Идеи и методы решения нестандартных задач: обратный ход

Обратный ход

Если в задаче задана некоторая операция, и эта операция обратима, то можно сделать «обратный ход» от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли.) Анализ с конца используется в играх при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.

Пример 1. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число цветков удваивалось, и на двадцатый день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?

Решение. Начнем с конца. Пусть сегодня половина озера покрылась цветами. Через сколько дней покроется всё озеро? Завтра! И это будет 20-й день.

Ответ: за 19 дней.

Пример 2. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?

Решение. Мы знаем, что в конце у всех оказалось по 40 фантиков, а перед этим у Пети и Вани было вдвое меньше. Значит, у Пети и Вани было по 20, а у Толи – 80. А перед этим у Пети и Толи было вдвое меньше, т. е. у Пети было 10, у Толи – 40, у Вани – 70. И, наконец, возьмём половину фантиков у Вани и Толи и вернем Пете.

Ответ: у Пети было 65 фантиков, у Вани – 35, а у Толи – 20.

Пример 3. В квадрате ABCD на стороне AB внутри квадрата построили равнобедренный треугольник ABE с углами при основании AB равными 15 . Докажите, что треугольник CDE правильный.

Решение. Решим обратную задачу: докажем, что если треугольник CDE₁ правильный, то у треугольника ABE₁ углы при основании AB равны 15.

Поскольку ∠ADE₁ = 30 и DE₁ = AD, то ∠E₁AD = ∠AE₁D = 75 . Значит,
∠E₁AB = 15 . Аналогично ∠E₁BA = 15 . Итак, мы доказали, что вершина E₁ правильного треугольника CDE₁ попадает как раз в ту точку E, которая дана в условии задачи. Значит, треугольник CDE правильный.

Задачи для самостоятельного решения

1. Однажды царь наградил крестьянина яблоком из своего сада. Пошёл крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе только одни ворота, и в каждых воротах стоит сторож. Подошёл крестьянин к первому сторожу и показал царский указ, а сторож ему в ответ: «Иди возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что несёшь, и ещё одно». То же ему сказали второй и третий сторож. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко?

2. Трём братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на три бублика меньше, чем ему лет. Меньший брат был сообразительный и предложил поменять часть бубликов: «Я, – сказал он, – оставлю половину бубликов, а другую разделю между вами поровну; после этого средний брат также оставит половину бубликов, а другую разделит поровну между мной и старшим братом. В конце старший брат поделит так же». Так они и сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько лет каждому брату?

3. Учитель раздавал школьникам открытки. Первому он дал одну открытку и одну десятую оставшихся. Второму он дал две открытки и одну десятую оставшихся и т. д. Девятому он дал девять открыток и одну десятую оставшихся. Оказалось, что все получили поровну и все открытки были розданы. Сколько всего было открыток?

4. На Олимпе есть игра: всем богам наливают поровну нектар, затем один из них переливает другому столько нектара, сколько у того уже было, и это повторяется несколько раз. Однажды удалось слить весь нектар в чашу Зевса. Докажите, что число богов было степенью двойки.