ЕГЭ-2017, тесты( профиль)

Вариант

1. Так­сист за месяц про­ехал 6000 км. Сто­и­мость 1 литра бен­зи­на 20 руб­лей. Сред­ний рас­ход бен­зи­на на 100 км со­став­ля­ет 9 л. Сколь­ко руб­лей по­тра­тил так­сист на бен­зин за этот месяц?

2.

На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти во все дни с 10 по 29 но­яб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся дни ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный день. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, ка­ко­во наи­боль­шее су­точ­ное ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти за ука­зан­ный пе­ри­од.

3. Най­ди­те (в см²) пло­щадь S за­кра­шен­ной фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки

1 см  1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те .

4. За круг­лый стол на 201 стул в слу­чай­ном по­ряд­ке рас­са­жи­ва­ют­ся 199 маль­чи­ков и 2 де­воч­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что между де­воч­ка­ми будет си­деть один маль­чик.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

6. В окруж­но­сти с цен­тром O от­рез­ки AC и BD — диа­мет­ры. Впи­сан­ный угол ACB равен 38°. Най­ди­те цен­траль­ный угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

7.

Пря­мая  яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­теa.

8. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

10. Для обо­гре­ва по­ме­ще­ния, тем­пе­ра­ту­ра в ко­то­ром под­дер­жи­ва­ет­ся на уров­не , через ра­ди­а­тор отоп­ле­ния про­пус­ка­ют го­ря­чую воду. Рас­ход про­хо­дя­щей через трубу воды кг/с. Про­хо­дя по трубе рас­сто­я­ние , вода охла­жда­ет­ся от на­чаль­ной тем­пе­ра­ту­ры  до тем­пе­ра­ту­ры , причeм , где  — теплоeмкость воды,  — ко­эф­фи­ци­ент теп­ло­об­ме­на, а  — по­сто­ян­ная. Най­ди­те, до какой тем­пе­ра­ту­ры (в гра­ду­сах Цель­сия) охла­дит­ся вода, если длина трубы ра­ди­а­то­ра равна 84 м.

11. Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми A и B равно 198 км. Из A в B по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через 3 часа вслед за ним от­пра­ви­лась яхта, ко­то­рая, при­быв в пункт B, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в A. К этому вре­ме­ни плот про­шел 46 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке [−2; 2].

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку 

14. На рёбрах DD₁ и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 8 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP = 7, а B₁Q = 3. Плос­кость A₁PQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке М.

а) До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С₁ до плос­ко­сти A₁PQ.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. Дан тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 26, 26 и 20. Внут­ри него рас­по­ло­же­ны две рав­ные ка­са­ю­щи­е­ся окруж­но­сти, каж­дая из ко­то­рых ка­са­ет­ся двух сто­рон тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те ра­ди­у­сы окруж­но­стей.

17. 1 июня 2013 года Все­во­лод Яро­сла­во­вич взял в банке 900000 руб­лей в кре­дит. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 1 числа каж­до­го сле­ду­ю­ще­го ме­ся­ца банк на­чис­ля­ет 1 про­цент на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 1%), затем Все­во­лод Яро­сла­во­вич пе­ре­во­дит в банк платёж. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Все­во­лод Яро­сла­во­вич может взять кре­дит, чтобы еже­ме­сяч­ные вы­пла­ты были не более 300000 руб­лей?

18. Из­вест­но, что зна­че­ние па­ра­мет­ра а та­ко­во, что си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние. Най­ди­те это зна­че­ние па­ра­мет­ра a и ре­ши­те си­сте­му при най­ден­ном зна­че­нии па­ра­мет­ра.

19. Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние  где 

12

Вариант

1. В об­ще­жи­тии ин­сти­ту­та в каж­дой ком­на­те можно по­се­лить че­ты­рех че­ло­век. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ком­нат не­об­хо­ди­мо для по­се­ле­ния 83 ино­го­род­них сту­ден­тов?

2. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­плав­ки меди в 11 стра­нах мира(в ты­ся­чах тонн) за 2006 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по вы­плав­ке меди за­ни­ма­ла Папуа — Новая Гви­нея, один­на­дца­тое место — Индия. Какое место за­ни­ма­ла Ар­ген­ти­на?

3.

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

4. Ме­ха­ни­че­ские часы с две­на­дца­ти­ча­со­вым ци­фер­бла­том в какой-то мо­мент сло­ма­лись и пе­ре­ста­ли идти. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ча­со­вая стрел­ка оста­но­ви­лась, до­стиг­нув от­мет­ки 4, но не дойдя до от­мет­ки 7 часов.

5.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

6. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол С равен    Най­ди­те BС.

7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле . Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции . В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

8. Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:

10. Груз мас­сой 0,6 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость v ме­ня­ет­ся по за­ко­ну  где t — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T = 12 с — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  где m — масса груза в ки­ло­грам­мах, v — ско­рость груза в м/с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 7 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

11. Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 19-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 15-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

12.Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке .

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

14.  — пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной ,  — се­ре­ди­на . Ко­си­нус угла между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды равен  Най­ди­те угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми этой пи­ра­ми­ды, если SM = 4.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. Бо­ко­вые сто­ро­ны KL и MN тра­пе­ции KLMN равны 16 и 34 со­от­вет­ствен­но. От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей, равен 15, сред­няя линия тра­пе­ции равна 30. Пря­мые KL и MN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке А. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ALM.

17. В одной стра­не в об­ра­ще­нии на­хо­ди­лось 1 000 000 дол­ла­ров, 20% из ко­то­рых были фаль­ши­вы­ми. Некая кри­ми­наль­ная струк­ту­ра стала вво­зить в стра­ну по 100000 дол­ла­ров в месяц, 10% из ко­то­рых были фаль­ши­вы­ми. В это же время дру­гая струк­ту­ра стала вы­во­зить из стра­ны 50 000 дол­ла­ров еже­ме­сяч­но, из ко­то­рых 30% ока­за­лись фаль­ши­вы­ми. Через сколь­ко ме­ся­цев со­дер­жа­ние фаль­ши­вых дол­ла­ров в стра­не со­ста­вит 5%?

18. Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра  при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

19. а) При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го

в 10 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

б) Су­ще­ству­ет ли такое четырёхзнач­ное число, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го в 175 раз боль­ше суммы цифр этого числа?

в) Най­ди­те все четырёхзнач­ные числа, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­рых в 50 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

8

Вариант

1. Кли­ент взял в банке кре­дит 18 000 руб­лей на год под 18 %. Он дол­жен по­га­шать кре­дит, внося в банк еже­ме­сяч­но оди­на­ко­вую сумму денег, с тем чтобы через год вы­пла­тить всю сумму, взя­тую в кре­дит, вме­сте с про­цен­та­ми. Сколь­ко руб­лей он дол­жен вно­сить в банк еже­ме­сяч­но?

2. На ри­сун­ке по­ка­за­но из­ме­не­ние тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха на про­тя­же­нии трёх суток. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся дата и время, по вер­ти­ка­ли — зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку раз­ность между

наи­боль­шей и наи­мень­шей тем­пе­ра­ту­рой воз­ду­ха 13 июля. Ответ дайте в гра­ду­сах Цель­сия.

3. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

4. Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ма­те­ма­ти­ке уча­щий­ся П. верно решит боль­ше 12 задач, равна 0,7. Ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит боль­ше 11 задач, равна 0,79. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что П. верно решит ровно 12 задач.

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

6. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, две сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 21 и 2, а угол между ними равен 30°.

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции  (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те F(8) − F(2), где F(x) — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции f(x).

8. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де бо­ко­вое ребро равно 22, а тан­генс угла между бо­ко­вой гра­нью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен  Найти сто­ро­ну ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

9. Най­ди­те  если  и 

10. Груз мас­сой 0,8 кг ко­леб­лет­ся на пру­жи­не. Его ско­рость v ме­ня­ю­ется по за­ко­ну  где  — время с мо­мен­та на­ча­ла ко­ле­ба­ний, T = 2 с — пе­ри­од ко­ле­ба­ний, м/с. Ки­не­ти­че­ская энер­гия E (в джо­у­лях) груза вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле  где m — масса груза в ки­ло­грам­мах, v — ско­рость груза в м/с. Най­ди­те ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 20 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний. Ответ дайте в джо­у­лях.

11. Биз­не­смен Кор­жов по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 1 400 000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 20% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей со­ста­ви­ла при­быль Кор­жо­ва за 2004 год?

12. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

13. Ре­ши­те урав­не­ние 

14. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме , все рёбра ко­то­рой равны , най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми  и .

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. В тре­уголь­ник ABC впи­са­на окруж­ность ра­ди­у­са R, ка­са­ю­ща­я­ся сто­ро­ны AC в точке M , причём AM = 5R и CM = 1,5R.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми его впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей, если из­вест­но, что R = 4.

17. 31 де­каб­ря 2014 года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банкX руб­лей. Какой долж­на быть сумма X, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет более двух ре­ше­ний.

19. Целое число S яв­ля­ет­ся сум­мой не менее трех по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов не­по­сто­ян­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из целых чисел.

а) Может ли S рав­нять­ся 8?

б) Может ли S рав­нять­ся 1?

в) Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать S.

14

Вариант

1. Маша от­пра­ви­ла SMS-со­об­ще­ния с но­во­год­ни­ми по­здрав­ле­ни­я­ми своим 16 дру­зьям. Сто­и­мость од­но­го SMS-со­об­ще­ния 1 рубль 30 ко­пе­ек. Перед от­прав­кой со­об­ще­ния на счету у Маши было 30 руб­лей. Сколь­ко руб­лей оста­нет­ся у Маши после от­прав­ки всех со­об­ще­ний?

2. На диа­грам­ме по­ка­за­но рас­пре­де­ле­ние вы­плав­ки апю­ми­ния в 10 стра­нах мира (в ты­ся­чах тонн) за 2009 год. Среди пред­став­лен­ных стран пер­вое место по объёму вы­плав­ки за­ни­мал Бах­рейн, де­ся­тое место — Новая Зе­лан­дия. Какое место среди пред­став­лен­ных стран за­ни­мал Мо­зам­бик?

3. На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ра­же­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

4. Кон­курс ис­пол­ни­те­лей про­во­дит­ся в 5 дней. Всего за­яв­ле­но 45 вы­ступ­ле­ний — по од­но­му от каж­дой стра­ны, участ­ву­ю­щей в кон­кур­се. Ис­пол­ни­тель из Рос­сии участ­ву­ет в кон­кур­се. В пер­вый день 9 вы­ступ­ле­ний, осталь­ные рас­пре­де­ле­ны по­ров­ну между остав­ши­ми­ся днями. По­ря­док вы­ступ­ле­ний опре­де­ля­ет­ся же­ребьёвкой. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что вы­ступ­ле­ние пред­ста­ви­те­ля Рос­сии со­сто­ит­ся в тре­тий день кон­кур­са?

5.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

6. Ост­рый угол ромба равен 30°. Ра­ди­ус впи­сан­ной в этот ромб окруж­но­сти равен 9. Най­ди­те сто­ро­ну ромба.

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те , где  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции 

8. Най­ди­те объем  части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

9.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

10. Ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия (КПД) кор­мо­за­пар­ни­ка равен от­но­ше­нию ко­ли­че­ства теп­ло­ты, за­тра­чен­но­го на на­гре­ва­ние воды мас­сой  (в ки­ло­грам­мах) от тем­пе­ра­ту­ры  до тем­пе­ра­ту­ры  (в гра­ду­сах Цель­сия) к ко­ли­че­ству теп­ло­ты, по­лу­чен­но­му от сжи­га­ния дров массы  кг. Он опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой , где  Дж/(кгК) – теплоёмкость воды,  Дж/кг – удель­ная теп­ло­та сго­ра­ния дров. Опре­де­ли­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство дров, ко­то­рое по­на­до­бит­ся сжечь в кор­мо­за­пар­ни­ке, чтобы на­греть  кг воды от  до ки­пе­ния, если из­вест­но, что КПД кор­мо­за­пар­ни­ка не боль­ше . Ответ вы­ра­зи­те в ки­ло­грам­мах.

11. Баржа в 10:00 вышла из пунк­та  в пункт , рас­по­ло­жен­ный в 15 км от . Про­быв в пунк­те 1 час 20 минут, баржа от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт  в 16:00 того же дня. Опре­де­ли­те (в км/час) ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что соб­ствен­ная ско­рость баржи равна  км/ч.

12. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку 

14. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равна 2, а диа­го­наль бо­ко­вой грани равна  Най­ди­те угол между плос­ко­стью A₁BC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке  с углом  при вер­ши­не  про­ве­де­на бис­сек­три­са  В тре­уголь­ник  впи­сан пря­мо­уголь­ник  так, что сто­ро­на  лежит на от­рез­ке а вер­ши­на  —  на от­рез­ке 

а) До­ка­жи­те, что 

б) Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка  если 

17. Антон яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в ра­зных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дит­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые то­ва­ры при ис­поль­зо­ва­нии оди­на­ко­вых тех­но­ло­гий. Если ра­бо­чие на одном из за­во­дов тру­дят­ся сум­мар­но t² часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­водт t еди­ниц то­ва­ра.

За каж­дый час ра­бо­ты на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, Антон пла­тит ра­бо­че­му 250 руб­лей, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, — 200 руб­лей.

Антон готов вы­де­лять 900 000 руб­лей в не­де­лю на опла­ту труда ра­бо­чих. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра можно про­из­ве­сти за не­де­лю на этих двух за­во­дах?

18. Най­ди­те все зна­че­ния a , при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние  имеет един­ствен­ный ко­рень.

19. На­ту­раль­ные числа a, b, c и d удо­вле­тво­ря­ют усло­вию a  b  c  d.

а) Най­ди­те числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a² − b² + с² − d² = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a² − b² + с² − d² = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a² − b² + с² − d² = 1200. Най­ди­те ко­ли­че­ство воз­мож­ных зна­че­ний числа a.

11

Вариант

1.Оля от­пра­ви­ла SMS-cооб­ще­ния с но­во­год­ни­ми по­здрав­ле­ни­я­ми своим 14 дру­зьям. Сто­и­мость од­но­го SMS-со­об­ще­ния 1 рубль 30 ко­пе­ек. Перед от­прав­кой со­об­ще­ния на счету у Оли было 77 руб­лей. Сколь­ко руб­лей оста­нет­ся у Оли после от­прав­ки всех со­об­ще­ний?

2. На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­но су­точ­ное ко­ли­че­ство осад­ков, вы­па­дав­ших в Ка­за­ни с 3 по 15 фев­ра­ля 1909 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осад­ков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в мил­ли­мет­рах. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, ка­ко­го числа впер­вые вы­па­ло 5 мил­ли­мет­ров осад­ков.

3. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ра­жен угол. Най­ди­те синус этого угла

4. На кла­ви­а­ту­ре те­ле­фо­на 10 цифр, от 0 до 9. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но на­жа­тая цифра будет боль­ше 2, но мень­ше 7?

5. Най­ди­те ко­рень урав­не­ния 

6. В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке  , вы­со­та  равна 4. Най­ди­те .

7. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик  — про­из­вод­ной функ­ции  опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−3; 8). В какой точке от­рез­ка [−2; 4] функ­ция  при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

8.Вы­со­та ко­ну­са равна 4, а диа­метр ос­но­ва­ния — 6. Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

9.Най­ди­те , если  и .

10. Не­за­ви­си­мое агент­ство на­ме­ре­но вве­сти рей­тинг но­вост­ных ин­тер­нет-из­да­ний на ос­но­ве оце­нок ин­фор­ма­тив­но­сти , опе­ра­тив­но­сти , объ­ек­тив­но­сти пуб­ли­ка­ций , а также ка­че­ства сайта . Каж­дый от­дель­ный по­ка­за­тель оце­ни­ва­ет­ся чи­та­те­ля­ми по 5-балль­ной шкале це­лы­ми чис­ла­ми от 1 до 5.

Ана­ли­ти­ки, со­став­ля­ю­щие фор­му­лу рей­тин­га, счи­та­ют, что объ­ек­тив­ность це­нит­ся втрое, а ин­фор­ма­тив­ность пуб­ли­ка­ций — вдвое до­ро­же, чем опе­ра­тив­ность и ка­че­ство сайта. Таким об­ра­зом, фор­му­ла при­ня­ла вид

Каким долж­но быть число , чтобы из­да­ние, у ко­то­ро­го все оцен­ки наи­боль­шие, по­лу­чи­ло бы рей­тинг 1?

11. Заказ на 380 де­та­лей пер­вый ра­бо­чий вы­пол­ня­ет на 1 час быст­рее, чем вто­рой. Сколь­ко де­та­лей за час из­го­тав­ли­ва­ет пер­вый ра­бо­чий, если из­вест­но, что он за час из­го­тав­ли­ва­ет на 1 де­таль боль­ше вто­ро­го?

12. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  на от­рез­ке 

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

14. В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния  а бо­ко­вое ребро AA₁ = 8.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость BCA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти про­хо­дя­щей через ребро AA₁ и се­ре­ди­ну ребра B₁C₁.

б) Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стя­ми BCA₁ и BB₁C₁.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство: 

16. На сто­ро­нах AD и BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взяты со­от­вет­ствен­но точки M и N , причём M— се­ре­ди­на AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AN и AC делят от­ре­зок BM на три рав­ные части.

б) Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го на­хо­дят­ся в точ­ках С, N и точ­ках пе­ре­се­че­ния пря­мой BM c пря­мы­ми AN и AC , если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 48.

17. Лео­нид яв­ля­ет­ся вла­дель­цем двух за­во­дов в раз­ных го­ро­дах. На за­во­дах про­из­во­дят­ся аб­со­лют­но оди­на­ко­вые при­бо­ры, но на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, ис­поль­зу­ет­ся более со­вер­шен­ное обо­ру­до­ва­ние.

В ре­зуль­та­те, если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но 4t³часов в не­де­лю, то за эту не­де­лю они про­из­во­дят t при­бо­ров; если ра­бо­чие на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, тру­дят­ся сум­мар­но t³ часов в не­де­лю, они про­из­во­дят t при­бо­ров.  

За каж­дый час ра­бо­ты (на каж­дом из за­во­дов) Лео­нид пла­тит ра­бо­че­му 1 ты­ся­чу руб­лей. Не­об­хо­ди­мо, чтобы за не­де­лю сум­мар­но про­из­во­ди­лось 20 при­бо­ров. Какую наи­мень­шую сумму при­дет­ся тра­тить вла­дель­цу за­во­дов еже­не­дель­но на  опла­ту труда ра­бо­чих?

18. При каких зна­че­ни­ях а си­сте­мы урав­не­нии  и  рав­но­силь­ны?

19. Можно ли при­ве­сти при­мер пяти раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, про­из­ве­де­ние ко­то­рых равно 1512 и

а) пять;

б) че­ты­ре;

в) три

из них об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

9

Вариант

1. В квар­ти­ре, где про­жи­ва­ет Дмит­рий, уста­нов­лен при­бор учёта рас­хо­да хо­лод­ной воды (счётчик). 1 сен­тяб­ря счётчик по­ка­зы­вал рас­ход 167 куб. м. воды, а 1 ок­тяб­ря — 186 куб. м. Какую сумму дол­жен за­пла­тить Дмит­рий за хо­лод­ную воду за сен­тябрь, если цена 1 куб. м. хо­лод­ной воды со­став­ля­ет 17 руб. 30 коп.? Ответ дайте в руб­лях.

2. На гра­фи­ке по­ка­зан про­цесс разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, за сколь­ко минут дви­га­тель на­гре­ет­ся с 50 °C до 80 °C.

3. Най­ди­те длину диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1; 2), (1; 10), (7; 2), (7; 10).

4. В сбор­ни­ке би­ле­тов по био­ло­гии всего 50 би­ле­тов, в 15 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме "Зоо­ло­гия". Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са по теме "Зоо­ло­гия".

5. Ре­ши­те урав­не­ние 

6. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром O. Най­ди­те угол BOC, если угол BAC равен 32°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

7.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке 

8. Най­ди­те угол  пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го , , . Ответ дайте в гра­ду­сах.

9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния .

10. Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем  см. Рас­сто­я­ние  от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 55 до 70 см, а рас­сто­я­ние  от линзы до экра­на — в пре­де­лах от 260 до 300 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние . Ука­жи­те, на каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было чeтким. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

11.

Сме­ша­ли 3 литра 25-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с 12 лит­ра­ми 15-про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра этого же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

12.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  при­над­ле­жа­щую про­ме­жут­ку .

13. а) Ре­ши­те урав­не­ние 

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку 

14. Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­емABCD равна 108, а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды 144.

а) До­ка­жи­те, что угол между плос­ко­стью SAC и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S этой пи­ра­ми­ды, се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB и центр ос­но­ва­ния, равен 45°.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SAC.

15. Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

16. Дана тра­пе­ция ABCD с бо­ко­вой сто­ро­ной AB, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­ни­ям. Из точкиА на сто­ро­ну CD опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр AH. На сто­ро­не AB взята точка E так, что пря­мые СЕ и СDпер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а) До­ка­зать, что пря­мые BH и ED па­рал­лель­ны.

б) Найти от­но­ше­ние BH к ED, если 

17. Вклад пла­ни­ру­ет­ся от­крыть на че­ты­ре года. Пер­во­на­чаль­ный вклад со­став­ля­ет целое число мил­ли­о­нов руб­лей. В конце каж­до­го года вклад уве­ли­чи­ва­ет­ся на 10% по срав­не­нию с его раз­ме­ром в на­ча­ле года, а, кроме этого, в на­ча­ле тре­тье­го и четвёртого годов вклад еже­год­но по­пол­ня­ет­ся на 3 млн руб­лей. Най­ди­те наи­боль­ший раз­мер пер­во­на­чаль­но­го вкла­да, при ко­то­ром через че­ты­ре года вклад будет мень­ше 25 млн руб­лей.

18. Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

19. Целое число S яв­ля­ет­ся сум­мой не менее трех по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов не­по­сто­ян­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, со­сто­я­щей из целых чисел.

а) Может ли S рав­нять­ся 8?

б) Может ли S рав­нять­ся 1?

в) Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать S.

5