², где R – радиус сферы.

12. Объём шара: V=πR³, где R – радиус шара.

Приступим к выполнению.

S=4πR²

V=πR³

Конус

Прямоуголь-ного треуголь-

ника

S=πR²+πRL

V=πR²H

Цилиндр

Прямоуголь-ника

S=2πR²+2πRH

V=πR²H

Усечен-

ный конус

Прямоуголь-ной трапеции

S=Lπ(R₁+R₂)+ +πR₁²+πR²₂

V=πH(R₁²+ R₁∙R₂+R₂²)

«ШАР»

Дано:

Цилиндр

d = 20 см

H = 4 м

2,5% на швы

Найти:

S_бок.п + 2,5% S_б.п.

Решение:

Sбок_. = 2πRH = 2 × 3,14 × 10 × 400 = 25120 (см²)

25120см²÷ 100%∙ 2,5% = 628 (см²)

S_бок.п + 2,5% S_б.п. = 25120 + 628 = 25748 см²≈ 2,58 м²

Ответ: На изготовление трубы необходимо 2,58 м² .

«ЦИЛИНДР»

Дано:

Конус

d = 4 м

5% на швы

Найти:

S_{бок. к.} + 5% S_{парусины}

Решение:

S_{бок. к} = πRL

SA = L. Из ∆SOA по т. Пифагора найдем

SA = SO² + AO² = 16,25

S_бок. к = 3,14 × 2 16,25 ≈ 25 м²

25 м² – 95%

X – 100%

X = 25×100÷95 ≈ 26,3 (м²)

Ответ: Для палатки необходимо 26,3 м² парусины.

«КОНУС»

Дано:

Полушар

R=6/√π м

На 1 м²- 6кг клея

1 мешок – 30кг клея

Найти:

n- мешков

Решение:

S = ½∙4πR² = 2πR² = 2π∙36/π = 72 (м²)

72∙6 = 432 (кг)

n = 432÷30 = 14,4 мешка ≈15 мешков

Ответ: 15 мешков.

1. Домашнее задание:

ПЛАН УРОКА

УРОК №

ПРЕДМЕТ :МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ : 08.04.2020.

ГРУППА № 2-6

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 23.01.17. МАСТЕР ПО РЕМОНТУ И ОБСЛУЖИВАНИЮ АВТОМОБИЛЕЙ .

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ :ХИЗРИЕВА Н.А.

ТЕМА УРОКА: «Формула площадей и объемов тел вращений ».

Тип урока: комбинированный

Образовательная: проверка усвоения изученного материала, умения применять теоретический материал для решения практико-ориентированных задач связанных с конусом, шаром, цилиндром.

Развивающая: развитие конструктивных способностей учащихся; каждый учащийся борется за личное и командное первенство.

Воспитывающая: воспитывать волю к победе, любовь к профессии, фантазию.

Средства обучения:

Технические: мультимедийная система, интерактивная доска.

Художественно-изобразительные (цифровые материалы): электронная презентация к конкурсу капитанов и к историческому конкурсу «Тела вращения».

Оборудование: демонстрационная полка с телами вращения, модели фигур вращения (цилиндр, конус, шар), раздаточный материал таблицы-задания, шарикоподшипники, роликовые подшипники, глобус, линейки, карандаши.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративное повторение пройденного материала.

Межпредметные связи: физика «Поверхностное натяжение», астрономия «Солнечная система», география «Параллели и меридианы», черчение «Разрез поршня ДВС».

Ход урока:

1. Организационный момент:

а) Рапорт о готовности к уроку.

б) Проверка принадлежностей у всех учащихся.

в) Объяснить ход урока и его цели:

Ребята, сегодня у нас урок – конкурс по теме: «Тела вращения, их объёмы и площади поверхностей». Вам предстоит участвовать в конкурсах: конкурс капитанов; разминка команд; практический конкурс; исторический конкурс; конкурс – «гимнастика ума», где вы будете применять изученный материал и бороться как за личное, так и командное первенство.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ.

 Задача №1.

Сколько в связке электродов для электросварки, если их общая масса 10 кг, а каждый электрод кусок стальной проволоки длиной 45 см и диаметром 6 мм. Плотность стали 7600 кг/м³.

Дано: Цилиндр:

m = 10 кг

Н = 45 см

D = 6 мм

ρ=7600 кг/м³

Найти: сколько штук?

Решение:

Ответ: 100 штук.

Слайд № 11 Задача № 2.

Сколько потребуется краски, чтобы покрасить полусферическую крышу павильона радиусом 3 м, если на 1 м² расходуется 200 гр краски.

Дано: сфера.

R = 3 м

1 м² – 200 гр

Найти: m

Решение:

S = 4πR²

½ S = (2 * 3,14* 9) : 2 = 56,52 м²

m = 56,52 * 200 = 11300 гр = 11 кг 300 гр.

Ответ: 11 кг 300 гр.

1. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

1. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ.

Что нового вы сегодня узнали?

Чем занимались на уроке?

Выставление оценок за урок.

Тема: «Тела вращения».

1. По данным на изображении осевого сечения цилиндра укажите значение образующей /:

а) 10√3 см; б) 1О73 см; в) 5√3. см.

2. Найдите, чему равна площадь полной поверхности цилиндра диаметром 8 см и высотой 5 см.

а) 1087 см²; б)72π см² см; в) 68π см²

3. Найдите радиус основания конуса, если его объем равен 2,25πсм³, а высота 3 см.

а) 1, 5 см; б) 1,О7 см; в) 5 см.

ПЛАН УРОКА

УРОК №

ПРЕДМЕТ :МАТЕМАТИКА

ДАТА ПРОВЕДЕНИЯ : 09.04.2020.

ГРУППА № 2-6

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ: 23.01.17. МАСТЕР ПО РЕМОНТУ И ОБСЛУЖИВАНИЮ АВТОМОБИЛЕЙ .

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ :ХИЗРИЕВА Н.А.

УРОК ПО ТЕМЕ «Выполнение упражнений на нахождение производной ».

Цель урока: Систематизация и обобщение знаний учащихся о производной, ее геометрическом и физическом смысле, повторение правил дифференцирования, формул производных, подготовка к контрольной работе.

Задачи:

• Закрепить формулы и правила вычисления производных, рассмотреть решение задач, связанных с этой темой, базового и повышенного уровней сложности; обобщить теоретические знания по теме: «Производная. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной», выяснить степень готовности учащихся к выполнению контрольной работы по теме;

• Воспитывать культуру общения, умение работать в коллективе, стремление преодолевать трудности на пути улучшения собственных результатов;

• Развивать самоконтроль и самооценку, творческие способности в изучении математики.

Ход урока:

I Орг.момент

Сообщение темы и задач урока

II Актуализация опорных знаний.

1. Заполнить таблицу производных.

2. Правила вычисления производных.

3. Устный работа по нахождению производных.

:

Задание № 1

1)   ; y= x⁴-x³ y´=4x³- 3x²

2)   ; y=x⁴-1 y´=4x³

3)   ; y´=

4)   ; y=1 y´=0

5)   ; y=cos2x y´=-2sin2x

6)   ; y=x³-8 y´=3x²

1. Найдите производную функции

 в точке х₀ = 0

2. Найдите производную функции:

б) 

в)   ;

Найти производную функции f(x)=3х4 – 7х3 + х + π А) 12х4 - 21х3 + х + π В) 12х3 – 21х2 + π Б) 12х3 – 21х2 +1 Г) 9х3 – 14х2 + 1

Найти производную функции f(x)=2х4 – 7х3 + х + 6 А) 8х4 - 21х3 + х + 6 В) 8х3 – 21х2 + 6 Б) 8х3 – 21х2 +1 Г) 6х3 – 14х2 + 1

VII Подведение итогов урока

Задание на дом:

Вариант1 Найти производную функции: а) f(x)=х⁹ б) f(x)=2х⁷ -3х² +2

Вариант2 Найти производную функции: а) f(x)=х² б) f(x)=3х⁷ -х² +2 в)