Հետազոտական աշխատանք

1. Կատարյալ թվեր

2. Պյութագորասականները զբաղվում էին կատարյալ թվերի հայտնաբերմամբ, որոնք հավասար են /բացի իրենցից/ իրենց բաժանարարների գումարին: Կատարյալ թվերը քիչ են.

6, 28, 496…

1. Բարեկամ թվեր

Բարեկամ թվերից յուրաքանչյուրը հավասար է մյուսի բաժանարարների գումարին:

Օրինակ.220 և 284

1. Բնական թվերի քառակուսիներ

Պյութագորասականները հայտնաբերեցին, որ եթե գրեն բոլոր կենտ թվերի գումարը, ապա յութաքանչյուր գումարից հետո կստացվի բնական թվի քառակուսի

1= 1²

1+3=4=2²

1+3+5=9=3²

և այդպես շարունակ:

Պյութագորասի թեորեմը, որը կրում է իր անունը, հայտնի էր ավելի վաղ Միջագետքում, Հին Եգիպտոսում և Հնդկաստանում։ Արդյոք Պյութագորասը ինքն է ապացուցել այդ թեորեմը, հայտնի չէ, քանի որ անտիկ աշխարհում ընդունված էր նշել ուսուցչի անունը իր աշակերտների կատարած հայտնագործությունների համար։ Թեորեմի հետ Պյութագորասի անվան կապը ամենավաղը հայտնվել է իր մահվանից 5 դար անց, Ցիցերոնի և Պլուտարքոսի աշխատություններում։

¢ 3 Պյութագորասի թեորեմի մի քանի ապացույցներ

Ուղղանկյուն եռանկայան ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսը հավասար է էջերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարին. Այս առաջադրությունը Պլուտարքոսի վկայությամբ մինչ Պյութագոասը հայտնի չէր: Սակայն բաբելոնյան արձայագրությունները և չինական ձեռագրերի ուսումնասիրությունը ցույց է տվել, որ հիշյալ փաստը հայտնի է Պյութագորասից 1200 տարի առաջ:

Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսին հավասարամեծ է էջերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարին։

Պարզագույն ապացույցը ստացվում է հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան դեպքում։ Դրանից էլ առաջանում էր թեորեմը։

Իսկապես, բավականին պարզ պատկեր է ստացվում եթե դիտարկենք հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյունների խճանկարը, որից երևում է թեորեմի ճշմարիտ լինելը։ Օրինակ՝ ΔABC համար՝ քառակուսին, որը կառուցված է АС ներքնաձիգի վրա, պարունակում է 4 եռանկյուններ, իսկ էջերի վրա կառուցված քառակուսիները պարունակում են 2-ական այդ նույն եռանկյուններից։ Թեորեմն ապացուցված է։

Ապացույց №3

Դիցուք, Т- ուղղանկյուն եռանկյունի է, որի էջերն են а, b իսկ ներքնաձիգը с-ն։ Ապացուցենք, որ с²=а²+Ь^2։

Կառուցենք մի Q քառակուսի, որի կողմը а+Ь-է։ Այդ քառակուսու կողմերի վրա վերցնենք А, В,С, D կետերը այնպես, որ АВ, ВС, CD,DA հատվածները Q քառակուսուց անջատեն Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ եռանկյունները а և b էջերով։ ABCD քառանկյունը նշանակենք Р տառով։ Ցույց տանք, որ Р-ն с կողմով քառակուսի է։

Դիցուք, α և β Т եռանկյան սուր անկյուններն են։ Ապա α + β = 90°։ Р քառանկյան A գագաթի անկյունը α և β անկյունների հետ միասին կազմում է փռված անկյուն։ α + β +A=180°՝ այստեղից անկյուն A=90°։ Նույնաբար ապացուցում ենք, որ Р քառանկյան մնացած անկյունները նույնպես ուղիղ են, հետևաբար Р-ն с կողմով քառակուսի է։

Այսպիսով, а+Ь կողմով Q քառակուսին բաղկացած է с կողմով Р քառակուսուց և 4 ուղղանկյուն եռանկյուններից, որոնք հավասար են Т եռանկյանը, նրանց մակերեսների համար տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝ S(Q)=S(P)+4S(T)։

Քանի որ S(Q)=(a+b)²; S(P)=c² և S(T)=2ab, ապա տեղադրելով այս արտահայտությունները S(Q)=S(P)+4S(T) հավասարությանը, կստանանք (a + b)² = c² + 4*½a*b։ Քանի որ (a+b)²=a²+b²+2ab, ապա (a+b)²=c²+4½ab հավասարությունը կարելի է գրել այսպես՝  a²+b²+2ab=c² +2ab, որտեղից հետևում է, որ с²=а²+Ь²։ Թեորեմն ապացուցված է։

Ապացույց №4

Դիցուք ΔАВС  ուղղանկյուն եռանկյուն է` С ուղիղ անկյունով։ С գագաթից տանենք СD բարձրությունը։

C

A B D

Նույն ձևով соsВ=BD/BC=BC/AB,

որտեղից AB•BD=ВС^2։

Գումարելով ստացված հավասարությունները անդամ առ անդամ և նկատելով, որ

AD+DB=AB կստանանք

АС²+ВС²=АВ(AD + DB)=АВ^2։

Թեորեմն ապացուցված է։

¢4 Բնական թվերով արտահայտված կողմեր ունեցող ուղղանկյուն եռանկյուններ

Պյութագորասի թեորեմի հակադարձ թեորեմի՝ 3,4,5 կողմերով եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է, քանի որ 5² =3²+ 4² : Ուղղանկյուն եռանկյուն է նաև

5, 12, 13 ; 8, 15, 17; 7, 24, 25 կողմերով եռանկյուններից յուրաքանչյուրը, քանի որ մեծ կողմի քառակուսին հավասար է փոքր կողմերի քառակուսիների գումարին: Ուղղանկյուն եռանկյունները, որոնց կողմերն արտահայտվում են ամբողջ թվերով, կոչվում են պյութագորասյան եռանկյուններ:

Կարելի է ապացուցել նաև, որ այդպիսի եռանկյունների a, b էջերը և c ներքնաձիգը արտահայտվում են հետևյալ բանաձևերով. a=2mn

b=m²-n² որտեղ m –ը և n-ը կամայական բնական թվեր են, m

Ապացուցում: Դիցուկ բնական թվեր են և բավարարում են պյութագորասյան հավասարությանը:

:

Քանի որ թվերը պետք է լինեն բնական թվեր, ապա ; թվերը կլինեն ռացիոնալ թվեր: Մյուս կողմից

, որտեղ :

Այսինքն.

Սկզբում գումարենք, իսկ հետո հանենք համակարգի հավասարումները կստանանք.

,

:, ,

Կոտորակները անկրճատելի են, հետևաբար.

; ; ;

;

Ամենափոքր բնական թվերով եռանկյունը կստացվի, երբ ; :

; ;

¢5 Պյութագորասի թեորեմի կիրառությունը խնդիրների լուծման մեջ:

Խնդիր1. Գտեք ABCD քառանկյան մակերեսը, եթե AB=5սմ, BC=13սմ, CD=9սմ, AC=12սմ, DA=15սմ:

B

A C

D

Լուծում

Քանի որ 13 ² = 12 ² + 5 ² և

15 ² = 12 ² + 9² ապա, ըստ Պյութագորասի թեորեմի հակադարձի ABC , ACD եռանկյունները ուղղանկյուն եռանկյուններ են:

Այդ երկու եռանկյունների մաակերեսների գումարը հավասար է ABCD քառանկյան մակերեսին, այսինքն.

S _ABCD = S _ABC +S _ACD =

ä³ï.`

[Type a quote from the document or the summary of an interesting point. You can position the text box anywhere in the document. Use the Drawing Tools tab to change the formatting of the pull quote text box.]

B K C

N M F

A P D

ABCD ուղղանկյան ներսում վերցված է M կետը: Հայտնի է, որ MB=a, MC=b, MD=c: Գտնել MA:

Լուծում

M Ï»ïáí ï³Ý»Ýù áõÕÕ³ÝÏÛ³Ý ÏáÕÙ»ñÇÝ ½áõ·³Ñ»éÝ»ñ, ÏáÕÙ»ñÇ íñ³ ³é³ç³ó³Í ѳïí³ÍÝ»ñÁ Ý߳ݳϻÝù x₁–áí, x₂–áí, y₁–áí, y₂–áí, ÇëÏ AM–Áª x–áí: ²é³ç³ó³Í áõÕÕ³ÝÏÛáõÝ »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇó, Áëï äÛáõó·áñ³ëÇ Ã»áñ»ÙÇ, ÏáõݻݳÝù x₁ ² + y²₁ = a² ,

X₂² + y²₁ = b² ,

X₂² + y₂² = c² ,

x ₁²+ y₂ ² = x² : àõñ»ÙÝ c² – b² = y₂² – y₁² , c² – b² + a² = y₂² + x₁² :

²ÛëåÇëáí` x² = c² – b² + a² x = c − b + a : ä³ï.ª c² – b² + a²

º¼ð²Î²òàôÂÚàôÜ

Աշխատանքը անդրադարձ է մաթեմատիկայի պատմությանը, նկարագրում է Պյութագորասի ապրելու և ստեղծագործելու պատմական ժամանակաշրջանը, ՄԹԱ Հունաստանում առկա գիտական անցուդարձը: Եվ այս ամենի արդյունքը Պյութագորասի նշանավոր թեորեմն է, իր ապացուցումներով, կիրառություններով:

¶ð²Î²ÜàôÂÚàôÜ

1. ²Ã³Ý³ëÛ³Ý È.ê., ´áõïáõ½áí ì.ü. ¨ áõñÇßÝ»ñ.- ºñÏñ³ã³÷áõÃÛáõÝ-8, ºñ¨³Ý, §¼³Ý·³Ï-97¦, 2012Ã.

2. ì»ñ³å³ïñ³ëïÙ³Ý ¹³ëÁÝóóÇ Éë³ñ³Ý³ÛÇÝ Å³Ù»ñÇն ÇÝùÝáõñáõÛÝ ³ß˳­ï³ÝùÝ»ñÇ ³é³ç³ñÏí³Í ËݹÇñÝ»ñÇó:/դասախոս` Ա. Միքայելյան/

3.www.1september.ru

4.www.uchportal.ru