Информатика документ

яМИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова»

(ФГБОУ ВО «ХГУ им. Н.Ф. Катанова»)

Институт естественных наук и математики

Кафедра математики, физики и информационных технологий

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профили: Математика, Физика

График функции (8 класс)

Выполнил:

Кириллов Антон Дмитриевич

Группа МФ-41

Курс 4

Форма обучения очная

Абакан, 2025

Введение

Одной из фундаментальных зависимостей, с которой мы сталкиваемся в математике и окружающем мире, является прямая пропорциональность, когда две величины изменяются одинаково. Однако не менее важной и распространенной является ситуация, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такая зависимость носит название обратной пропорциональности.

Изучение функции  , где k — постоянный коэффициент, не равный нулю, является логичным продолжением освоения класса основных функций в школьном курсе алгебры. Эта функция, несмотря на кажущуюся простоту своей формулы, описывает огромное количество реальных процессов. Например, она определяет связь между скоростью и временем при прохождении одного и того же пути, соотношение силы тока и сопротивления в электрической цепи (закон Ома), зависимость объема занимаемого газом при постоянном давлении от его давления и многие другие явления из физики, экономики и геометрии.

Графиком данной функции является кривая, называемая гиперболой. Ее свойства и внешний вид коренным образом отличаются от уже изученных линейных функций и параболы. Гипербола состоит из двух отдельных ветвей, симметричных относительно начала координат, и приближается к осям координат, но никогда не пересекает их. Эти линии-«ориентиры» называются асимптотами.

Целью данного учебного материала является систематическое изучение функции обратной пропорциональности: ее определения, свойств и графика. В работе будут подробно рассмотрены область определения и значений, поведение функции в зависимости от знака коэффициента k, а также алгоритмы построения гиперболы. Понимание этой темы закладывает важную основу для дальнейшего освоения более сложных функций и математического моделирования реальных ситуаций.

Функция, заданная формулой

где k — постоянное число, не равное нулю (k≠0), называется обратной пропорциональностью.

Переменные x и y называются обратно пропорциональными: при увеличении одной величины в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз. Число к называется коэффициентом обратной пропорциональности.

Примеры обратной пропорциональности в реальной жизни:

• Путь и время: При постоянной длине пути S время t, затраченное на его прохождение, обратно пропорционально скорости v:  ​. Здесь S — это коэффициент k

• Закон Ома: Сила тока I в проводнике обратно пропорциональна его сопротивлению RR при постоянном напряжении U:  ​. Здесь U — это коэффициент k.

• Прямоугольник постоянной площади: При постоянной площади S mпрямоугольника его длина a и ширина b связаны обратной пропорциональностью: 

• Область определения (D(y)): Так как на ноль делить нельзя, аргумент xx может принимать любые значения, кроме нуля.

D(y)=(−∞;0)∪(0;+∞)

Это означает, что график функции не пересекает ось ординат (ось Y).

• Область значений (E(y)): Какое бы число мы ни подставили в формулу вместо х (кроме нуля), результатом y никогда не будет ноль. Функция может принимать любые значения, кроме нуля.

E(y)=(−∞;0)∪(0;+∞)

Это означает, что график функции не пересекает ось абсцисс (ось X).

Рассмотрим свойства в зависимости от знака коэффициента k.

Случай 1: k0k0 (например,  )

• Чётность: Функция является нечётной. Это означает, что f(−x)=−f(x) График функции симметричен относительно начала координат.

• Промежутки знакопостоянства:

  • y0 при x0

  • y при x

• Монотонность (промежутки возрастания и убывания):

  • Функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на (−∞;0) и на (0;+∞).

  • Важно! Нельзя сказать, что функция убывает на всей области определения. При переходе через ноль (например, от x=−1 к x=1) значение функции "перескакивает" с отрицательного на положительное. Так, y(−1)=−2y, а y(1)=2. Видно, что -2 x значение функции увеличилось.

Случай 2: k (например,  )

• Чётность: Функция также является нечётной.

• Промежутки знакопостоянства:

  • y при x0

  • y0 при x

• Монотонность:

  • Функция возрастает на каждом из промежутков своей области определения: на (−∞;0) и на (0;+∞).

График функции обратной пропорциональности называется гиперболой.

Асимптоты: Прямые, к которым неограниченно приближаются ветви гиперболы, называются асимптотами.

• Для функции   асимптотами являются оси координат: ось X (прямая y=0) и ось Y (прямая x=0).

Алгоритм построения графика  :

1. Находим область определения (x≠0).

2. Составляем таблицу значений для положительных и отрицательных x. Достаточно 4-5 значений в каждой области.

3. Отмечаем полученные точки на координатной плоскости.

4. Соединяем точки плавной линией сначала в области x0x0, затем в области x

5. Указываем, что график не пересекает оси координат.

Пример 1: Построение графика для  (k=40)

Составим таблицу значений:

• Расположение: Ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях.

• Поведение:

  • При x→+∞ (икс стремится к плюс бесконечности), y→0 (игрек стремится к нулю, оставаясь положительным).

  • При x→0 (икс стремится к нулю справа), y→+∞ (игрек стремится к плюс бесконечности).

Пример 2: Построение графика для  (k=−4)

Составим таблицу значений:

• Расположение: Ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях.

• Поведение:

  • При x→+∞, y→0− (игрек стремится к нулю, оставаясь отрицательным).

  • При x→0, y→−∞ (игрек стремится к минус бесконечности).

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение функции  .

2. Как называется график этой функции?

3. Что является асимптотами гиперболы?

4. Как зависит расположение ветвей гиперболы от знака коэффициента k?

5. Приведите пример обратной пропорциональной зависимости из жизни.

Алгебра Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова 7-9 Функция  , её свойства, график (гипербола), область определения и значений.

Алгебра А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина 8 Определение, свойства и построение графика обратной пропорциональности.

Алгебра Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров Изучение функции  , её графика и характеристик.

Инструкция для учащегося: Выберите один или несколько правильных ответов для каждого задания.

1. Функция   является:
   а) прямой пропорциональностью;
   б) линейной функцией;
   в) обратной пропорциональностью;
   г) квадратичной функцией.

2. График функции  называется:
   а) парабола;
   б) гипербола;
   в) прямая;
   г) экспонента.

3. Область определения функции  ​ — это:
   а) все действительные числа;
   б) все действительные числа, кроме 0;
   в) все положительные числа;
   г) все отрицательные числа.

4. Если коэффициент k0, то ветви гиперболы расположены:
   а) в I и II четвертях;
   б) в I и III четвертях;
   в) во II и IV четвертях;
   г) в III и IV четвертях.

5. Какие из перечисленных функций являются обратными пропорциональностями?
   а)  ;
   б)  ​;
   в)  ;
   г)  .

6. Функция  ​ является:
   а) четной;
   б) нечетной;
   в) ни четной, ни нечетной;
   г) периодической.

7. Выберите верное утверждение для функции  ​:
   а) функция возрастает на всей области определения;
   б) функция убывает на всей области определения;
   в) функция возрастает на промежутке (0;+∞);
   г) функция убывает на промежутке (0;+∞).

8. Асимптотами графика функции  являются:
   а) прямые y=x и y = −x
   б) прямые y=k и x=k;
   в) оси координат y=0 и x=0;
   г) ось абсцисс y=0 и прямая x=k.

9. Установите соответствие между функцией и свойством ее графика:

   Функция	Свойство
   1)	А) Ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях
   2)  ​	Б) Ветви гиперболы находятся в I и III четвертях
   	В) Функция возрастает на промежутке (0;+∞)

10. Примером обратной пропорциональной зависимости из жизни является:
    а) зависимость стоимости покупки от количества товара при постоянной цене;
    б) зависимость пути от времени при постоянной скорости;
    в) зависимость времени прохождения пути от скорости при постоянном расстоянии;
    г) зависимость площади квадрата от длины его стороны.