Индивидуальный проект по теме: «Правильные и полуправильные многогранники»

Индивидуальный проект

Дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа;

геометрия

на тему: «Правильные и полуправильные многогранники»

Разработала:

преподаватель математики,

Кутлиметова З.А.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………………...3

ГЛАВА 1. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ….………...………………....5

Олицетворение многогранников………...……………………………6 Теорема Эйлера……………………………………………………......7 Архимедовы тела………………………………………...…………….7

ГЛАВА 2. ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ……………………….9

2.1 Звездчатые многогранники………...………………………………...9 2.2 Космологическая гипотеза Кеплера………………….……………...9 2.3 Правильные зведчатые многогранники……………………………12 ГЛАВА 3. МНОГОГРАННИКИ В ЖИЗНИ…………………………………..16 3.1 Правильные многогранники в искусстве………………………..…16 3.2 Правильные многогранники в живой природе…………………….16 3.3 Правильные многогранники в газах………………………………..17 3.4 Правильные многогранники в ДНК………………………………..17 3.5 Правильные многогранники и минералы………………………….17 3.6 Многогранники в ювелирных изделиях……………………………18 3.7 Звездчатые многогранники в природе……………………………18 3.8 Правильные многогранники для развлечения…………..…………18 3.9 Пентаграмма для построения новых многогранников……………19 3.10 Применение многогранников в архитектуре…………..…………20 3.11 Применение правильных и звездчатых многогранников в архитектуре…………………………………………………………25 Заключение………………………………...……………………………………..26

Список информационных источников…………………....………………….....27

Приложение 1………………………………………………………………..…...28

Приложение 2……………………………………………………….................…29

Приложение 3…………………………………………………………………….33 Приложение 4…………………………………………………………………….42

ВВЕДЕНИЕ

Все время, когда мы имеем дело с формой, размером, положением предмета в пространстве, мы вовлечены в геометрию. Когда доисторические люди занимались ткачеством или отделкой зданий, они пользовались геометрией, не зная ее. Древним египтянам была нужна геометрия, чтобы измерить участки земли, подвергавшиеся затоплению во время разливов Нила. Им была нужна геометрия в строительных целях, когда религия заставила их строить могилы для умерших — пирамиды. Само слово «геометрия» произошло от греческих слов «Земля» и «измерять» и, вероятно, является переводом египетского слова (Приложение 1, рис. 1).

Геометрические знания примерно в объеме современного курса средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно, изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др.

Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои “Начала”, объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привел в одну систему основные геометрические знания того времени.

«Начала» (в оригинале «Стохейа») состоят из 13 книг, позднее к ним были прибавлены ещё 2.

Первые шесть книг посвящены планиметрии. Книги VII – X содержат теорию чисел, XI, XII и XIII книги «Начал» посвящены стереометрии.

Из постулатов Евклида видно, что он представлял пространство как пустое, безграничное, изотропное и трёхмерное.

Интересно, что «Начала» Евклида открываются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти правильных многогранных тел! В наше время они известны как Платоновы тела.

Учение о правильных многогранниках, содержащееся в последней XIII книге Евклида, является венцом его «Начал».

Сначала Евклид устанавливает существование этих многогранников, показывает как вписать их в сферу.

После этого Евклид доказывает в 18-м, последнем предложении XIII книги, что, кроме упомянутых пяти тел, нет других правильных многогранников (Приложение 1, рис. 2) [5].

Цель: изучение правильных и полуправильных многогранников.

Задачи:

1. Рассмотреть правильные и полуправильные многогранники.

2. Рассмотреть многогранники в жизни.

ГЛАВА 1. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников:

• правильный тетраэдр,

• куб (гексаэдр),

• октаэдр,

• додекаэдр,

• икосаэдр (Приложение 2, рис. 1) [4].

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и, вообще, n-угольники при n≥6.

Платон (Platon) - греческий философ из Афин. Настоящее имя Платона было Аристокл. Прозвище Платон (Широкоплечий) было ему дано в молодости за мощное телосложение. Происходил из знатного рода и получил прекрасное образование. Возможно, слушал лекции гераклитика Кратила, знал популярные в Афинах сочинения Анаксагора, был слушателем Протагора и других софистов. В 407 г. стал учеником Сократа, что определило всю его жизнь и творчество (Приложение 2, рис. 2).

Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.

Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Однако между двумерным и трехмерным случаями есть важное отличие: существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников.

Правильные многогранники называют также «платоновыми телами» - они занимали видное место в идеалистической картине мира древнегреческого философа Платона.

Тетраэдр (от греческих слов «тетра» — четыре и (h)edra — грань);

гексаэдр («гекса» — шесть);

октаэдр («окто» — восемь);

додекаэдр («додека» — двенадцать);

икосаэдр («икоси» — двадцать) (Приложение 2, рис. 3) [5].

1.1 Олицетворение многогранников

Тетраэдр-огонь.

Тетраэдр – четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками.

Так как вершина устремлена вверх его олицетворяли с огнем (Приложение 2, рис. 4).

Куб-земля.

Гексаэдр (куб) – шестигранник (из шести квадратов). Каждая из 8 вершин куба является вершиной 3 квадратов, поэтому сумма углов при вершине равна 180⁰ .

Куб олицетворял землю, как самый устойчивый многогранник (Приложение 2, рис. 5).

Октаэдр-воздух.

Октаэдр – восьмигранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится 4 грани.

Олицетворял воздух, как самый воздушный (Приложение 2, рис. 6).

Икосаэдр-вода.

Икосаэдр – двадцатигранник. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.

Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300⁰.

Олицетворял воду, как самый обтекаемый (Приложение 2, рис. 7).

Додекаэдр-вселенная.

Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Додекаэдр – двенадцатигранник. Каждая вершина является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324⁰ (Приложение 2, рис. 8) [6].

1.2 Теорема Эйлера

Леонард Эйлер.

Один из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих современных разделов математики.

Леонард Эйлер (Приложение 2, рис. 9) доказал теорему о связи количества граней, вершин и рёбер правильного многогранника.

Теорема Эйлера:

Число вершин - число ребер + число граней =2, т.е.

Г + В = Р + 2

А позднее он показал, что эта теорема выполняется для любого выпуклого многогранника [4].

1.3 Архимедовы тела

Математик, физик и инженер Архимед Сиракузский (Приложение 2, рис. 10) оставил после себя немало изобретений, тринадцать сочинений (таких как «О сфере и цилиндре», «Измерение круга», «Равновесие плоскостей», «Стомахион», «Правильный семиугольник и другие).

Архимед, как геометр определил поверхность шара и его объём, исследовал параболоиды и гиперболоиды, изучал «архимедову спираль», определил число «пи», как находящееся между 3,141 и 3,142.

Вклад Архимеда в теорию многогранников - описание 13 полуправильных выпуклых однородных многогранников (архимедовых тел).

Архимеду принадлежит открытие тринадцати так называемых полуправильных многогранников («архимедовых тел»).

Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп.

Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из платоновых тел в результате их  усечения. Так могут быть получены пять архимедовых тел:

• усечённый тетраэдр,

• усечённый гексаэдр (куб),

• усечённый октаэдр,

• усечённый додекаэдр,

• усечённый икосаэдр (Приложение 2, рис. 11).

Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квазиправильными многогранниками. Эти два тела носят названия: кубооктаэдр и икосододекаэдр (Приложение 2, рис. 12).

Два последующих многогранника называются ромбокубооктаэдром и ромбоикосододекаэдром. Следующие два, называют усеченными или точнее ромбоусеченый кубооктаэдр и ромбоусеченный икосододекаэдр (Приложение 2, рис. 13).

Наконец существуют две так называемые «курносые» модификации — одна для куба, другая — для додекаэдра. Для каждой из них характерно несколько повёрнутое положение граней, что даёт возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы зеркальное отражение другого) (Приложение 2, рис. 14) [5].

ГЛАВА 2. ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники, возможно, с разным числом сторон, и все многогранные углы равны, причем одни из них в другой можно перевести движением самого многогранника [4].

Кроме «архимедовых тел» к полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны, и, так называемые, антипризмы с равными ребрами. (Приложение 3, рис. 1).

Существование нового «архимедова тела» - Псевдоромбокубооктаэдра, который получается из ромбокубооктаэдра поворотом его верхней восьмиугольной «крышки» на 45 градусов по оси – открыл Миллер в 1930 г. и независимо от него В.Г.Ашкинузе и Л.Есаулова. Оба советских математика получили свои результаты независимо друг от друга и от Миллера (Приложение 3, рис. 2) [3] .

2.1 Звездчатые многогранники

Правильные невыпуклые многогранники, полученные из правильных многогранников продолжением граней и ребер (Приложение 3, рис. 3).

2.2 Космологическая гипотеза Кеплера

Иоганн Кеплер.

Иоганн Кеплер (1571 – 1630) (Приложение 3, рис. 4) немецкий астроном и математик. Один из создателей современной астрономии.

Вклад Кеплера в теорию многогранника - это, восстановление математического содержания утерянного трактата Архимеда о полуправильных выпуклых однородных многогранниках.

Весьма оригинальна космологическая гипотеза Кеплера, в которой он попытался связать некоторые свойства Солнечной системы со свойствами правильных многогранников. Кеплер предположил, что расстояния между шестью известными тогда планетами выражаются через размеры пяти правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел).

Между каждой парой "небесных сфер", по которым, согласно этой гипотезе, вращаются планеты, Кеплер вписал одно из Платоновых тел. Вокруг сферы Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы - додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна.

Позже, с открытием еще трех планет и более точным измерением расстояний, эта гипотеза была полностью отвергнута (Приложение 3, рис. 5, 6) [5].

Звездчатый октаэдр.

Восемь пересекающихся плоскостей граней октаэдра отделяют от пространства новые «куски», внешние по отношению к октаэдру. Это малые тетраэдры основания которые совпадают с гранями октаэдра.

Можно рассматривать как соединение двух пересекающихся тетраэдров центры которых совпадают с центром исходного октаэдра. Все вершины звездчатого октаэдра совпадают с вершинами некоторого куба, а ребра его являются диагоналями граней (квадратов) этого куба. Дальнейшее продление граней октаэдра не приводит к созданию нового многогранника. Октаэдр имеет только одну звездчатую форму. Такой звездчатый многогранник открыл еще Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет в 1619 году описал Кеплер и назвал его Stella octangula - восьмиугольная звезда (Приложение 3, рис. 7) [5].

Тела Кеплера-Пуансо.

Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, в своем первом его крупном сочинении «Mysterium Cosmographicum» — «Космографическая тайна» (1596 г.) развил учение о двух видах выпуклых звездчатых многогранников (которые получаются из правильных многогранников продолжением граней или рёбер).

Малый звездчатый додекаэдр – образован продолжением граней выпуклого додекаэдра. Этот многогранник можно получить из додекаэдра, установкой на его гранях правильных пятиугольных пирамид.

Большой звездчатый додекаэдр – получается при продолжении граней додекаэдра, при этом каждая грань заменяется на правильный звездчатый пятиугольник. Его можно также получить из икосаэдра, установкой на его гранях правильных треугольных пирамид (Приложение 3, рис. 8) [5].

Луи Пуансо.

Луи Пуансо (Приложение 3, рис. 9) французский математик и механик, Парижской АН с 1813. Окончил Политехническую школу в Париже (1797), с 1809 профессор там же. В период Июльской монархии – в Министерстве народного образования. Пэр Франции (1846), сенатор (1852).

Первые работы Пуансо посвящены теории правильных звездчатых многогранников. В 1803 опубликовал «Элементы статистики», в которых применил разработанные им геометрические методы исследования к учению о равновесии твердых тел и их систем. В начале 1810 открыл существование еще двух видов правильных невыпуклых многогранников.

Большой икосаэдр получается при продолжении граней икосаэдра. Его можно так же получить из малого звездчатого додекаэдра, вырезанием из его граней треугольных пирамид.

Большой додекаэдр получается при продолжении граней додекаэдра. Его можно так же получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид (Приложение 3, рис. 10) [5].

2.3 Правильные звездчатые многогранники

Огюстен Коши.

Огюстен Коши (1789—1857) (Приложение 3, рис. 11), французский математик, в 1812 г, доказал, что возможные правильные многогранники исчерпываются пятью выпуклыми «платоновыми телами» и четырьмя звездчатыми многогранниками Кеплера-Пуансо, к которым можно добавить звездчатый октаэдр Кеплера. (Приложение 3, рис. 12).

Звездчатые кубооктаэдры.

Помимо правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) имеется более сотни различных звездчатых форм многогранников. Например звездчатые формы кубооктаэдра (Приложение 3, рис. 13).

Звездчатые икосаэдры.

Всего звездчатых икосаэдров 59, некоторые из них (Приложение 3, рис. 14).

Правильные невыпуклые многогранники:

• тетрагемигесаэдр,

• октагемиоктаэдр,

• малый кубокубооктаэдр,

• кубогемиоктаэдр (Приложение 3, рис. 15) [5].

Лука Пачоли (Приложение 3, рис. 16).

Интерес к правильным многогранникам возродился в эпоху Ренессанса, в частности, в кругах архитекторов и художников. Итальянский математик Лука Пачоли приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» в которой рассматривается 59 многогранников, «золотое сечение» и «архимедовы тела».

Блестяще выполненные иллюстрации к книге сделал Леонардо да Винчи. К нескольким рукописным экземплярам трактата, врученным властительным особам, прилагается набор правильных многогранников и других геометрических тел, о которых Лука говорит, что изготовил из собственноручно (Приложение 3, рис. 17) [5].

Леонардо да Винчи.

Титан возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи – символ неразрывности искусства и науки, а следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосиметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще и усеченный икосаэдр в частности (Приложение 3, рис. 18).

Рисунок «Витрувианский человек» символизирует внутреннюю симметрию, Божественную пропорцию человеческого тела. Две наложенные одна на другую фигуры вписаны в круг и квадрат. Этот рисунок определил канонические пропорции изображения человека для европейского искусства (Приложение 3, рис. 19) [5].

Мориц Корнилис Эшер.

Мориц Корнилис Эшер (1898-1972) (Приложение 3, рис. 20) голландский художник создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

Правильные геометрические тела – многогранники – имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные (Приложение 3, рис. 21).

Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором (Приложение 3, рис. 22).

В гравюре «Звезды», на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры (Приложение 3, рис. 23).

Литография «Водопад», где на вершинах башен изображены разновидности звездчатого многогранника (Приложение 3, рис. 24).

В картине «Силы гравитации» присутствуют три перпендикулярные друг другу силы гравитации в звездчатом многограннике (Приложение 3, рис. 25) [5].

Альбрехт Дюрер.

Альбрехт Дюрер (1471-1528) (Приложение 3, рис. 26). Его считают знаменитейшим и самым блестящим живописцем Германии эпохи возрождения. Воспитанный в мастерской серебряных дел мастера, Альбрехт Дюрер был те только удивительным художником и гравером, но (подобно Микеланджело) он занимался еще архитектурой, скульптурой, музыкой, словесностью.

Несколько веков почитатели живописи пытались расшифровать аллегорический ансамбль на знаменитой гравюре на меди «Меланхолия» написанной в 1514 году.

На ней изображена фигура и великое множество разных предметов, а на самом видном месте – геометрический многогранник – ромбоэдр с усеченными вершинами. Но символом чего он является? Ведь не случайно же Дюрер – сын ювелира, уделил ему столько внимания? Догадка напрашивается сама собой помещенный на самое видное место кристалл – символ и идеального слияния форм и глубокого содержания, символ порядка и гармонии. В 1973 году было доказано, что это флюорит плавиковый шпат CaF_2, широко распространенный и используемый для изготовления брошей и колец (Приложение 3, рис. 27).

Занимаясь многогранниками, показал, как можно построить из бумаги правильный и полуправильный многогранник, вырезав его развертку поверхности и затем сложив ее по соответствующим ребрам (Приложение 3, рис. 28) [5].

ГЛАВА 3. МНОГОГРАННИКИ В ЖИЗНИ

3.1 Правильные многогранники в искусстве

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра (Приложение 4, рис. 1).

Интарсия – вид декоративного искусства, выполняемая деревом по дереву. Мозаики созданные Фра Джовани да Верона (1457 – 1525), созданные для церкви Santa Maria in Organo в Вероне (Приложение 4, рис. 2).

Художница Суламифь Вулфинг (Sulamith Wulfing), родившаяся в Германии (1901 – 1989), своими картинами открывает мистический мир, где присутствуют добро и зло, феи, ангелы, драконы. Благодаря своей развитой интуиции художница сумела почувствовать форму энергетической оболочки человека в почти правильном виде, что отражено на ее картине «Христос-Младенец», где центральная фигура Христа находится внутри Икосаэдра (Приложение 4, рис. 3) [2].

3.2 Правильные многогранники в живой природе

Скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр (Приложение 4, рис. 4).

Вирус полиомиелита имеет форму додекаэдра. Он может жить и размножаться только в клетках человека и приматов (Приложение 4, рис. 5).

Вирус поражающий сенные растения типа помидоров и огурцов (точнее, внешняя белковая оболочка вируса). Практически, усеченный икосаэдр (Приложение 4, рис. 6).

Вирус краснухи (Приложение 4, рис. 7).

Вирус ветряной оспы (Приложение 4, рис. 8) [6].

3.3 Правильные многогранники в газах

Фуллерены – класс химических соединений, молекулы которых состоят только из углерода, число атомов которого четно, от 32 и более 500, они представляют по структуре выпуклые многогранники, построенные из правильных пяти- и шестиугольников.

Разнообразие физико-химических и структурных свойств соединений на основе фуллеренов позволяет говорить о химии фуллеренов как о новом, перспективном направлении органической химии (Приложение 4, рис. 9) [6].

3.4 Правильные многогранники в ДНК

В основе структуры ДНК лежит священная геометрия, хотя могут обнаружиться еще и другие скрытые взаимосвязи. В книге Дана Уинтера «Математика Сердца» показано, что молекула ДНК составлена из взаимоотношений двойственности додекаэдров и икосаэдров.

Американский математик Д.Винтер утверждает, что строение живого вещества, а точнее структура ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра (Приложение 4, рис. 10) [6].

3.5 Правильные многогранники и минералы

Природные минералы бывают разных цветов, обычно прозрачные, и что самое главное, обладают красивой правильной формой. Чаще всего кристаллы минералов представляют собой правильные многогранники, грани их идеально плоские, ребра строго прямые. Известный ученый Шафрановский пишет: «В ограненном кристалле само природное явление, как бы ставит готовую задачу, решение которой невозможно без углубленных математических изысканий».

Создания природы красивы и симметричны. В кристаллографии существует раздел, который называется «геометрическая кристаллография» (Приложение 4, рис. 11- 16) [6].

3.6 Многогранники в ювелирных изделиях

Кулон «Алхимия», серебро. Мощный очиститель энергии. Создает гармоничные частоты, очищая и балансируя. Его можно повесить в большом помещении для очищения и создания гармоничной атмосферы. Этот кулон называется «Алхимия», потому что он символизирует многие молекулярные структуры, а это значит, что он трансформирует разные материалы. Форма кулона – кубооктаэдр. В основе кулона – октаэдр (двойная пирамида) (Приложение 4, рис. 17).

Хотя и редко, встречаются черырех- и шестилучевые звездчатые гранаты [6].

3.7 Звездчатые многогранники в природе

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это снежный или ледяной кристалл, звездчатый многогранник, чаще всего в форме шестилучевых звездочек или шестиугольных пластинок. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок (Приложение 4, рис. 18) [6].

3.8 Правильные многогранники для развлечения

Правильные многогранники известны с древнейших времен. Их орнаментные модели можно найти на разных каменных шарах созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников (Приложение 4, рис. 19).

Интересные представители правильных многогранников являются механические головоломки.

Созданные венгерским преподавателем архитектуры Эрнё Рубиком (Приложение 4, рис. 20). «Кубик Рубика» (гексаэдр), составленный из 26 кубов, и «Пирамидка Мефферта» (тетраэдр) (Приложение 4, рис. 21), созданная русским инженером А.А.Ордынцовым.

Головоломки-игрушки в виде разных многогранников (Приложение 4, рис. 22).

Кусудама – модульная оригами, бумажная модель, которая обычно (но не всегда) формируется сшиванием или склеиванием вместе концов множества одинаковых пирамидальных модулей (Приложение 4, рис. 23) [7].

3.9 Пентаграмма для построения новых многогранников

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев бала пентаграмма, на языке математики – это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник, с применением которого строились правильные многогранники. В переводе с греческого – пять линий. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов (Приложение 4, рис. 24).

Гипотеза В.Макарова, В.Морозова и Н.Гончарова: идеи Пифагора, Платона, Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира нашли свое продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х годов высказали московские инженеры В.Макаров, В.Морозов, Н.Гончаров (Приложение 4, рис. 25). Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи кристалла обуславливают икосаэдро-додекаэрическую структуру Земли. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки.

В местах пересечения рёбер располагаются очаги древних культур и цивилизаций.

В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник (Приложение 4, рис. 26) [1].

3.10 Применение многогранников в архитектуре

Формы многогранников придают зданиям особый вид. Чаще всего это параллелепипеды. Но бывают и другие многогранники – и это не только красивые, но и прочные, надежные и уникальные сооружения.

Великая пирамида в Гизе (Приложение 4, рис. 27). Эта Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Великая пирамида во времена своего создания была самым высоким сооружением. Удерживала этот рекорд почти 4000 лет (Приложение 4, рис. 28).

Спасская башня Казанского кремля состоит из четырех ярусов: куб, призмы и пирамида (Приложение 4, рис. 29) [6].

Прямая призма.

Прямые призмы – самые распространённые многогранники в архитектуре любого города. Это маленькие «хрущёвки», многоэтажные дома, а также массивные небоскрёбы. Характерным примером прямой призмы может стать известная на весь мир шестигранная башня Пирелли, возведённая в Милане в 1960 году. Небоскрёб отличался невиданной для тех времён высотой – 127 метров. И вмещал 32 этажа. Железобетонный гигант превзошёл даже Миланский собор, который венчала статуя Мадонны, что вызвало огромное возмущение общественности. Ведь здание оказалось выше святыни. Чтобы сгладить недовольство, спроектировавшим небоскрёб П. Л. Нерве и Дж. Понти пришлось поместить её копию на крышу своего творения. Башня была построена по заказу знаменитой компании «Пирелли», производящей автомобильные шины, на том самом месте, где располагался её первый завод. Изящное здание с фасадом из алюминия и стекла стало символом возрождения экономики Италии после войны и получило звание самого элегантного небоскрёба в мире (Приложение 4, рис. 30) [8].

Наклонная призма.

В Мадриде располагается ещё один не менее примечательный архитектурный объект. Башни «Ворота в Европу», имеющие форму наклонных призм, собирают вокруг себя не меньше туристов, чем здание Пирелли. Небоскрёбы высотой 114 метров наклоняются друг к другу под углом 15°. Именно этой архитектурной особенности они обязаны своим названием. Американские инженеры и архитекторы Ф. Джонсон и Дж. Берджи сломали стереотипное представление о привычном облике высотных зданий, а башни «Ворота в Европу» стали первыми наклонными железобетонными гигантами в мире и одной из популярнейших достопримечательностей Мадрида (Приложение 4, рис. 31) [8].

Правильная пирамида.

Зданиям-призмам конкуренцию составляют архитектурные объекты в форме правильных пирамид, правда, не по количеству, а по популярности. Если уж архитектор задумывает создать строение такой формы, то оно непременно становится настоящим шедевром. Может быть, всё дело в магии древних египетских пирамид, возведённых более 4 тыс. лет назад для захоронения фараонов? Кто знает, однако, выдающимся примером тому служит «Дворец мира и согласия» в Астане, столице республики Казахстан. Архитектурное творение из алюминия, стекла и стали создано по принципам «Золотого сечения Фибоначчи». Оно достигает в высоту 61,8 метра и имеет такую же ширину основания. Пирамида известна своими лифтами, которые движутся не вертикально, а по диагонали к вершине строения. Дворец служит местом встречи лидеров мировых религий и считается символом дружбы между различными концессиями и нациями. Его может посетить любой человек: познакомиться с культурой Казахстана и мира в целом (Приложение 4, рис. 32) [8].

Усечённая пирамида.

Архитектурные здания могут принимать форму не только правильных пирамид, но и усечённых. Строения выглядят за счёт своих словно бы срезанных вершин более массивно. Усечённой является пирамида Кукулькана, сооружённая индейцами майя в древнем городе Чичен-Ица в Мексике. В высоту она достигает 30 метров, а в ширину – 55. Она состоит из 9 квадратных блоков, а на её вершине располагается храм. К нему ведут 4 лестницы: по одной с каждой стороны света. В дни весеннего и осеннего равноденствия на пирамиде возникает таинственный визуальный эффект: сотканное из солнечных лучей божество, оперённый Змей, в честь которого была воздвигнута пирамида, скользит по её ступеням. Весной он ползёт вверх, а осенью – вниз. Такие многогранники в архитектуре настоящего времени считаются редкостью. В качестве примера можно привести здание словацкого радио. Оно представляет собой перевёрнутую усечённую пирамиду. Строение выглядит эффектно и, несмотря на внешнюю мрачность, привлекает туристов (Приложение 4, рис. 33) [8].

Правильный многогранник.

Платоновы тела или правильные многогранники в архитектуре в чистом виде встречаются также крайне редко. И это в основном гексаэдры. Так, в Китае построен оригинальный комплекс Cube Tube, основным элементом которого является офисное здание в форме куба.Архитекторы бюро Sako Architects заполнили его фасад невероятным количеством квадратных окон, которые перемежаются террасами. За счёт этого строение выглядит эффектно и кажется невесомым. Оригинальный проект горного отеля кубической формы Cuboidal Mountain Hut предложила команда чешских архитекторов Atelier. Огромный гексаэдр согласно ему будет выстроен из дерева, а сверху обшит панелями из алюминия. Солнечные батареи на крыше и стенах, система накопления и очистки дождевой воды, а также электрогенераторы дадут возможность жить в нём независимо от окружающего мира. Куб похож на гигантскую льдину, упавшую с высоких гор. Одна его вершина устремлена в небо, другая словно бы ушла под снег. Если проект будет претворён в жизнь, то станет настоящей сенсацией (Приложение 4, рис. 34) [8].

Полуправильный многогранник.

Для создания нестандартных объектов используются архимедовы тела (или по-другому полуправильные многогранники). В архитектуре различных городов такие здания становятся настоящими магнитами для туристов. Обратите внимание на Национальную библиотеку Беларуси. Она по праву заслужила статус одного из самых оригинальных строений мира из-за своей формы ромбокубооктаэдра. Это архимедово тело состоит из 18 квадратов и 8 треугольников. Из-за такой формы библиотеку нередко сравнивают с алмазом или бриллиантом. Здание становится особенно похоже на эти драгоценные камни, когда на нём загорается ночная подсветка. Проект «белорусского алмаза» появился ещё в 1980 годах и даже стал победителем всесоюзного конкурса. Но воплотить его в жизнь удалось только в начале XXI века. Библиотека имеет 23 этажа и достигает в высоту 75 метров. Помимо огромного книжного фонда и читальных залов, в здании умещаются смотровая площадка, с которой открывается великолепный вид на Минск, комната для детей, а также ресторан (Приложение 4, рис. 35) [8].

Невыпуклый многогранник.

Городской пейзаж требует постоянных изменений, поэтому применение многогранников в архитектуре приобретает в последнее время несколько иной характер. Воистину человеческая фантазия не имеет границ. Архитекторы-новаторы ломают стереотипное представление о красоте зданий, используя в своих проектах теперь уже невыпуклые геометрические тела. Все их точки лежат по разные стороны от каждой грани, что позволяет достигнуть ошеломляющего эффекта. Типичным примером станет Публичная библиотека Сиэтла. Архитектор Р. Кулхаас постарался сделать здание максимально футуристичным. Ломаные асимметричные архитектурные формы одиннадцатиэтажного здания из стекла и стальной сетки понравились не всем жителям города, а у многих они просто вызвали возмущение. Библиотека даже получила прозвище: «огромная вентиляционная шахта». Но и поклонников у неё немало. Особенности архитектуры здания привлекают небывалое число посетителей, причём многие приезжают посмотреть на него из других городов и стран. Многогранники и архитектурные стили Каждый архитектурный стиль имеет свои яркие особенности. И многогранники выгодно их подчёркивают. Массивные пирамиды выделяли мощь Древнего Египта. Сейчас здания, выполненные в форме этого многогранника, известны на весь мир, так сильна притягательность стиля. Форма призмы, которую имеют небоскрёбы, характерна для модернизма. Они воплощают в себе идеи интернациональности и функциональности. Сравните башню Пирелли в Италии и Метлайф-Билдинг в Америке. Правильные и полуправильные многогранники в архитектуре типичны для постмодернизма, поскольку противостоят обыденности городских строений. Невыпуклые многогранники используются в деконструктивизме для создания изломов и деструктивных форм, вносящих приятный диссонанс в обыденность прямоугольных зданий. Архитекторы и инженеры ставят привычное с ног на голову, меняя стили. Но наше пространство по-прежнему остаётся заполненным неизменными и вечными геометрическими телами, будь то пирамиды или призмы (Приложение 4, рис. 36) [8].

3.11 Применение правильных и звездчатых многогранников в архитектуре

Дворец счастья в Ашхабаде, 11-этажное здание представляет собой трехступенчатое сооружение, каждая сторона которого имеет вид восьмиконечной звезды (Приложение 4, рис. 37).

Здание Национальной библиотеки в Минске имеет форму стеклянного ромбокубооктаэдра (Приложение 4, рис. 38).

Фуллер Ричард Бакминстер (1895-1983) (Приложение 4, рис. 39), американский архитектор и инженер. Разработал легкие и прочные «геодезические купола».

Идея «геодезических куполов» достаточно проста, сфера представляется в виде многогранника (икосаэдра), то есть двадцатигранника со сторонами в виде правильных треугольников. Эта фигура и разворачивается на плоскость, давая неискаженные соотношения по всей поверхности (Приложение 4, рис. 40) [6].

Правильные многогранники будущего (Приложение 4, рис. 41, 42).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Выпуклый многогранник называется полуправильным, если его гранями являются правильные многоугольники, возможно, с разным числом сторон, и все многогранные углы равны, причем одни из них в другой можно перевести движением самого многогранника.

Работа состоит из трех частей.

В первой части работы рассказывается, про олицетворение многогранников, рассматривается теорема Эйлера и архимедовы тела.

Во второй части работы рассказывается, про звездчатые многогранники, правильные звездчатые многогранники и приводится космологическая гипотеза Кеплера.

В третьей части работы рассмотрены и приведены примеры, где встречаются многогранники в жизни.

Анализ теоретического материала «правильные и полуправильные многогранники» позволил узнать многое, например, где встречаются многогранники в жизни.

Список информационных источников

1. Александров, А.Д. Выпуклые многогранники. // А.Д. Александров. – М.: ИНФРА-М, 2013. - 267 с.

2. Ворошилов, А.В. Математика и искусство. // А.В. Ворошилов. - М.: Просвещение, 2012. - 352 с.

3. Люстерник, Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники.// Л.А. Люстерник. – М.: Наука, 2015. - 256 с.

4. Перепелкин, Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть II. Геометрия в пространстве. // Д.И. Перепелкин. - М.: Наука, 2014. - 268 с.

5. Рыбников, К.А. История математики: учебник. // К.А. Рыбников. - М.: Изд-во: МГУ, 2014. - 495 с.

6. Смирнова И.М. В мире многогранников. // И.М. Смирнова. - М.: Просвещение, 2015. - 378 с.

7. Популярная математика. http://www.uic.ssu.samara.ru/

8. Статьи по математике. http://dondublon.chat.ru/

Приложение 1

Рис. 1

Рис. 2

Приложение 2

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Приложение 3

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22 Рис. 23

Рис. 24 Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

Приложение 4

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6

Рис. 7 Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13

Рис. 14 Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

Рис. 30

Рис. 31

Рис. 32

Рис. 33

Рис. 34

Рис. 35

Рис. 36

Рис. 37 Рис. 38

Рис. 39

Рис. 40

Рис. 41

Рис. 42

28