Информационно-практический кейс "Круги Эйлера"

ИНФОРМАЦИОННО-ПРАКТИЧЕСКИЙ КЕЙС

«логические Задачи

на пересечение и объединение множеств»

ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК

Леонард Эйлер

1707-1783

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в семье пастора, жившей в швейцарском городке Базеле. Начальное обучение Эйлер получил под руководством отца, который готовил его к духовной карьере. С детства увлекался математикой. В 13 лет Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. В 17 лет был удостоен учёной степени магистра. В 19 лет Эйлер был включен в число кандидатов на должность профессора физики. Великий ученый Леонард Эйлер занимает одно из первых мест в истории мировой науки. С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру». Эйлеровы круги (круги Эйлера) — принятый в логике способ моделирования, наглядного изображения отношений между объемами понятий с помощью кругов был предложен Леонардом Эйлером.

Как решать задачи на объединение и пересечение множеств:

Рассмотрим задачу:

Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро - фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Можно попробовать решить задачу методом рассуждений:

1) 6+5=11.

2) 11-2=9.

Но как грамотно обосновать их? Как ответить на вопрос, чтоб получилось в результате первого действия? Коротко - не получится, длинно- язык «сломаешь» и мысли «размажешь».

А ведь еще в XVIII в. Великий Леонард Эйлер придумал очень красивый способ решения таких задач.

При решении задачи можно рассмотреть два множества: множество «Фиалки», множество «Кактусы». Так как две подруги имеют и кактусы и фиалки, то множества пересекаются. Изобразим два пересекающихся круга: один круг - множество «Кактусы», второй круг – множество «Фиалки», пересечение кругов – «Кактусы и фиалки». В области пересечения записываем 2, так как две подруги выращивают и кактусы и фиалки. Получим, что только кактусы выращивают:

6-2=4 подруги

и только фиалки: 5-2=3 подруги.

Найдем количество подруг 4+2+3=9 подруг.

2

4

3

Фиалки

Кактусы

Ответ: 9 подруг

Рассмотри еще одну задачу:

Группа туристов отправились на турбазу. Прибыв на место, они обнаружили, что 12 человек привезли с собой бутерброды с колбасой, 5 – с сыром и 9- с маслом. Трое сделали бутерброды двух видов: и с колбасой, и с маслом, а один захватил с собой из дома бутерброды с маслом и бутерброды с сыром, но не оказалось ни одного отдыхающего, который привез бы бутерброды с колбасой и бутерброды с сыром. Сколько человек было в группе?

Изобразим три пересекающихся круга, изображающих множества «Бутерброды с колбасой», «Бутерброды с маслом», «Бутерброды с сыром». Сначала вычисляем количество элементов, из которых состоят области пересечения кругов. Область, в которой пересекаются все три круга (красным цветом) – отдыхающие, которые взяли три вида бутербродов: по условию задачи таковых нет, значит, запишем в эту область 0. Трое взяли бутерброды с колбасой и маслом. На рисунке этому условию соответствует область, закрашенная голубым цветом. Один турист взял бутерброды с маслом и сыром: на рисунке этому условию соответствует область, закрашенная розовым цветом. С колбасой и сыром никто не брал, значит в области, на рисунке, закрашенной желтым цветом записываем 0. Теперь найдем количество элементов множества только «Бутерброды с маслом».

4

9

5

0

1

3

0

9-3-0-1=5 – туристов взяли бутерброды только с маслом.

Найдем количество элементов множества только «Бутерброды с сыром»:

5-0-0-1=4 – туриста взяли бутерброды только с сыром

Найдем количество элементов множества только «Бутерброды с колбасой»

12-3-0-0=9 – туристов взяли бутерброды только с колбасой.

Найдем общее количество туристов, сложив количества найденных элементов всех подмножеств:

9+3+5+1+4=22 туриста было в группе.

Ответ: 22 туриста.

Рассмотри ещё одну задачу на объединение и пересечение множеств:

Аня живет в девятиэтажном доме, где на первом этаже нет квартир, а на каждом следующем – по четыре квартиры. В каждой квартире, кроме Аниной, есть какая-нибудь живность. В 15 квартирах живут кошки, в 13 – собаки и в 13 – попугаи. В одной квартире обитают и кошки и собаки. В четырех – кошки и попугаи, а в одной – и кошки и собаки и попугаи. Сколько семей держат и собак и попугаев?

Определим сколько всего квартир: 4•8=32 квартиры.

Определим, какие множества мы будем строить:

Множество квартир: 32 элемента;

Множество квартир, в которых живут кошки, назовем «Кошки»,

Множество квартир, в которых живут собаки, назовем «Собаки»,

Множество квартир, в которых живут попугаи, назовем «Попугаи»

В одной квартире, по условию задачи, живут и кошки и собаки и попугаи, значит, подмножество «Кошки+Собаки+Попугаи», изображенное на рисунке красным цветом, содержит 1 элемент.

Подмножество «Кошки + Собаки» содержит 1 элемент, но он тоже изображен красным цветом, так как является также подмножеством множества «Кошки+Собаки+Попугаи». В четырех квартирах живут кошки и попугаи, значит подмножество, выделенное синим цветом, будет содержать 3 элемента, так как оно ещё является подмножеством множества «Кошки + Собаки». Обозначим за х количество элементов подмножества только «Собаки + Попугаи» и заполним соответствующие подмножества.

Составим и решим уравнение:

11+0+3+1+х+13-(1+х)+13-(3+1+х)=32

36-х=32

х=4

Держат собак и попугаев 4 семьи.

Ответ: 4 семьи держат собак и попугаев.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1. Каждая семья, живущая в нашем доме, занимается или пением, или танцами, или и тем и другим вместе. 75 семей занимаются пением, а 27 семей занимаются танцами и лишь 13 семей занимаются и пением, и танцами. Сколько семей живёт в нашем доме?
Задача 2. Из 40 учащихся нашого класса 32 любят чай, 21- кофе , а 15- и чай, и кофе. Сколько ребят в нашем классе не любят ни чай, ни кофе ?
Задача 3. 12 моих одноклассников любят читать романы, 18- басни, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе ?
Задача 4. Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть комедии , только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики» , если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или комедии, или мультфильмы, или и то и другое.
Задача 5. Из 29 мальчиков нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают хоккейную или волейбольную секции, а то и обе. Хоккеем занимается 17 мальчиков, а волейболом - 19. Сколько хоккеистов играет в волейбол? Сколько волейболистов играет в хоккей?
Задача 6. "Обитаемый остров" и "Стиляги"

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Задача 7. «Любимые мультфильмы»

Среди учащихся шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?

Задача 8. «Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Задача 9. Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?

Задача 10. «Пионерский лагерь»

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Задача 11. «Экстрим»

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Задача 12. «Творческий конкурс»

Из 35 учеников класса 12 брали участие в конкурсе декламаторов стихов, 10 – в конкурсе на наилучший рисунок, 4 – брали участие в обеих конкурсах. Сколько учеников не принимали участие в конкурсах?

Задача 13. В группе из 80 туристов, которые приехали на экскурсию в Москву, 52 хотят пойти в театр, 30 – в музей, 12 хотят пойти и в театр и музей, другие в театр и музей идти не желают. Сколько туристов не собираются идти в театр и музей?

Задача 14. Предприятие купило компьютер, факс, сейф и телефон на 42 700 руб. Факс, сейф и телефон вместе стоят 19 700 руб., компьютер, сейф и телефон – стоят 40 700 руб., факс и сейф вместе стоят 17 200 руб. Сколько стоят отдельно компьютер, факс, сейф и телефон?

Задача 15. Школа дала отчет: всего в школе 60 шестиклассников, из них 37 отличников по математике, 33 – по украинскому языку и 42 – по физкультуре. При этом у 21 ученика «5» по математике и украинскому языку, а у 23 – по математике и физкультуре, у 22 – по украинскому языку и физкультуре. При этом у 20 учеников учатся на «отлично» со всех трех предметов. Правильный ли отчет школы?

Задача 16. Алексей и Борис вместе весят 82 кг, Алексей и Володя – 83 кг, Борис и Володя – 85 кг. Сколько вместе весят Алексей, Борис и Володя?

Задача 17. 3 уточки и 4 гусенка вместе весят 2кг 500г, а 4 уточки и 3 гусенка 2кг 400г. Сколько весит один гусенок? Сколько весит одна уточка?

Задача 18. На склад доставили груз. На I и II склады доставлено 400т, на II и III – 300т, а на I и III – 440т. Сколько тонн груза доставлено на каждый склад?

Задача 19. Среди студентов, присутствующих в комнате, 6 знают английский язык, столько же – немецкий и 7 студентов – французский. Один студент знает все эти три языка, 4 студента знают немецкий и английский, два –французский и английский и 3 студента знают немецкий и французский языки. Сколько присутствующих в этой комнате, если каждый из них знает хотя бы один язык?

Задача 20. На стол бросили две одинаковые салфетки размером 10см на 10 см. Они покрыли площадь стола, равную 168 см², но при этом частично легли друг на друга. Найдите площадь перекрытия.