Индивидуальный итоговый проект "Лист Мебиуса"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Школа-лицей №2» г.Белогорска Республики Крым

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ

«Лист Мёбиуса»

Автор проекта:
Иевлева Мария Витальевна,
учащаяся 11-Б класса.

Руководитель проекта:
Зинченко Елена Анатольевна
учитель математики

Работа допущена к защите «_____» ______________202_г.

Подпись руководителя проекта ___________ (__________________)

г.Белогорск
2023/2024 учебный год

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 5

1.1. Историческая справка 5

1.1.1. Лист Мёбиуса-начало новой науки топологии 9

1.1.2. Лента Мёбиуса и её свойства 10

1.1.3.Свойства петли Мёбиуса……………………………………………...11

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 12

2.1. Опыты с листом Мёбиуса 13

2.1.1. Лента Мёбиуса. Применение 15

2.1.2. Лента Мёбиуса - широкое поле для вдохновения 16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 19

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 20

Введение

Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Лист(лента) Мёбиуса относится к ним в полной мере. Этот объект известен с середины XIX века. Его необычная форма скрывает не менее необычные свойства. Самое интересное, что сделать такой объект можно из обычного листа бумаги.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен дома, поверхность земного шара известны всем. Но есть нечто таинственное и удивительное в таком обычном понятии -это односторонняя поверхность. Пример такой поверхности – таинственный и знаменитый лист Мёбиуса.

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология. Топология не входит в учебную программу математики, но, по моему мнению , довольна интересна .Поэтому я решила узнать о” царице наук“ немного больше ,а также поделиться своими мыслями и рассуждениями.

Современная математика замечательно описывает при помощи формул все свойства и особенности ленты Мёбиуса. А вот применение этой ленты в обычной жизни заставляет человека задуматься, в каких областях производства и видах деятельности она применяется.

Цель моей работы: исследовать лист Мёбиуса, его свойства и применение.

Объект исследования: лента Мёбиуса.

Предмет исследования: лента Мёбиуса.

Методы исследования: анализ ,опыт ,эксперимент.

Для достижения данной цели я поставила перед собой следующие задачи:

Найти и изучить различный материал и научную литературу о математической поверхности – ленте Мёбиуса. Провести анализ изученной литературы.

Изготовить модель, с помощью которой можно будет исследовать ленту Мебиуса и ее свойства.

Установить области применения ленты Мёбиуса и убедиться в том, что она используется во многих сферах нашей жизни.

Определить и представить, в каких отраслях производства и видах деятельности она применяется.

Значимость изучения моей темы заключается в том, чтобы обобщить мнения ученых, изучить разнообразные свойства ленты Мёбиуса и высказать свой интерес к данному объекту исследования. В ходе моего исследования анализируются особенности применения и необычность геометрической поверхности. Основной интерес состоит в том, что у ленты Мёбиуса только одна поверхность.

Актуальность темы: топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, и самой яркой топологической поверхностью является лист Мёбиуса. Кроме того, самостоятельное изучение дополнительных тем по геометрии развивает пространственное мышление и логику.

Историческая справка.

«Отцом» открывателем этой необычной ленты признан немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868).Родился на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга (Саксония-Анхальт).

Своего отца Мёбиус совсем не помнил, так как тот умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование получил дома и сразу показал свой интерес к математике. С 1803 по 1809 год он учился в колледже Шульпфорте, затем поступил Лейпцигский университет. Его отец занимал в школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но быстро понял, что это совсем его не привлекает и принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. Биографы предполагают, что в этом выборе сказалось влияние преподававшего там известного астронома и математика Моллвейде.

В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по обеим наукам.

С 1816 года он также работал сначала астрономом-наблюдателем, затем директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории. Деятельно участвовал в перестройке и оснащении обсерватории.

Все это время Август Мебиус живет вместе с матерью, но в 1820 г. она умирает. Возможно, именно неустроенный быт заставляет его решиться на женитьбу. Его избранницей стала слепая от рождения девушка, однако это не помешало ей произвести на свет и воспитать трех прекрасных детей.

К 1825 году математические исследования Мёбиуса принесли ему известность в научном мире .В 1848 году Мёбиус становится директором обсерватории .Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он  мог  назначить  лекцию  на  два  часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Однако своё главное в жизни открытие поразительной красоты Августу Мёбиусу удалось сделать в возрасте 68 лет. Он открыл односторонние поверхности, одна из которых – лента Мёбиуса.

А вот и сама история этого открытия.

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мёбиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!»

   Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Кстати, опубликована работа была после смерти Мёбиуса .Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя обосновавшего её математика и астронома. 

Удивительным является тот факт, что ленту с одной поверхностью в тот же самый 1858 год открыл другой ученик Гаусса – талантливый математик Иоганн Листинг, придумавший термин «топология» и написавший серию основополагающих трудов по этому разделу математики.

Однако свое название необычная лента все же получила по фамилии Мебиуса.

Есть мнение, что прообразом модели «бесконечной петли» стала лента, неверно сшитая служанкой профессора Августа Мебиуса.

На самом деле, лента была открыта давным-давно еще в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой.

Лист Мёбиуса начало новой науки топологии.

С того момента, как немецкий математик обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, получившая название “топология”.

Топология - это одна из разделов геометрии и является самым «молодым» из разделов современной геометрии. В ней изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях, (растяжение, сжатие), и не допускают разрывов и склеивания.

С точки зрения топологии, баранка и кружка- одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины можно перейти от одной из этих фигур к другой. А вот баранка и шар – уже будут разными объектами: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Среди букв русского алфавита тоже есть топологически одинаковые фигуры: А-Д, Г-С, С-П, З-Э, Т-У.

Лента Мёбиуса один из объектов топологии. Удивительные свойства ленты Мёбиуса - она имеет один край, одну сторону, не связана с ее положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и тем не менее имеет вполне геометрический характер.

Лента Мёбиуса и её свойства

Как сделать ленту Мёбиуса?

Ленту Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение ленты Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии.

Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВ В¹А¹, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А¹В¹, т.е. так, что совместятся точки А и В¹ и точки А¹ и В.

Получим перекрученное кольцо. И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона.

Свойства петли Мёбиуса.

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Односторонность - топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. Если двигаться по поверхности Ленты Мебиуса в одном направлении, не пересекая ее границ, то, в отличие от двусторонних поверхностей (например, сферы и цилиндры), попадаешь в место, перевернутое по отношению к исходному. Если двигать по этой ленте окружность, одновременно обходя ее по часовой стрелке, то в начальном положении направление обхода станет против часовой стрелки.

2. Непрерывность - это ещё одно топологическое свойство. С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет –непрерывность полная.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной. Чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. А лист Мебиуса? Конечно двусвязен, т. к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

Количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен и т.д.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

Итак, лента Мёбиуса - простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Ленту Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности ∞, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Правда, это не соответствует действительности, ведь символ ∞ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Опыты с листом Мёбиуса.

Для подтверждения всех комбинаций и свойствах листа Мёбиуса я решила практически совершить ряд опытов с листом Мёбиуса, в которых постаралась ответить на интересующие меня вопросы, и сделать определённые выводы.

Для проведения опытов изготовим лист Мёбиуса. Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АD и СB друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка B с точкой D. Изготовим также обычное бумажное кольцо, края которого склеены обычным способом .Чтобы понять, в чём особенность и отличие листа Мёбиуса, эксперименты будем проводить одновременно с обычным и перекрученным кольцом.

Опыт № 1. Определение непрерывности

В наше время мы привыкли встречаться с двусторонними предметами (объектами, фигурами). Изучив свойства ленты Мёбиуса, и узнав, что она односторонняя, я решила это проверить.

Поставим точку на одной стороне каждого кольца и проведём непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку .На обычном бумажном кольце линия проходит по одной стороне, замыкаясь в точке начала. В случае с листом Мёбиуса линия замыкается, полностью закрасив всю ленту. Следовательно, лист Мёбиуса – непрерывная поверхность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся «переползать» через край ленты.

Опыт № 2.Определение односторонности.

Попробуем закрасить краской обычное кольцо и лист Мёбиуса .У обычного кольца закрашена только одна внешняя сторона. Внутренняя сторона осталась чистой. Лента Мёбиуса оказалась закрашена полностью.«Внешняя» и «внутренняя» стороны в процессе закрашивания по ходу движения вдоль ленты как бы переходят друг в друга. Следовательно, у листа Мёбиуса только одна сторона! Опыт № 3. Определение количества краёв листа Мёбиуса

Закрасим непрерывной линией только один край колец .В результате эксперимента мы обнаружили, что один край обычного кольца закрашен, второй край нет. Линия края ленты Мёбиуса оказалась непрерывно закрашена на всём кольце.

Значит, у листа Мёбиуса не только одна сторона, но и только один край!

Кольцо Мёбиуса: получилось одна лента с двумя полуоборотами, причем длина которой в два раза больше, а ширина в два раза уже.

Лента Мёбиуса. Применение

Лента Мебиуса – вовсе не абстрактная фигура, нужная лишь для целей математики, она нашла применение и в реальной повседневной жизни. По принципу этой ленты функционирует в аэропорту лента, передвигающая чемоданы из багажного отделения. Такая конструкция позволяет ей служит дольше в связи с равномерным изнашиванием. Открытие Августа Мебиуса повсеместно используется в станкостроении. Конструкцию используют для большего времени записи на пленку, а также в принтерах, использующих ленту при распечатке.

Благодаря своей наглядности, петля Мебиуса дает возможность делать современным ученым все новые и новые открытия. С момента обнаружения удивительных свойств петли по всему миру прокатилась волна новых запатентованных изобретений. Например, значительное улучшение свойств магнитных сердечников, изготовленных из ферро-магнитной ленты, намотанных по способу Мебиуса.

Н. Тесла получил патент на многофазную систему переменного тока, использовав намотку катушек генератора по типу петли Мебиуса.

Американский ученый Ричард Дэвис сконструировал нереактивный резистор Мебиуса - способный гасить реактивное (емкостное и индуктивное) сопротивление, не вызывая электромагнитных помех. 

Лента Мебиуса – широкое поле для вдохновения

Сложно оценить важность значения открытия петли Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников.

Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Moebius Strip II, Red Ants или Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности.

Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией. В связи с чем на его литографиях и гравюрах часто присутствуют различные геометрические формы, фракталы, потрясающие оптические иллюзии.

До сих пор интерес к петле Мебиуса находится на очень высоком уровне, даже спортсмены ввели одноименную фигуру высшего лыжного пилотажа.

По произведению «Лента Мёбиуса» писателя фантаста Армина Дейча снят не один фильм. В форме петли Мебиуса создается огромное множество украшений, обуви, скульптур и многих других предметов и форм.

Лист Мебиуса наложил отпечаток на производство, дизайн, искусство, науку, литературу, архитектуру.

Умы многих людей волновала схожесть формы молекулы ДНК и петли Мебиуса. Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы по строению аналогична ленте Мебиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хромосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мебиуса.

В 2015 году группа ученых из Европы и США смогла закрутить свет в кольцо Мёбиуса. В научном опыте ученые использовали оптические линзы, и структурированный свет - сфокусированный лазерный луч с преопределенными интенсивностью и поляризацией в каждой точке своего движения. В итоге были получены световые ленты Мебиуса.

Есть еще одна более масштабная теория. Вселенная – это огромная петля Мебиуса. Такой идеи придерживался Эйнштейн. Он предположил, что Вселенная замкнута, и космический корабль, стартовавший из определенной ее точки и летящий все время прямо, возвратится в ту же самую точку в пространстве и времени, с которой и началось его движение.

Пока это всего лишь гипотезы, у которых есть как сторонники, так и противники. Кто знает, к какому открытию подведет ученых, казалось бы, такой простой объект, как Лента Мебиуса.

Заключение.

В ходе работы над индивидуальным проектом была достигнута поставленная цель, которая заключалась в исследовании листа Мёбиуса, его свойств и применении.

Для реализации поставленной цели мною были достигнуты задачи:

1)Найти и изучить различный материал и научную литературу о математической поверхности – лента Мёбиуса. Провести анализ изученной литературы.

2)Изготовить модель, с помощью которой можно будет исследовать ленту Мебиуса и ее свойства.

3)Установить области применения ленты Мёбиуса и убедиться в том, что она используется во многих сферах нашей жизни.

4)Определить и представить в каких отраслях производства и видах деятельности она применяется.

Значимость изучения моей темы заключается в том, чтобы обобщить мнения ученых, изучить разнообразные свойства ленты Мёбиуса и высказать свой интерес к данному объекту исследования. В ходе моего исследования анализируются особенности применения и необычность геометрической поверхности. Основной интерес состоит в том,что у ленты Мёбиуса только одна поверхность.

Список литературы

1. Стройк Д.Я. (перевод с немецкого и дополнения Погребысского И.Б.) Краткий очерк истории.

2. Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Мёбиус, Август Фердинанд

3. Август Мёбиус http://www.calend.ru/person/2637

4.Статья: Что такое лист Мёбиуса? http://www.genon.ru

5.Лэнгдон Н., Снейп Ч. «С математикой в путь» Издательство «Педагогика», 1987г., с. 42-43

6. Леонова О.А. Введение в топологию «Лист Мёбиуса». 7. Статья: Трогаем бесконечность. Мебиус, Клейн и другие.

7. Старохамская Ю.А. Что такое лента Мёбиуса и зачем ее надо резать.– Разработка ПО 2009. http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/

8. Топологические парадоксы http://www.log-in.ru/articles/1360/

9. Видеоролик «Разрезание бутылки Клейна» (The Klein Bottle), http://video.yandex.ru/seapch.xml? text

10. Статья: Элементы топологии на примере листа Мёбиуса http://sola.narod.ru/top.htm

11. Кордемский Б.А, Топологические опыты своими руками. Квант. 1974, №3, с. 73-75

12.Статья: Преобразования Мебиуса http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor

13. Искусство и технология http://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki

14. Эксперименты с листом Мёбиуса. – Разработка ПО 2009. http://oksla.narod.ru/experiments.html

© . info@kalkpro.ru