I. Методика исследования теории уравнения, неравенства и систем уравнений на числовых множествах

1. Методика исследования теории уравнения, неравенства и систем уравнений на числовых множествах

Алгебра щедра. Зачастую она дает

больше, чем у нее спрашивают.

Ж.Даламбер

На протяжении многих лет, математическое образование, наряду с естественнонаучным и техническим, рассматривается как наиболее престижное. В связи с этим важнейшим для себя предметом учащиеся средней школы считают математику.

Проникновение математики в разные сферы деятельности повлияло на то, что и в повседневной практике довольно часто используются математические знания. Это не только применение простых математических расчетов, но и использование элементов высшей математики, анализа и теории вероятности. Сегодня в повседневной речи часто можно услышать такие выражения, как «количество заболевших гриппом растет в геометрической прогрессии» или « количество школ увеличилось на порядок». Эти примеры доказывают, что все более широкий спектр математических знаний становится сегодня обязательным элементом общей культуры современного человека.

Элементарная алгебра – одна из старейших ветвей математики. Она зародилась в древности при поисках общих способов решения задач, более универсальных, чем арифметические методы. Одно из отличий алгебры от арифметики состоит в том, что для решения вводится неизвестное. Выполняя над ним и данными из условия задачи определенные действия, получают выражение, которое можно прировнять другому выражению. Полученное выражение называют уравнением, которое позволяет найти неизвестное.

Возникновение и развитие элементарной алгебры связаны:

• с расширением понятия о числе;

• с введением буквенной символики, которая приводит к изучению тождественных преобразований;

• с учением о решении уравнений и систем уравнений, что позволяет рационально решать разнообразные задачи, в том числе и практические;

• с развитием понятия о переменной и функции.

Исторически изучение этих явлений находится в тесной взаимозависимости и взаимообусловленности. Поэтому и в школьном курсе алгебры как своеобразной проекции науки сплетены элементы трех математических дисциплин аналитического цикла: арифметики, алгебры и анализа («три великие А», по выражению Ф. Клейна).

Основные разделы алгебры включают: учение о числах; тождественные преобразования; уравнения и их системы; учение о простейших элементарных функциях.

Программа алгебры ставит важнейшую задачу: научить школьников решать уравнения первой степени с одной переменной, линейные системы с двумя неизвестными, квадратные уравнения и системы уравнений, сводящихся к квадратному уравнению. Уравнения и системы рассматриваются преимущественно с числовыми коэффициентами. Хотя решение уравнений с буквенными коэффициентами ограничивается небольшим числом примеров, все же следует научить школьников в каждом равенстве, содержащем несколько переменных, видеть уравнение относительно любой из переменных и уметь в простейших случаях решать их.

Решение задач путем составления уравнений и систем уравнений является одним из приводных ремней, связывающих учение об уравнениях с решением практических задач.