Инновационные технологии и технологии уровневой дифференциации при изучении математики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГПОУ «ДОНЕЦКИЙ КОЛЛЕДЖ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА» ГО ВПО «ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ТОРГОВЛИ

ИМЕНИ МИХАИЛА ТУГАН-БАРАНОВСКОГО»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ПО ТЕМЕ:

«ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ТЕХНОЛОГИИ УРОВНЕВОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ»

Разработчик: Рыженко Оксана Викторовна

Донецк, 2017 г.

Автор:

Рыженко О.В., специалист высшей категории, преподаватель-методист, преподаватель ГПОУ «Донецкий колледж технологий и дизайна» ГО ВПО «Донецкий национальный университет экономики и торговли имени Михаила Туган-Барановского». «Инновационные технологии и технологии уровневой дифференциации при изучении математики», – Донецк, 2017

Рецензенты:

1. Дулина Н.А., руководитель ТУМО преподавателей математики Донецких территориально-образовательных округов-1,2, преподаватель ГПОУ «Донецкий транспортно-экономический колледж», специалист высшей категории;

2. Бурдина Т.М., председатель цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин ГПОУ «Донецкий колледж технологий и дизайна» ГО ВПО «Донецкий национальный университет экономики и торговли имени Михаила Туган-Барановского», преподаватель-методист, специалист высшей категории.

Аннотация: методическое пособие по формированию компетенций при изучении дисциплины ОДБ.01 «Математика» на основании опыта работы преподавателя в межаттестационный период при использовании инновационных технологий и технологии уровневой дифференциации.

Пособие для преподавателей профессиональных образовательных учреждений среднего профессионального образования.

Рассмотрено и рекомендовано на заседании Педагогического совета ГПОУ «ДКТД» ДонНУЭТ Протокол № 2 от 15.11.2016 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение	3
Раздел 1. Предпосылки совершенствования методики проведения этапа закрепления знаний и формирования умений и навыков	6
1.1. Особенности внедрения уровневой дифференциации на современном этапе	6
1.1.1. Что такое дифференциация обучения	6
1.1.2. Условия достижения уровневой дифференциации	8
1.1.3. Дифференциация как средство индивидуализации	9
1.1.4. Особенности организации и управления учебным процессом в условиях дифференцированного обучения	14
1.2. Основы теории поэтапного формирования умений и навыков решения упражнений	19
1.3. Этап закрепления знаний и формирования умений и навыков решения упражнений как составное и обязательное звено единого процесса получения студентами математического образования	24
Раздел 2. Особенности организации и методики проведения этапа закрепления знаний и формирования умений и навыков	26
2.1. Методические особенности системы упражнений на закрепление знаний	26
2.1.1. Базисный уровень	29
2.1.2. Усложненный уровень	35
2.1.2. Повышенный уровень	39
2.2. Критерии оценивания знаний, умений и навыков студентов	42
2.3. Результативность опыта и его практическая значимость	44
Заключение	45
Список использованной литературы	48

ВВЕДЕНИЕ

В связи с необходимостью развития творческой активности людей во всех сферах деятельности перед педагогической наукой и практикой сегодня стоит ряд задач по совершенствованию организации, содержания и методов обучения: нужно повысить качество обучения и воспитания, обеспечить более высокий научный уровень преподавания дисциплин, прочного знания основ наук. Это требует совершенствования форм, методов и средств обучения, более активного привлечения студентов к работе с учебником и другими источниками знаний, оказание помощи им в выработке самостоятельности мышления, проявления творческой активности, подготовки их к непрерывному образованию и самообразованию.

Педагогическая практика и научные исследования показывают, что существуют большие индивидуальные различия, как в способностях подростков, так и в уровне умственного развития вообще. Именно поэтому образовательные учреждения сегодня должны создать благоприятные условия для отстающих студентов и для тех, которые способны опережать в обучении, овладевать знаниями на повышенном уровне. То есть дать возможность каждому студенту почувствовать успех в своей учебной деятельности, радость познания и преодоления трудностей, дать каждому студенту одинаковый шанс в достижении высокого уровня математической подготовки. Решение этой современной проблемы, поставленной перед образовательными учреждениями, возможно путем индивидуализации обучения, основным средством которой в условиях классно-урочной системы является дифференциация.

Важным средством и целью обучения математике является формирование умений и навыков. Данный этап выполняет ряд функций обучающего и развивающего характера. Большая роль заключается в развитии логического мышления студентов, в формировании у них научного мировоззрения, умений и навыков в практическом применении математики, влияет на качество обучения, развитие степени подготовленности студентов к будущей трудовой деятельности. В научно-методической литературе нет четкой методики работы со студентами и полных разработок по всем темам для непосредственного использования в процессе обучения, поэтому именно актуальность и неполная разработанность данной проблемы в плане современных требований обусловили выбор темы.

Актуальность и перспективность собственной методики:

- обеспечивает условия для развития творческой личности студента;

- способствует положительной мотивации студентов к познавательной деятельности, потребности в самопознании, самореализации и самосовершенствовании;

- позволяет гарантировать достижение стандарта образования;

- обеспечивает личностно ориентированную модель обучения;

- делает возможным оригинальный подход к построению структуры современного занятия по математике.

Объектом исследования и в данной работе является методика изучения математического материала в образовательных учреждениях среднего профессионального образования.

Предметом изучения является применение дифференцированного подхода при изучении математики.

Цель собственной методики:

- исследование и обоснование особенности дифференцированного изучения математики;

- создание оптимальных условий для развития творческих способностей студентов на уроках математики;

- создание атмосферы сотрудничества, взаимодействия преподавателя и студента;

- выявление и развитие творческих способностей студентов, проявляющих интерес к изучению математики;

- развитие социальной и гражданской компетентности студента;

- формирование умений и навыков и разработка системы упражнений по внедрению дифференциации на различных этапах изучения математики.

Теоретическую базу собственной методики составляют положения, основанные на психологической теории личности и ее развития (Г. Грановская, Я. Пономарев), работы отечественных и зарубежных ученых по проблемам технологизации образовательного процесса (Г. Сазоненко, В. Бондарь, А. Горальский, А. Маслоу).

Идеи интерактивного обучения (В. Пометун, Л. Пироженко), дифференциации обучения (Н.М. Шахмаева, С.В. Алексеева, Д.В. Алексеевский, А.М. Гольдман), личностно ориентированного обучения (В. Савченко, С. Подмазин), которые направлены на реализацию темы собственной методики, стали основой теоретических положений.

Ведущая идея собственной методики заключается в выработке определенной совокупности технологий обучения математике, которые способствуют развитию творческих способностей, интересов, умений и навыков и других интеллектуальных способностей у студентов.

В данной работе я исходила из следующей гипотезы: результативность изучение математики в образовательном учреждении повысится, если гибко подходить к организации индивидуальной работы студентов, варьировать их направленность в зависимости от степени достижения ими уровня обязательной подготовки, что является главной задачей преподавателя на занятии. Если преподаватель сумеет удачно использовать разницу в психологическом и умственном развитии каждого из студентов и на основе этого четко проводить распределение задач в соответствии с их индивидуальными возможностями, то это значительно будет способствовать повышению продуктивности изучения материала и усвоения знаний.

Цель работы и гипотеза четко очертили круг задач, которые требуют решения:

1. Определиться с психологическими основами проблемы, которые бы полнее раскрывали процесс формирования математических умений и навыков.

2. Исходя из анализа психолого-педагогической и методической литературы и принимая во внимание результаты предыдущей задачи, выяснить особенность активизации мыслительной деятельности студентов в процессе изучения математики.

3. Разработать и обосновать этапы процесса формирования умений и навыков при закреплении материала и на других этапах урока.

4. Разработать методику дифференцированного подхода формирования умений и навыков и показать ее применение на примере системы упражнений по теме «Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы».

5. Провести экспериментальную проверку эффективности данной проблемы.

Методологической основой исследования являются теория формирования поэтапных умственных действий.

Практическая значимость заключается:

1. В разработке системы упражнений (на примере конкретной темы) для этапа закрепления знаний, который позволяет учитывать индивидуальные особенности студентов относительно усвоения материала.

2. В выделении критериев оценивания знаний, умений и навыков студентов.

3. В обосновании методики организации обучения, что обеспечивает эффективное руководство процессом формирования знаний, умений и навыков студентов в условиях дифференцированного изучения математики.

Результативность собственной методики.

Повысился интерес к изучению дисциплины, увеличилось количество студентов, желающих принять участие в различных конкурсах и соревнованиях, постепенно появляется тенденция роста успеваемости, повышение процента качества знаний.

По инновационному потенциалу собственная методика носит комбинаторный характер, так как предусматривает конструктивные сочетания, интеграцию современных педагогических технологий и методик, направленных на развитие компетентностной личности. Это позволяет преподавателю самому творчески интерпретировать различные подходы к организации учебно-воспитательного процесса, а не вникать в суть только одной технологии.

Материалы собственной методики были обобщены на Педагогическом совете колледжа 15.11.2016 г. (протокол №2), рассмотрены и одобрены на заседании руководителей территориально-образовательных округов учебно-методического объединения преподавателей математики (протокол № 2 от 12.06.2017 г.). Методика прошла апробацию в ГПОУ «Шахтерский техникум» ГО ВПО «Донецкий национальный университет экономики и торговли имени Михаила Туган-Барановского», ГПОУ «Донецкий горный техникум им. Е.Т. Абакумова», ГПОУ «Енакиевский техникум экономики и менеджмента» ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет», ГПОУ «Донецкий колледж строительства и архитектуры».

РАЗДЕЛ 1. ПРЕДПОСЫЛКИ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ МЕТОДИКИ ПРОВЕДЕНИЯ ЭТАПА ЗАКРЕПЛЕНИЯ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

1.1. Особенности внедрения уровневой дифференциации на современном этапе

1.1.1. Что такое дифференциация обучения

Под дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый студент, обладая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, получает право и гарантированную возможность уделять внимание преимущественно тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

В преподавании математики накоплен некоторый опыт собственной методики дифференцированного обучения. Он относится в основном к обучению сильных студентов. Однако дифференциацию обучения нельзя рассматривать исключительно с позиций студентов, которые интересуются математикой. Ориентация на личность студента требует, чтобы дифференциация обучения математике учитывала требования ко всем студентам – не только сильным, но и тем, кому этот предмет дается с трудом или чьи интересы относятся к другим областям.

Традиционно дифференцированный подход основывался на психолого-педагогическом различии школьников, при этом конечная учебная цель оставалась для всех студентов единственной, а для многих заведомо непосильной. Сущность дифференциации состоит в поиске методов и способов обучения, которые индивидуальными путями вели бы всех студентов к одинаковому овладению программой. Необходимо также отметить отсутствие адекватных механизмов дифференцированного подхода в традиционном его понимании, которые позволяли бы объективно формировать группы студентов в зависимости от особенностей их развития и психики.

Дифференциацию можно рассматривать с нескольких точек зрения:

1) процесса обучения (отбор форм, методов и приемов обучения);

2) содержания образования (создание учебных планов, программ, учебной литературы и составления заданий, предъявляемых обучающимся);

3) построения школьной системы образования (формирование различных типов школ и классов).

При уровневой дифференциации обучения видят как позитивные, так и негативные аспекты (таб. 1).

Таблица 1. Положительные и отрицательные аспекты уровневой дифференциации обучения

Положительные аспекты	Отрицательные аспекты
1. Исключаются неоправданные и нецелесообразные для общества уравниловка и усреднение студентов.	1. Разделение студентов по уровню развития негуманно.
2. У преподавателя появляется возможность помогать слабому, уделять внимание сильному.	2. Высвечивается социально-экономическое неравенство.
3. Отсутствие в группе отстающих снимает необходимость снижения общего уровня преподавания.	3. Слабые студенты лишаются возможности тянуться за более сильными, получать от них помощь, соревноваться с ними.
4. Появляется возможность более эффективно работать с трудными студентами, которые плохо адаптируются к нормам.	4. Перевод в слабую группу воспринимается студентами как унижение их достоинства.
5. Реализуется желание сильных студентов быстрее и глубже продвигаться в образовании.	5. Несовершенство диагностики порой приводит к тому, что в разряд слабых переводятся неординарные дети.
6. Повышается уровень Я-концепции: сильные утверждаются в своих способностях, слабые получают возможность испытывать учебный успех.	6. Понижается уровень Я-концепции: в элитарных группах возникает иллюзия исключительности, эгоистический комплекс; в слабых группах снижается уровень самооценки, появляется установка на фатальность своей слабости.
7. Повышается уровень мотивации обучения в сильных группах.	7. Понижается уровень мотивации обучения в слабых группах.
8. В группе, где собраны одинаковые дети, студенту легче учиться.	8. Перекомплектация разрушает коллектив группы.

Существует два основных вида дифференциации: уровневая и профильная.

Уровневая дифференциация выражается в том, что, обучаясь в одной группе, по одной программе и учебнику, студенты могут усваивать материал на различных уровнях. И, как показали результаты изучения, что при правильной организации обучения, особенно при снятии жестких временных рамок, около 95% студентов могут полностью усваивать учебный материал.

Профильная дифференциации в образовательных организациях среднего профессионального образования выражена в том, что в одной группе обучаются студенты по одной специальности/профессии, но разного уровня подготовки.

1.1.2. Условия достижения уровневой дифференциации

Существует ряд важных условий, выполнение которых необходимо для успешного и эффективного достижения уровневой дифференциации:

1. Выделенные уровни усвоения материала, и в первую очередь обязательные результаты обучения, должны быть открыты для студентов. Успех дифференцированного подхода в обучении существенно зависит от познавательной активности студентов, от того, насколько они будут заинтересованы в своей деятельности. Открытость уровней подготовки является механизмом формирования положительных мотивов обучения, сознательного отношения к учебной работе, позволяет привлечь самооценку студента при организации дифференцированной работы.

2. Уровневая дифференциация достигается не потому, что одним студентам дают меньше, а другим больше, а в силу того, что, предоставляя обучающимся одинаковый объем материала, устанавливаются различные уровни требований к его усвоению.

3. В обучении должна быть обеспечена последовательность в продвижении студента по уровням. Необходимо, чтобы трудности в учебной работе были для них посильными, согласно индивидуальному темпу овладения материалом на каждом этапе обучения. В то же время, если для одних студентов необходимо продлить этап отработки основных, опорных знаний и умений, то других не нужно без причины задерживать на этом этапе.

4. Каждый студент имеет право добровольно и сознательно решать для себя, на каком уровне ему усваивать материал. Именно такой подход позволяет формировать у студентов познавательную потребность, навыки самооценки, планирования и регулирования своей деятельности.

Уровневая дифференциация позволяет учитывать индивидуальные качества в большей мере и развивать и формировать их у всех студентов в ходе дифференцированной работы.

На первом курсе (10-11 класс школы) дифференциация образования приобретает систематический характер. Специфика дисциплины позволяет утверждать, что теоретический уровень мышления в его чистом виде наиболее естественно формируется именно во время изучения математики. В зависимости от той роли, которую математика может играть в образовании человека, выделяются два типа образовательных курсов: курс общекультурной ориентации, рассчитанный на обучающихся, рассматривающих математику только как элемент общего образования и не предполагают использовать ее непосредственно в своей будущей деятельности (специальности 43.02.02 Парикмахерское искусство, 54.02.01 Дизайн (по отраслям)), и курсы повышенного типа, которых обеспечивают изучение математики и ее применение в качестве элемента профессиональной подготовки (специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), 38.02.04 Коммерция (по отраслям), 38.02.06 Финансы).

1.1.3. Дифференциация как средство индивидуализации

Дифференциация как средство индивидуализации может осуществляться по характеру индивидуальных особенностей, важных с точки зрения обучения математике, по уровню требований к усвоению материала, оставаясь в рамках, предусмотренных программой, по способу ориентации познавательной деятельности студентов, по характеру помощи студентам, которая разделяет уровень их деятельности.

В этом смысле студенты условно могут быть разделены на три группы.

1 группа – студенты с низким темпом продвижения в обучении в процессе усвоения нового материала испытывают определенные затруднения, во многих случаях нуждаются в дополнительных объяснениях, обязательными результатами овладевают после долгой тренировки, способностей к самостоятельному нахождению решений измененных и усложненных задач, как правило, не обнаруживают.

II группа – студенты со средним темпом продвижения в обучении: овладение новыми знаниями и умениями не вызывает особых сложностей. Способы выполнения типовых задач усваивают после рассмотрения двух-трех примеров, решения измененных и усложненных задач находят, опираясь на указания преподавателя.

III группа – студенты с высоким темпом продвижения в обучении: общие схемы выполнения типовых задач фактически усваивают в процессе их первичного объяснения, во многих случаях могут самостоятельно находить решения измененных типовых или усложненных задач, что предлагают применение нескольких известных способов решения.

Согласно такому разделению на группы можно выделить соответственно три таких уровня упражнений на закрепление умений и навыков в процессе обучения математике.

I уровень – упражнения и вопросы на один-два логических шага преимущественно репродуктивного характера. Для ответа на них студентам достаточно знать правила, определения, признаки, теоремы, формулы, простейшие зависимости между компонентами математических действий.

II уровень включает в себя более сложные задания на два-четыре логических шага, а их решение требует более широкого круга математических знаний, умений и практических навыков.

I и II уровни содержат упражнения обязательных результатов и характеризуют основной уровень базовой математической подготовки, как это предусмотрено программой.

Ш уровень – это задача на четыре-шесть логических шагов, решения которых требуют творческого использования приобретенных знаний. Упражнения такого уровня составляют усложненный уровень базового математического образования.

Дифференциация методов и форм, которые используются при изучении математики, приведены в таблице 2.

Таблица 2. Дифференциация методов и форм при изучении математики.

Методы и формы обучения	Уровень дифференциации
	Студенты с низкой успешностью обучения	Студенты со средней успеваемостью обучения	Студенты с высокой успешностью обучения
1. Самостоятельная работа с дополнительным материалом	Экспресс-информация, сообщение	Реферат	Доклады
2. Самостоятельная работа с учебником	Репродуктивная	Познавательно-творческая	Творческая
3. Групповая работа	Участник группы	Участник группы	Руководитель
4. Деловые игры	Участники игры	Исполнитель ролевой ситуации	Руководитель игры
5. Внеклассные учебные занятия	Дополнительные занятия, консультации	Дополнительные занятия, консультации	Факультативы
6. Работа временных группах во внеаудиторное время	Группы по ликвидации пробелов	Группы по ликвидации пробелов	Группы для подготовки к олимпиадам
7. Программированный контроль	Ответы типа «правильно»-«неправильно»	Из 5 ответов - один правильный	Из 10 ответов -несколько правильных
8. Работа в парах	Консультируемый	Консультируемый	Консультант
9. Работа с обучающими программами	Подробная схема-программа	Средний уровень схематизации	Упрощенная схема - программа

В разработке общей схемы организации дифференцированного обучения студентов, его учебно-методического обеспечения можно исходить из такого понимания обязательных результатов как основы для дифференциации требований к студентам.

1. Достижение обязательных результатов, задающих нижнюю границу подготовки студентов, за время, отведенное на изучение тем, посильное для студентов с низкими темпами продвижения в обучении. Условием достижения обязательных результатов студентов, отстающими в учебе, естественно, является преодоление недостатков в знаниях и умениях.

Как известно, важными компонентами мыслительной деятельности при решении типовых математических задач на основе образцов есть такие общие мыслительные операции, как анализ, синтез, абстрагирование, обобщение, конкретизация, а также логические действия, выполняемые на основе теорем, определений выведения следствий, пропедевтика нового понятия. Усматривая в недостаточной сформированности таких действий одну из причин отставания, низких темпов продвижения в учебе, отводят типичным задачам обязательного уровня, функцию одного из основных средств умственного развития слабых студентов.

2. Предвидя концепцию обязательных результатов, подход к формированию математических умений на основе элементарных заданий (в отличие от традиционного принципа преимущественного использования заданий средней сложности) имеет важное значение и для студентов с высоким и средним темпом продвижения в обучении. Доминирование в учебниках заданий средней сложности приводит к тому, что приобретение новых математических умений занимает значительное время. В силу несформированности математических умений на элементарном уровне студенты сталкиваются с трудностями в самостоятельном нахождении способов решения заданий средней сложности и, как правило, выполняют задания на основе образца. Выделение элементарного уровня овладения математическими умениями, формирование которого занимает незначительное время, делает обоснованным желание части студентов усвоение учебного материала на более высоком уровне: умение применять известные способы и приемы решения задач в усложненных и новых ситуациях.

В последовательном формировании умений самостоятельно находить решения более сложных задач на основе обязательных результатов усматривается существенное значение развивающего обучения.

Формирование учебных групп на занятиях математики целесообразно осуществлять с учетом типа математического склада ума студентов, который по В.А. Крутецкому определяется проявлением выделенных им компонентов математических способностей в решении алгебраических или геометрических задач. Тогда, соответственно, можно говорить об алгебраическом, геометрическом, комбинированном или не сформированном типе математического склада ума личности.

Методика определения типа математического склада ума личности основывается на структуре способностей (рис.1), полученной, как уже отмечалось, благодаря трудам В.А. Крутецкого, А.М. Колмогорова, Б.Ф. Ломова.

Рис.1 Структура математических способностей

1.1.4. Особенности организации и управления учебным процессом в условиях дифференцированного обучения

В процессе использования дифференцированных заданий осуществляется постепенный переход от коллективных форм работы студентов в частично автономные и полностью самостоятельные в рамках занятия или системы занятий. Такой подход дает возможность студентам участвовать в выполнении задач, сложность которых возрастает.

Применение уровневой дифференциации позволяет каждому студенту работать на любом уровне учебных достижений и получить соответствующие результаты.

Работа студентов на занятии может осуществляться как индивидуально с соответствующими задачами, так и в парах или группах. Группы формируются по кооперировано-групповой форме. Задания дифференцируются по принципу индивидуального подхода. Состав групп студентов не должен быть постоянным: с ростом возможностей студента его переводят в другую группу.

Теперь об особенностях организации с учетом требований уровневой дифференциации.

Лекция сообщение новых знаний – давать на высоком уровне всем, четко определять, выделять главное («это знать всё, это – по желанию»). Лекция отработка умений и навыков – обязательно дифференцированно.

Этап проверки домашнего задания. Начать этот этап целесообразно с фронтальной проверки наличия домашнего задания у всех студентов с целью определения тех, кто его не выполнил, и организации выполнения этими студентами хотя бы части домашнего задания самого низкого уровня и повторение теоретического материала учебника при опосредованной или непосредственной помощи преподавателя. Проверка качества выполнения домашнего задания проводится не всегда, но если задание сложное, то целесообразно организовать дифференцированную проверку с последовательным подключением групп, например, на самостоятельную работу с учебником.

Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности. Подведя итоги предыдущего этапа занятия, преподаватель проводит мотивацию учебной деятельности всей группы и начинает устный опрос по теме предыдущего занятия со студентов ІІІ группы, которым после этого выдается индивидуальное задание творческого уровня. Затем отвечают студенты II группы и тоже получают задания для самостоятельной работы. Опрос студентов I группы происходит индивидуально на фоне самостоятельно работающей учебной группы.

Этап усвоения новых знаний. Самый благоприятный способ для выравнивания условий восприятия нового материала предложил А.О. Бударный. Он заключается в большем количестве повторений объяснения нового материала для студентов I группы. Повторяющиеся объяснения преподавателя должны носить вариативный характер и проводиться на фоне групп студентов, которые самостоятельно работают.

Этап самостоятельной деятельности студентов. Широкое применение самостоятельной работы студентов на занятиях позволяет успешно решать много учебно-воспитательных задач: повысить сознательность и прочность усвоения знаний студентами; выработать у них умения и навыки, которые требует учебная программа; научить пользоваться приобретенными знаниями и умениями в жизни, в общественно полезном труде, развивать у студентов познавательные способности, наблюдательность, любознательность, логическое мышление, творческую активность при усвоении знаний; прививать им культуру умственного и физического труда, учить их самостоятельно продуктивно и с интересом работать; готовить студентов к тому, чтобы они могли эффективно заниматься любимым делом после окончания колледжа.

Целесообразно учитывать три основных типа познавательной деятельности студентов и соответственно различать самостоятельные работы трех типов: репродуктивные (копирующие); частично-поисковые (эвристические); исследовательские.

Кроме этого, самостоятельные работы имеют характерную организационную особенность: они делятся на фронтальные, групповые и индивидуальные (в том числе дифференцированные).

Первичная проверка понимания нового материала. Этот этап проводится фронтально. Дифференцированный подход к студентам разных типологических групп заключается в «адресности» вопросов разного типа в условиях фронтальной работы.

Первичное закрепление знаний. Закрепление знаний. Обобщение и систематизация. Эти этапы занятия строятся по одному принципу и их нельзя рассматривать отдельно, потому что по технологии дифференцированного обучения между ними нет четких общих для всех типологических групп «границ». Основной метод на этом этапе – метод управляемой самостоятельной работы.

Студенты I группы для закрепления знаний, формирования навыков и умений требуют не только большей помощи преподавателя, но и большего количества заданий репродуктивного характера (воспроизводящая самостоятельная работа по образцу). Студенты каждой группы могут выполнять незначительное количество задач для другого (более высокого уровня) типа самостоятельной работы.

Контроль и систематизация. Основными звеньями проверки знаний студентов в рамках одной темы являются вводная, текущая, повторная, диагностическая, итоговая проверки.

Вступительная проверка проводится перед изучением нового раздела курса с целью определения знаний обучающихся по важнейшему материалу, необходимому для усвоения новой темы. Вступительная проверка сочетается с так называемым компенсационным (реабилитационным) обучением, направленным на ликвидацию пробелов в знаниях, умениях студентов.

Текущая проверка осуществляется преподавателем в ходе изучения каждой темы. При этом диагностируется усвоение студентом отдельных элементов темы. Так, в начале изучения темы выполняется первичная проверка. Основные функции текущей проверки – обучающая, стимулирующая. По результатам текущей проверки можно осуществлять объединение студентов в группы.

Повторная проверка проводится с целью повторения материала и характеристики динамики учебной работы студента. Она способствует укреплению знаний.

Диагностическая проверка проводится в основном после изучения части, раздела программы или большой темы. Ее целью является диагностирование качества усвоения студентами взаимосвязей между структурными элементами учебного материала, который изучался в разных частях курса, систематизация и обобщение.

Тематическая проверка осуществляется в конце каждой темы. Ее назначение – диагностирование уровня (качества) фактической успеваемости студентов в соответствии с поставленной на данном этапе цели обучения.

К каждой типологической группе применяются разные виды проверки знаний.

В зависимости от специфики организации контроля над учебной деятельностью студентов используются такие формы контроля: фронтальный, групповой, индивидуальный, комбинированный, самоконтроль.

Особенности управления учебным процессом в условиях дифференцированного обучения на этом этапе занятия заключаются в общей контролируемости результатов работы каждой типологической группы и каждого студента в ее составе на каждом этапе занятия. К каждой типологической группе применяются разные виды контроля:

I группа – контроль преподавателя, взаимоконтроль;

II группа – контроль преподавателя, взаимоконтроль, самоконтроль;

III группа – контроль преподавателя, взаимоконтроль, самоконтроль, внутренний самоконтроль.

Текущий мониторинг во время изучения темы дает возможность отслеживать результаты взаимодействия преподавателя со студентами в процессе организации учебной деятельности и постоянно ее корректировать. Окончательная диагностика дает возможность выявить эффективность этой работы.

Разновидности дифференцированных заданий. Неуспевающему студенту предлагаются простые, или репродуктивного характера задачи, среднего уровня студент получает сложное задание, отличник – творческие задания. Такой подход имеет свои преимущества, но имеет и недостатки. Отметим опасные моменты:

1.) неуспевающий студент не имеет возможности реализовать себя, его рейтинг зависит от субъективного мнения преподавателя, поэтому студент постепенно теряет возможности интеллектуального роста;

2.) для студентов, у которых не развиты такие качества, как желание учиться, необходимость учиться, создаются условия для лени, жизни без усилий;

3.) успевающий студент имеет свои проблемы, ведь пик его умственной активности не всегда совпадает со временем проведения практических и диагностических работ.

Необходимо отметить, что для любого студента традиционный подход проведения контролирующих мероприятий имеет, по мнению психологов, психотравмирующий характер. Выход из такой ситуации можно найти, если дифференцировать не задания, а помощь преподавателя студенту в выполнении заданий. Для этого можно использовать задания, содержащие :

• инструкцию по выполнению;

• образец;

• алгоритм;

• схему;

• задание с промежуточными записями;

• кодированные задания.

Подведение итогов урока. Домашнее задание обязательно дифференцируется согласно индивидуально-типологическим особенностям студентов.

При организации учебной деятельности следует опираться на стремление студентов к самосовершенствованию, стремление проявлять интеллектуальную активность, познавать новые факты. Тогда студент будет осознанно относиться к своей учебной деятельности.

1.2. Основы теории поэтапного формирования умений и навыков решения упражнений

Каждая теория должна основываться на определенных базисных терминах поэтому, прежде чем перейти к изложению материала по данной теме, определим содержание ее основных понятий.

Умение – это действие, которое выполняется определенным способом и с определенным качеством.

Навыки – это автоматизированные компоненты сознательного действия человека, которые вырабатываются в процессе его выполнения.

Навык возникает как сознательно автоматизированное действие и затем функционирует как автоматизированный способ его выполнения. То, что данное действие стало навыком, означает, что человек в результате упражнения приобрёл возможность осуществлять данную операцию, не делая ее выполнение сознательной целью.

В своей работе я опираюсь на психологическую теорию поэтапного формирования умственных действий, разработанную П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Галызиной. Такой выбор обусловлен тем, что в отличие от всех других теорий, в частности теории ассоциаций А.К. Артемова, М.Н. Шеварёва, Я.И. Трудюкова, она дает возможность раскрыть, продемонстрировать и реализовать принцип формирования умений и навыков решения упражнений, как средство организации учебно-познавательного процесса на всех уровнях дифференцированного подхода к обучению.

Согласно этой теории обучение сводится к усвоению ориентиров деятельности и умственных действий по ее планированию и осуществлению. Для полноценного формирования любых знаний и умений необходимо:

1) создание мотивации;

2) объяснение и выделение схемы ориентировочной основы действий (ООД), то есть разложение действия на элементарные операции, доступные для студента;

3) формирование действия в материальной форме;

4) формирование действия с помощью устной речи без опоры на материальные или материализированные средства (все операции алгоритма комментируют вслух по мере их выполнения);

5) формирование действий во внутреннюю речь, в умственное действие (на этом этапе происходит автоматическое действие).

Теория поэтапного формирования умственных действий позволяет выделить три типа ориентации в задании.

Первый тип ориентации: студенту дают образец действия и называют ее результат, но без указаний, как выполнить действие. Студент сам ищет правильный способ решения методом проб и ошибок, но прочный навык у него не образуется, и даже при незначительном изменении условия задачи он не может выполнить это действие, перенести его на новые задачи. Преподаватель, работая с заданиями по первому типу ориентации, сам программирует ошибки студентов, поэтому ему приходится больше переучивать, доучивать, чем заниматься правильным обучением.

Второй тип ориентации: студенту дают все указания, как правильно выполнить задание, есть готовый алгоритм действий.

При соблюдении указаний алгоритма обучение идет без ошибок, быстрее, чем на первом этапе ориентации. По мере выполнения упражнений алгоритм усваивается. Новое задание студент сопоставляет с решенным, и, если они одного типа, то данный алгоритм успешно применяется к новому заданию.

Недостатки работы этого типа в том, что студенту извне дается последовательность операций для выполнения конкретного задания. Если студенту все время давать только готовые алгоритмы, схемы, пометки, он мало достигнет в умственном развитии.

Этот тип ориентации полезен при ликвидации пробелов в умениях и навыках за истекшие годы. Если материал сложный, то лучше дать схему, план, ориентиры и учить применять их к конкретному материалу. При дефиците времени также целесообразно работать в соответствии со вторым типом ориентации.

При третьем типе ориентации обучения на первое место выступает обучение не столько способу действия в конкретном случае, сколько анализу ситуации. Преподаватель специальным образом организует со студентами такой углубленный анализ задачи, что они самостоятельно составляют обобщенную схему или алгоритм. Это уже творческая работа.

Обучение по третьему типу ориентации – сложный процесс, требует больше времени. Но, когда уже составлена обобщенная ООД для достаточного круга задач, темп обучения резко возрастает.

Работа по третьему типу соответствует закономерностям формирования содержательных обобщений, способствует развитию теоретического мышления. От алгоритмической деятельности при втором типе ориентации осуществляется переход к творческому теоретическому мышлению при обучении по третьему типу. Сформулированные при этом действия устойчивы к изменению условия.

На материалах различных общеобразовательных дисциплин психологи доказали, что третий тип ориентации заданий ближе всего подводит студентов к творческому мышлению, является ориентиром на сущность, это путь к формированию теоретического мышления.

Задача преподавателя на занятии – организовать процесс обучения так, чтобы у студентов возрастал интерес к знаниям, потребности в полноценном овладению ими, развивалась самостоятельность в работе, чтобы каждый студент работал с полным напряжением своих сил, что будет способствовать более глубокому усвоению программного материала, формированию более прочных умений и навыков, развитию способностей студентов. Это можно реализовать через систему заданий, предполагающих поэтапное формирование действий:

1) с полным набором необходимых условий;

2) с пропущенными некоторыми из них;

3) с наличием всех необходимых и с добавлением лишних условий;

4) с пропущенными некоторыми необходимыми и наличием лишних.

Задания могут отличаться по уровню проблемности. Все задания предлагаются на каждом этапе до тех пор, пока их выполнение не будет правильным и быстрым.

Существует ряд показателей, по которым меняется поэтапное формирование действий:

1) уровень, на котором фактически выполняется действие;

2) полнота операций (развертывание и сокращение действий);

3) обобщение действия по материалу, типам и закономерностями;

4) мера освоения действия.

Для поэтапного формирования действий при решении задач необходимо использовать стимулирующие звенья.

Если задачи решаются обосновано с опорой на знания, аксиомы, которые изучаются, то достигается глубокое понимание и формирование прочных устойчивых умений и навыков. Это означает, что во время решения задач студенты должны как можно чаще пользоваться стимулирующими звеньями. В то же время известно, что многие студенты решают задачи механически, только по аналогии с предыдущими задачами, пытаются избежать размышлений, не углубляясь в суть объяснений. Поэтому необходимо знать условия, которые возбуждают студентов обосновывать решения задач. Если в процессе изучения новой темы выполняются условия:

1) студенту предлагают задачи только одного типа;

2) решение каждой из них сводится к одной и той же операции;

3) эту операцию (ее результат) студенту не приходится выбирать среди других, которые возможны в совпадающих ситуациях;

4) данные задачи не являются для студента непривычными;

5) он уверен в безошибочности своих действий,

то студент при решении второй или третьей задачи перестает обосновывать их решение.

Если хотя бы одно из перечисленных условий нарушается во время решения какой-то задачи, то студент начинает обосновывать решения этой и одной-двух следующих задач.

Следовательно, преподаватель должен выделить оперативный состав деятельности студента и обобщить (с учетом особенностей материала и соответствующих психолого-педагогических закономерностей) в виде ориентировочных основ действий и использовать дифференцированный подход в процессе обучения и контроля успеваемости студентов с использованием количественных и качественных критериев оценки.

1.3. Этап закрепления знаний и формирования умений и навыков решения упражнений как составное и обязательное звено единого процесса получения студентами математического образования

В связи с необходимостью усовершенствования методов преподавания математики все большее распространение приобретает дифференциация обучения на занятии. Это позволяет создавать оптимальные условия для выявления способностей и интересов студентов в условиях коллективной работы.

Рассматривая занятия с точки зрения логики учебного процесса, приходим к понятию «структура урока». В дидактике исследуется понятие «общая дидактическая структура», сущность и компоненты которой видно из схемы:

Применение сформированных умений и навыков

Формирование новых знаний и способов действий

Актуализация предыдущих знаний и способов действий

Рассматривая конкретные компоненты общей структуры, можно выделить из множества возможных основные этапы занятия:

1. Постановка целей занятия перед студентами.

2. Ознакомление с новым материалом.

3. Закрепление нового материала:

а) на уровне воспроизведения информации и способов действий;

б) на уровне творческого применения и добывания знаний.

4. Проверка знаний, умений и навыков.

5. Систематизация и обобщение изученного материала (темы, раздела).

Если основная дидактическая цель занятия – закрепление изученного материала, то, естественно, что его следует отнести к уроку закрепления знаний. Занятие закрепления знаний делится на два подтипа: занятия тренировочного характера и занятия творческого применения знаний. Но это не означает, что занятие тренировочного характера не имеет продуктивных методов, а на уроке творческого применения знаний отсутствуют репродуктивные методы. Во время дифференцированного подхода на этапе закрепления знаний цель урока меняется в зависимости от этапов изучения материала и по мере продвижения студентов по уровням.

В процессе обучения математике закрепление знаний и формирование умений и навыков происходит в основном с помощью решения задач. Поэтому проблема методов обучения математике включает и проблему методов обучения решению задач. Студентов необходимо подготовить к решению задач разных типов. Математика, особенно алгебра, богата на алгоритмы для решения стандартных задач различных видов, от задач на сложение многозначных чисел до задач дифференцирования функций.

Чтобы изучить алгоритмы, можно их объяснить студентам в готовом виде, но такая методика неэффективна. Методы обучения, ориентированные на развитие активной познавательной деятельности студентов, являются необходимыми для того, чтобы научить студентов отыскивать и описывать общие методы решения классов однотипных задач с помощью анализа и обобщения способов решения частных задач, относящихся к этим классам.

Из психологии известно, что студенты отличаются своими наклонностями, типами памяти, темпом работы, мышлением, особенностями восприятия материала. Дифференциация обучения позволяет выбрать такие методы, средства обучения, способствующие максимальному развитию всех студентов. Так, широко применяются самостоятельные работы по вариантам, отличающиеся сложностью содержания и рассчитанные на разные уровни подготовленности студентов, их самостоятельности. Подробнее принцип подбора упражнений по внедрению дифференцированного изучения материала, специфика методики преподавания тем и контроля знаний будут раскрыты в разделе 2.

РАЗДЕЛ 2. ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ И МЕТОДИКИ ПРОВЕДЕНИЯ ЭТАПА ЗАКРЕПЛЕНИЯ ЗНАНИЙ И ФОРМИРОВАНИЯ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ

 2.1. Методические особенности системы упражнений на закрепление знаний

Дифференциация по дисциплине может осуществляться в зависимости от выбранных направлений усвоения учебного материала. Можно выделить такие виды внедрения дифференциации в процессе закрепления изученного материала и формирования умений и навыков:

- по полноте изученного учебного материала;

- по степени обоснованности учебного материала;

- дифференциация по сложности задач.

При изучении математики дифференциация требований к студентам должна осуществляться по линии задач. При этом из каждой темы уровень подготовки может быть охарактеризован небольшим количеством заданий определенной сложности, каждое из которых является представителем некоторого класса задач. В процессе разработки материалов можно выделить три уровня подготовки к делению студентов на группы (см. раздел 1; 1.1.3): базисный, усложненный и повышенный.

Первый уровень составляют задачи на непосредственное применение теоретических знаний, которые соответствуют широко известным обязательным результатам (см. раздел 1; 1.1.2). Ко второму уровню отнесем задания типа обязательных, но которые требуют более сложных вычислений и преобразований, объединения двух или нескольких задач первого уровня, а также такие, которые содержат новый прием или способ решения. Третий уровень включает в себя задачи повышенной сложности, олимпиадные и конкурсного характера (творческие задачи).

С точки зрения индивидуализации учебного процесса, то есть создания условий для овладения каждым студентом его уровня подготовки в характерном для него темпе, наиболее целесообразной является такая организация обучения, при которой студенты сначала овладевают программным материалом из всей темы на базисном уровне. Студенты, которые достигают его, переходят к обучению на усложненный уровень, а те, что сталкиваются с трудностями, привлекаются к дополнительной тренировочной работе на основе блоков учебных задач, а затем переходят к высшему уровню. Для организации поэтапного овладения каждым уровнем подготовки и рассчитаны, прежде всего, примеры данной разработанной системы упражнений (2.1.1, 2.1.2, 2.1.3).

Для целенаправленной работы по формированию умений базисного уровня подготовки и осуществление контроля его достижения используются соответственно тренировочные упражнения и зачетные работы.

Тренировочные упражнения дополняют системы упражнений обязательного уровня подготовки действующих учебников. Они могут использоваться как для фронтальной, так и для индивидуальной работы. Зачетные работы охватывают все основные типы задач базисного уровня и позволяют осуществлять полный, а не выборочный контроль его достижения. Для успешного достижения этого уровня желательно при изучении каждой темы специально выделять 2-3 занятия для выполнения тренировочных упражнений и проведение зачетной работы. Студенты, которые за это время овладели данным уровнем подготовки, переходят к следующему. С остальными студентами организуется на основе тренировочных упражнений дополнительная индивидуальная работа. Количество вариантов зачетных работ позволяет использовать их для проведения повторного письменного зачета со студентами, которые позже овладевают базисным уровнем.

Главным содержанием обучения на усложненном уровне является формирование у студентов умений самостоятельно находить способы решения усложненных задач, опираясь на базовые умения. Исходя из этого, процесс овладения сложным уровнем по учебным темам целесообразно организовывать по такой схеме: самостоятельный поиск способов решения задач с последующим коллективным анализом их выполнения; тренировочная работа, проверка степени достижения уровня.

Контроль учебных достижений студентов с помощью разноуровневых задач осуществлялся в условиях индивидуальной, групповой, парной и фронтальной организации учебной деятельности студентов, предполагающих сочетание контроля со стороны преподавателя, самоконтролем и взаимоконтролем (таб.3).

Таблица 3. Содержание заданий для типов студентов в различных видах контроля

Виды контроля Характеристика особенностей групп студентов	Содержание заданий
	Текущий	Тематический	Итоговой
Сильный студент - с высоким уровнем учебных возможностей. Наблюдается устойчивый мотивированный интерес, устойчивое внимание, сообразительность, быстрое и точное восприятие вопросов и задач, высокий уровень работоспособности, добросовестное отношение к учебной работе, высокая активность и инициативность, оптимальный темп при выполнении заданий, уверенность в своих силах, стремление самостоятельно дойти до истины, сила воли.	устный, письменный опрос с творческими задачами конкретной темы занятия; рецензирование ответов; доказательство конкретных выводов по теме занятия; составление вопросов для проверки знаний	составление и защита творческой научной работы; написание сочинения, реферата; письменное рецензирование творческих работ одногруппников; составление устного или письменного ответа на обобщающий или проблемный вопрос	составление и защита научного проекта; исследование и презентация по теме; выполнение заданий творческого уровня; решение задач с межпредметными связями; задачи на моделирование; решение задач в ходе научного турнира-игры, что предполагает исполнение ролей докладчика, оппонента и т. п.
Средний студент - с достаточным уровнем учебных возможностей.	самостоятельное выполнение рисунков, графиков, составление схем по конкретной теме;	выполнение реконструктивных и с элементами творчества заданий рабочих тетрадей с	выполнение задач реконструктивного, обобщающего характера;
		Продолжение таблицы 3
Характеризуется неустойчивым учебным интересом, средними способностями, недостаточно устойчивым вниманием; свойственна активность, но нередко она обусловлена стимулированием со стороны преподавателя	дополнение схем, таблиц; составление кроссворда	печатной основой	задания на установление логических связей между природными явлениями, процессами семинары, зачеты, экзамены; сочетание тестовых заданий с другими, которые позволяют проверить знания, умения раздела
Слабый студент - с низким уровнем учебных возможностей. Как правило, лучше запоминает наглядный материал, чем устное объяснение; преимущественно механическое запоминание; потребность и умение контролировать себя развиты слабо; не способен концентрировать свое внимание, часто отвлекают посторонние раздражители	задания на выявление умений узнавать, называть, давать определения, пересказывать; ответы на вопросы с использованием таблиц, наглядности, терминологические диктанты и т. п; дополнение схем, таблиц по образцу; подписи к рисункам,	составление плана ответа по определенной теме; составление вопросов для проверки материала определенной темы курса	решение задач репродуктивного характера (знание основных понятий, структур, свойств, значение); решение задач с элементами реконструкции; выполнение тестовых заданий репродуктивного характера; индивидуальные самостоятельные работы

2.1.1. Базисный уровень

А.М. Капиносовым разработана система упражнений по геометрии для 10-11 классов в форме дидактического материала, по которым каждый студент непосредственно работает в процессе изучения материала на этапе закрепления знаний и формирования умений и навыков по каждой теме на соответствующем уровне. Поскольку нет разработанной системы упражнений по алгебре для 10 класса, то именно поэтому в данной работе рассматривается методика дифференцированного изучения математики на этапе закрепления знаний и формирования умений и навыков на примере темы «Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы», то есть той темы, дидактическое обеспечение которой отсутствует в методической литературе на сегодняшний день.

Рассмотрим принцип подбора упражнений на примере тригонометрических уравнений. На каждом из выделенных нами уровней уравнения четко разделены по методам их решения.

В частности, на базисном уровне сначала рассматриваются уравнения, которые не требуют применения каких-либо алгебраических преобразований или преобразований иного характера. А лишь определяют знания формул для нахождения корней соответствующего тригонометрического уравнения.

Например: ѕіп х = ; х = (–1)^k + πk, k z.

Данные уравнения усложняются тем, что вместо аргумента стоит не сама переменная, а с определенным коэффициентом. При этом преобразования выполняются непосредственно с найденным корнем, и обращается внимание на то, что в результате изменяется как значение угла, так и значение периода.

Например: cos 2x = .

2х = ± + 2π n, n z;

х = ± + π n, n z.

В следующих уравнениях ставится коэффициент перед самой функцией, а аргумент состоит из одной переменной.

Например: 2sin х =

sin х = ;

х = (–1) ^k + π k , k z.

Затем предлагаются уравнения с коэффициентом перед функцией и аргументом, что требует от студентов знания и умение сочетать два ранее рассмотренных преобразования.

Например: 5 tg 3х = – 5.

tg 3x = – 1;

3х = – + π n, n z;

х = – + n, n z.

Аналогично, когда усложняется значение аргумента добавлением определенного угла и умножением на коэффициент и добавлением числа к функциям и умножением на коэффициент непосредственно функции.

Когда студенты проработают уравнения таких видов, то, чтобы проверить усвоение этих знаний, необходимо предложить им решить такие уравнения, которые содержат объединение всех рассмотренных ранее приемов их решения.

Например: 3 + 2 sin ( 2 х – ) = 4.

2 sin ( 2 х –) = 1;

sin ( 2 х –) = ;

2 х – = (–1)^k + π k, k z;

х = (–1)^k + + k, k z.

Как уже отмечалось ранее, обучение на базисном уровне с целью выработки элементарных умений и навыков решения упражнений предусматривает проведение тренировочной работы. Вместе с тем, отдельным студентам (самым слабым) как начальный этап указанной работы целесообразно предложить такие простейшие тригонометрические уравнения.

1)	а) cos х = ;	г) cos х = ;	ж) cos х = – ;
	б) sin х = ;	д) sin х = – ;	з) cos х = – ;
	в) tg х = 1;	е) tg х = – ;	и) ctg х = – ;
2)	а) sin 4х = 1;	г) sin 2х = ;	ж) sin 3х = – ;
	б) cos 2х = 1;	д) cos = 0,5;	з) cos 4х = – 1;
	в) sin = – ;	е) cos = – ;	и) tg (– ) = ;
3)	а) 2 sin х =;	в) 6 cos х = 3;	д) 3 tg х = ;
	б) 2 sin 4х =;	г) 4 cos = 4;	е) 5 tg 3х = – 5;
4)	а) sin ( х + ) = 0;	в) tg (– х ) = ;	д) cos ( х – ) = ;
	б) tg ( 2х + ) = ;	г) cos (– ) = 1;	е) sin (– 2х ) = 0;
5)	а) 2 sin ( 4х + ) = – ;	в) tg (– ) = 1;
	б) 2 cos (3х – ) = – 1;	г) 3ctg (– ) = – ;

Поскольку усвоение базисного уровня характеризует обязательные результаты обучения студентов, то для организации закрепления знаний на данном этапе необходимо учитывать следующие условия:

1) количество упражнений, предлагаемых студентам, зависит от степени сложности этих упражнений;

2) в случае если отдельными студентами рассматриваемая тема не усваивается (для ликвидации пробелов) используют блоки дублирующих задач.

1. Уравнения, которые сводятся к квадратным относительно какой-либо тригонометрической функции.

Вариант 1	Вариант 2
а) 3 cos2 х + 10 cos х + 3 = 0;	а) 2sin2 х + 5 sin х + 2 = 0;
б) tg2 х – ( 1 + ) tg х + = 0;	б) сtg2 х – ( – 1 ) сtg х – = 0;
в) cos2 2х + 5 cos 2х = 2 sin2 2х;	в) sin2 – 5 sin = 2 cos2 ;
г) 2 + cos2 х = 2 sin х;	г) 3 – 3 cos х = 2sin2 х;
д) 2 cos2 + 3sin = 0;	д) 2 sin2 3х – 5 cos 3х – 4 = 0;
е) 5 sin2 х + 4 sin (+ х ) = 4;	е) 3 sin + 3 = 2 cos2 ;
ж) 2 cos2 5х – 1 = sin 5х;	ж) 6 cos2 х + 5 cos ( – х ) = 7;
з) tg х + 3 ctg х = 4;	з) tg х – 4 ctg х = 3;
и) tg2 ( + π ) + 4 = 5 tg (– 2х ).	и) сtg2 ( – ) + 2 сtg( π – ) = .

Решение таких упражнений требует умения непосредственной замены какой-либо тригонометрической функции переменной, в результате чего уравнения сводят к изученным ранее квадратным уравнениям, которые, как правило, не должны вызвать трудностей для решения. Далее после нахождения корней относительно введенной переменной переходят к расчленённому этапу решения простейших тригонометрических уравнений. Кроме того, в меру усложнений уравнений, для их решения используют основное тригонометричное тождество и формулы приведения. Особенно характерными в этом плане являются упражнения типа г), е), и).

2. Уравнения, однородные относительно синуса и косинуса.

Вариант 1	Вариант 2
а) sin х – cos х = 0;	а) sin х + cos х = 0;
б) 3sin х + 4 sin ( + х ) = 0;	б) cos (+ х ) – 5 cos х = 0;
в) 6 sin хcos х = 5 cos 2х;	в) 7 sin2 х + 4 sin 2х = 7 cos2 х;
г) sin2 х + 14 sin х cos х = 15 cos2 х;	г) cos2 х – 12 sin хcos х = 13 sin2 х;
д) cos2 х – 7sin2 х = 3 sin 2х;	д) sin2 х + 9 cos2 х = 5 sin 2х;
е) 4 sin 2х = 3 cos2(– х) + 4 sin2 (+ х).	е) sin 2х = 2 sin2 (+ х) – 9 cos2 (+ х).

Для решения таких уравнений необходимо научить студентов сводить данные уравнения к известным путем деления на синус (косинус) первой или второй степени соответствующего аргумента, чтобы получить уравнение относительно тангенсов, знакомых по решению, а также по мере усложнения уметь применять изученные формулы двойного аргумента, суммы аргументов и формулы приведения.

3.Уравнения, которые решаются методом разложения на множители.

Вариант 1	Вариант 2
а) cos х = sin2 х cos х;	а) sin х = cos2 х sin х;
б) 2 sin = 3 sin2 ;	б) 3 cos + 4 cos2 = 0;
в) ) cos 4х + cos 4х = 0;	в) 2 sin2 3х = sin 3х;
г) sin 2х = sin х;	г) sin 2х = cos х;
д) sin х + sin 5х = 0;	д) cos х = cos 5х;
е) сtg 2х cos2 х = сtg 2х sin2 х;	е) sin 3х sin2 х = sin 3х cos2 х;
ж) cos 3х = 1 + cos 6х;	ж) sin= 1 – cos ;
з) cos2 х – sin2 х = 2 cos2 2х.	з) sin2 х – cos2 х = sin 4х.

Для решения уравнений такого типа необходимо знать основные тригонометрические формулы, уметь выносить общий множитель за скобки, чтобы получить уравнение, которое можно решить, как простейшее.

4. Уравнения, которые решаются методом введения вспомогательного аргумента.

Вариант 1	Вариант 2
а) sin х – cos х = 1;	а) sin х + cos х = 1;
б) sin х + cos х = 2;	б) sin х – cos х = 2;
в) cos 2х – sin 2 х = ;	в) cos + sin = 1;
г) 2 sin2 х + cos2 х = 5sin х cos х;	г) 2 sin2 х – sin х cos х = cos2 х;
д) cos2 х + 2sin2 х + 2sin х cos х = 3.	д) cos 2х = 5sin х + 3.

Особенность данных уравнений заключается в том, что студенты должны сразу заменять тригонометрические функции тангенсом половинного аргумента, который считается универсальным методом решения любых уравнений. А дальше уже решение сводится к изученным ранее методам.

5. Неравенства.

Вариант 1	Вариант 2
а) sin х – 1;	а) cos х 0,5;
б) 2 sin х –1;	б) 2 cos х ≥ ;
в) – 3 tg х ≥ ;	в) – 3 tg х ≤ 3;
г) sin( + 2х ) 1;	г) 2 cos (+ 3х ) ≤ – ;
д) 2 sin ( π + 3х) ≤ ;	д) 2 cos ( π – 2х) 1;
е) сtg (– ) ≤ .	е) tg ( π + ) + 1 ≥ 0.

Неравенства такого характера отличаются тем, что студенты должны правильно понять методику нахождения нужных промежутков. Остальные преобразования в процессе решения неравенств аналогичны преобразованиям, рассмотренным в уравнениях.

6. Системы уравнений.

Вариант 1	Вариант 2
а) у – х = , cos х + sin у = 1;	а) х + у = , sin х + cos у = ;
б) х + у = π, sin х + sin у = ;	б) – х + у = π, cos х – cos у = 1;
в) sin х – cos у = 1, sin х + cos у = 0.	в) cos х + sin у = 0,5, cos х – sin у = 0,5.

Согласно данным упражнениям можно сделать такой вывод: базисный уровень (уровень начальной подготовки) – это уровень тренировочной работы и развития репродуктивного мышления. В результате выполнения упражнений этого уровня студенты овладевают умениями и навыками, необходимыми для успешного изучения данного и последующих разделов математики.

2.1.2. Усложненный уровень

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

а) 15 (sin² 2х + sin х + cos² 2х)² = 17 + 31 sin х;

б) 3 + 5 sin 3х = cos 6х;

в) = 4;

г) 12 cos² (2 – 3х) + 4 sin (2 – 3х) – 11 = 0;

д) 3 cos + = 0;

е) sin 2х = 1 + ;

є) sin (5π – ) = 2 tg ( – ;

ж) + 1 + tg х = .

Проанализируем решение одного из уравнений этого уровня:

12 (cos х – cos² – sin² )² = 10 – 13 cos х,

12 (cos х – (cos² + sin² ))² = 10 – 13 cos х,

12 (cos х – 1)² = 10 – 13 cos х,

12 (cos² х – 2cos х + 1) = 10 – 13 cos х,

24 cos² х – 24cos х + 12 = 10 – 13 cos х,

12 cos² х – 11cos х + 2 = 0.

Итак, чтобы свести такое уравнение к квадратному, студент должен распознать основное тригонометрическое тождество, вынести знак «–» за скобки, затем возвести в квадрат выражение, полученное в скобках и привести подобные слагаемые. Дальше по стандартному методу, выработанному во время решения уравнений базисного уровня, студент делает замену cos x = t и решает квадратное уравнение:

12 t² – 11 t + 2 = 0,

Д = 121 – 4 ^.12 ^.2 = 25,

,

.

После этого находятся решения простейших тригонометрических уравнений cos х = и cos х =

2. Уравнения, сводящиеся к однородным.

а) 2 sin² 2х + 3 cos² 2х – 2,5 sin 4х = 0;

б) 3 sin² + 2 cos² = 3,5 sin ;

в) 10 sin² х – 12 sin х cos х – 11 cos² х = 1;

г) 3 sin 2х + 8 cos² х = 7;

д) 8 sin² (– 2х) – cos² (2х – ) = 0,5 sin (4х – ) + 3.

Рассмотрим, как решается такое уравнение:

2 sin² 2х + 3 cos² 2х = 2,5sin 4х .

Сначала выполняются преобразования, которые приводят к одинаковым аргументам:

2 sin² 2х + 3 cos² 2х = 2,5^. 2sin 2х ^. cos 2х,

2 sin² 2х – 5 sin 2х cos 2х + 3 cos² 2х = 0.

Далее применяем новый прием – каждый член уравнения делится на любую тригонометрическую функцию высшей степени, например, на cos² 2х, тогда

2 tg² 2х – 5 tg 2х + 3 = 0.

Метод решения такого уравнения был рассмотрен выше.

3. Уравнения, которые решаются методом разложения на множители.

а) (1 – cos 6х) cos 2х = sin² 3х;

б) cos ( 3х + ) = sin ( 9х + );

в) cos х + cos 3х + 2 sin² х = 1;

г) cos 3х + cos 7х = sin 3х + sin 7х;

д) sin х + tg 2х sin х = tg 2х + ;

е) cos х + sin (+ 7х) – cos 4х = 0;

ж) sin cos – sin = 0;

з) (cos х – sin х) = sin ( 2х – ).

Решая уравнение,

(1 – cos 6х) cos 2х = sin² 3х,

2 sin² 3х cos 2х = sin² 3х,

2 sin² 3х cos 2х – sin² 3х = 0,

sin² 3х ( 2cos 2х – 1) = 0,

видим, что оно свелось к двум уравнениям базисного уровня: sin² 3x = 0 и 2 cos 2х – 1 = 0, методом решения которых студенты овладели на предыдущем этапе.

4. Уравнения, которые решаются методом введения вспомогательного аргумента.

а) 2 sin 3х + 2 cos 3х = ;

б) 3 sin – cos = 3;

в) 9 cos ( 1 – 2х ) – sin (2х – 1) = – 6;

г) 3 sin (– 2) + cos ( 2 – ) = – .

В отличие от уравнений такого вида на базисном уровне здесь выполняются более сложные преобразования, учитываются свойства тригонометрических функций. Каждое следующее уравнение, как и на базисном уровне, требует вспомогательных преобразований, включая те, что применялись к предыдущему.

Принцип отбора неравенств и систем уравнений аналогичный отбору уравнений.

5. Неравенства.

а) сtg ( + ) – 1 ≤ 0;

б) tg ( + ) – 1 ≥ 0;

в) cos (– 4х) + 0,5 0;

г) 2 sin ( ) ≥ – 1;

д) sin 2х + 2 sin х

е) sin х ≤ – cos х.

6. Системы уравнений.

а) х – у = 1, б) у – х = , в) х – у = ,

cos πх + = cos πу; 2 cos у = cos х; 5 cos 2х = 6 sin у – 1.

Усложнения неравенств и систем уравнений одного уровня происходит на основе усложнения значения аргумента без применения тригонометрических формул; метод решения аналогичен предыдущему уровню.

Основное назначение усложненного уровня – развивать продуктивное мышление, уметь самостоятельно приводить сложные управнения к простым, применяя определенные преобразования. Упражнения данного уровня направлены на выработку умений и навыков на высоком уровне программных требований.

2.1.2. Повышенный уровень

1.Уравнения, сводящиеся к квадратным.

а) cos 4х = 6 cos ² х – 5;

б) sin ⁴ х + cos⁴ х = sin х cos х;

в) 2 cos ² ( + ) + 3 sin ² (+ ) = 2;

г) (sin – cos ) ² = 5 + sin ( – );

д) 2 cos ² 2х – 12 cos ² х + cos 4х – 1 = 8 sin (+ 2х);

е) .

1) Из всех решений уравнения 5cos² x + 7cos (х –) + 1 = 0 указать те значения х, при которых cos х ≤ 0.

2) Из всех решений уравнения 2sin² x – 5cos 2х + 1 = 0 указать те значения х, которые принадлежат промежутку [π; 2π].

2. Уравнения, сводящиеся к однородным относительно синуса или косинуса.

а) 3 cos² – 5 cos х – 2 sin х = 4;

б) 2 sin⁴ 2х – 3 + 5 sin 4х = 2 cos⁴ 2х;

в) 2 cos х – 3 sin х = | sin х |.

1) Из всех решений уравнения sin 3х (1 + cos 4x) = cos² 2х указать те значения х, которые принадлежат промежутку [; π ].

2) Из всех решений уравнения 4 sin² х (1 + соѕ 2х) = 1 – соѕ 2х указать те значения х, которые принадлежат промежутку [ ; ].

3. Уравнения, которые решаются методом разложения на множители.

а) 2 cos 12х + cos 2х – sin 2х = 0;

б) sin х + cos х = 1 + sin 2х ;

в) = – 2 cos ;

г) (1 + tg ) (1 – sin х) = 1– tg ;

д) cos² 2х + cos² 3х + cos² 4х + cos² 5х = 2;

е) sin⁴ 2х + sin⁴ ( 2х – ) = 0,25.

4. Уравнения, которые решаются методом введения вспомогательного аргумента или с помощью формул, выражающих синус и косинус через тангенс половинного аргумента.

а) 3 sin х – 4 cos х = 5;

б)

в) 3 cos 2х + 5 sin 2х =

1) При каких значениях a уравнение 5 sin 3х – 6 cos 3х = а имеет решение?

2) При каких значениях b уравнение 3 sin (4х – ) – b cos ( – 4х) = 4 имеет решение?

Задачи такого характера требуют от студентов систематизированных знаний по элементарной математике относительно преобразования выражений – вынесение общего множителя за скобки, раскрытия модуля, а также умение решать уравнения с параметром, использование тригонометрических формул и определенных этапов преобразования уравнений подобно базисного и усложненного уровней, комбинированных определенным образом.

5. Неравенства.

а) sin х ≤ ;

б) 3 tg² 3х – 2 0;

в) sin ( – 2х) cos (– 2х) ≥ – ;

г) sin cos ≤

д) cos² ≤ sin² – 0,5.

Решение неравенств такого плана требует, прежде всего, сведения их к элементарным по применению тригонометрических формул, а потом уже преобразований алгебраического характера.

6. Системы уравнений.

а) sin х sin у = , б) х + у = ,

cos х cos у = ; tg х – tg у = 2;

в) cos х = 0, г) sin у = 0,

2 sin² х – cos (2у – ) = 0; cos² (2 (– у)) – 2 sin 3х = 0.

Системы уравнений этого уровня требуют применения тригонометрических формул; кроме метода подстановки здесь используют еще метод сложения, а также применение алгебраических преобразований.

Решение задач повышенного уровня состоит в формировании творческого мышления студентов. Такие упражнения адресованы для студентов, которые проявляют повышенный интерес к изучению математики. Кроме организации индивидуальной работы на занятиях с сильными обучающимися подобные задания и задачи, приведенные ниже, могут быть использованы на факультативных занятиях, а также в работе математического кружка.

1.Решить уравнение, используя ограничение функций синус и косинус.

а) cos х + cos 5х = 2;

б) 2 sin =

в) cos⁴ 3х – sin² 2х = 1;

г) sin х sin 2х sin 3х = 0,8;

д) (3sin 2πх + 8 sin πх) = 0.

2.Решить уравнение методом замены переменной.

а) = cos² (х + );

б) tg² х sin 2х = tg х – ;

в) sin х (1 – cos х)² + cos х (1 – sin² х)² = 2.

3. Решить уравнение, используя метод разложения на множители.

а) sin 5х = 5 sin х;

б) 3 сtg 2х – 4 tg 3х = tg 2х;

в) 1 + sin 2х + 2 cos 3х sin (х + ) = 2 sin х + 2 cos 3х + cos 2х.

4. Найти все пары чисел (х; у), удовлетворяющих каждому из уравнений.

а) 12 sin х – 5 cos х = 2 у ² – 4 у + 15;

б) = 3 у ² + 12 у + 15;

в) = 12 у – 19 – 2 у ² .

5. Решить неравенства.

а) 2 sin⁴ 2х ≥ sin² 2х;

б) 2 cos х (cos х – tg х) 5;

в) 2 cos 2х + 4 |cos х| 1.

6. Доказать, что если 3х² – 31х + 80 0, то cos 0.

7. Решить систему тригонометрических уравнений.

а) 2 cos 6х – sin у = – 3, б) сtg х + sin 2у = sin 2х,

2х + у = – ; 2 sin (х + у) sin у = cos х;

в) tg х + сtg х = 2 sin z , г) sin² у – cos² 2х = 1,

sin у + cos³ z cos х = 0,5; 2 cos² z – cos у sin² 2z = .

2.2. Критерии оценивания знаний, умений и навыков студентов

Во время внедрения дифференциации в учебный процесс существенное значение играют критерии оценивания знаний студентов, которые характеризуют результаты достижений студентов на каждом соответствующем этапе овладения знаниями теории и практических навыков.

Следует отметить, что оценка студента должна фиксировать не только определенный объем знаний в результате изучения того или иного материала, но и уровень самостоятельного овладения учебным материалом.

Можно выделить следующие требования относительно характеристики оценивания знаний студентов.

Удовлетворительно – «3» балла. Фиксируют минимальный обязательный уровень знаний и владение определенным теоретическим материалом на уровне формирования определений и утверждений. Относительно практического применения теории студенты умеют самостоятельно или с определенной помощью решать упражнения базисного уровня.

Хорошо – «4» балла. Выставляются за владение основным уровнем подготовки и знание теоретического материала с основными элементами доказательства утверждений. В практическом плане необходимо безукоризненное самостоятельное решение характерных усложненных задач.

Отлично – «5» баллов. Включают владение усложненным уровнем подготовки. Учитывается также самостоятельность в изучении и владение теорией в полном объеме. С практической стороны – студент должен безупречно самостоятельно решать задачи усложненного уровня и упражнения повышенной сложности.

Согласно системам упражнений, составленных по принципу, показанному в § 2.1. данной работы, обучение решению задач усложненного уровня организуется по следующей схеме: решения на 1-2 занятиях задач самостоятельной работы: занятия разбора, анализа, обобщения этих задач; самостоятельное выполнение тренировочных задач с учетом результатов самостоятельной работы; зачетная работа. Самостоятельная работа, которая проводится на первом этапе, имеет поисковый характер. Предполагается, что способы решения некоторых задач студенты могут отыскать самостоятельно с помощью указаний преподавателя. За выполнение самостоятельной работы оценка не выставляется, а знаками «+» и «±» (в зависимости от выполненного объема) фиксируется самостоятельное или полусамостоятельное нахождение решений отдельных упражнений. Результативность поэтапного обучения студентов, по мере продвижения по уровням оценивается после проведения зачетной работы, которая включает в себя основные обобщенные аспекты рассмотренных приемов решения упражнений на соответствующем уровне. Баллы высокого уровня ставятся студентам, которые правильно выполнили задание зачетной работы и проявили определенную самостоятельность в нахождении решений задач. Баллы достаточного уровня выставляются тем студентам, которые овладели соответствующими результатами преимущественно через репродуктивную деятельность. Согласно такому подходу отметки за самостоятельную и зачетную работы фиксируют не только овладение студентами определенным объемом умений, но и характеризуют уровень самостоятельности в мышлении, способность выходить за пределы сообщенной математической информации.

2.3. Результативность опыта и его практическая значимость

Во время педагогической работы в колледже я применяла описанную в данной работе методику дифференцированного подхода в процессе обучения студентов математике на этапе закрепления знаний на основе составленной системы упражнений. Следует отметить, что образовательные учреждения не обеспечены соответствующими дидактическими материалами с разработанной системой упражнений по каждой теме.

Группа, с которой пришлось работать, состояла из студентов с низким (преимущественно) и средним темпом усвоения материала, поэтому применить данную методику в полной мере не удалось. Во время изучения темы «Тригонометрические уравнения» я смогла применить разработанную систему упражнений для решения простейших тригонометрических уравнений и уравнений базисного уровня. За первые два занятия студенты усвоили методы решения тригонометрических уравнений по мере их усложнения. В результате решения уравнений, подобранных по принципу, показанному в 2.1.1, у студентов происходила постепенная систематизация приобретенных знаний и усвоение алгоритма нахождения корней уравнения в соответствии с уровнем сложности. У тех студентов, которые хорошо усвоили метод решения таких уравнений, решение уравнений базисного уровня не вызвало особых трудностей. Здесь они лишь дополняли свои знания алгоритмом приведения более сложных уравнений к элементарным. Студенты, которые быстрее овладевали объясненным методом, могли его самостоятельно реализовать на практике, и не теряли времени на прослушивание повторных объяснений для остальной части группы.

По моему мнению, такой подход стоит применять в процессе изучения материала на этапе закрепления знаний и формирования умений и навыков, поскольку это дает возможность выявить у каждого обучающегося его способности и не подавлять заинтересованность студентов, опережающих в обучении.

Организация обучения на основе предложенных мною разработок систем упражнений, а также соответствующее дидактическое обеспечение литературой каждого студента позволяют интенсифицировать процесс обучения решению задач, сократить время, которое отводится программой на изучение тем. Полученный резерв времени используется для конечного закрепления, обобщения и систематизации материала пройденного курса. После изучения темы отводится время на закрепление обязательных и достигнутых результатов, проведения итоговых зачетов. После этого студентам, которые достигли обязательного и усложненного уровней, предлагались системы задач повышенной сложности, а с остальными проводилась дополнительная работа для устранения выявленных недостатков.

Учитывая описанные в п. 2.2 критерии оценивания знаний, мы сможем точно выявить и оценить способности студентов на каждом этапе усвоения материала.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе написания работы было обработано ряд методических источников и определенное количество сборников практических заданий, которые показали, что на сегодня нет четко сформулированных требований для разноуровневого подхода к обучению студентов. Нечетко выделены задания базового, усложненного уровня, упражнения творческого характера и методика работы со студентами на каждом из этих уровней.

В методической литературе сегодня уделяется много внимания разработкам системы упражнений для обычных классов общеобразовательной школы. Сформулирован ряд требований и подобраны задачи для овладения обязательным уровнем обучения, много упражнений для студентов, которые интересуются математикой. Вместе с тем, почти нет конкретных систем упражнений, которые бы четко очерчивали последующие (высшие) уровни усвоения знаний, и могли бы использоваться для работы со студентами во время закрепления знаний и формирование умений и навыков, что в свою очередь, способствовало бы продвижению по выделенным уровням.

В разделе 1 указаны особенности внедрения уровневой дифференциации на современном этапе, условия ее достижения и психологические основы теории поэтапного формирования умений и навыков решения упражнений с учетом индивидуальных особенностей студентов: их типа памяти, темпа работы, возможностей восприятия новой информации.

В разделе 2 раскрыты методические особенности системы упражнений на закрепление знаний для каждого из выделенных уровней и способы работы со студентами в процессе поэтапного усвоения знаний и формирования умений и навыков по мере продвижения студентов по уровням.

Лично разработанная система упражнений для каждого уровня вполне может быть использована в 10 классе и образовательных учреждениях среднего профессионального образования при изучении темы «Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы» на этапе закрепления знаний и формирования умений и навыков. Было бы значительно лучше, если бы такая система упражнений была размножена для каждого студента. На основании представленной системы упражнений по тому же принципу отбора можно разработать систему упражнений для любой темы учебного курса.

Согласно описанным критериям оценки знаний (умений и навыков) студентов можно осуществлять фронтальную проверку усвоения изученного материала по каждой теме.

Применение во время проведения занятия системы упражнений, рассчитанных не на среднего ученика, а на три группы класса, как показали результаты педагогических исследований, дает возможность проявить студентам свои способности в процессе обучения. Такой подход к организации учебной деятельности помогает преподавателю учитывать индивидуальные особенности студентов: восприятие, темп и уровень усвоения материала.

Описанные методы работы позволяют студенту максимально проявить себя, способствуют развитию способностей, сообразительности, воспитывают в них чувство ответственность. Предложенные задания могут быть полезными для преподавателя во время проведения уроков математики. В перспективе планируется провести полный цикл занятий по выбранной теме с использованием разработанной системы упражнений и усовершенствовать данную методику, а также распространить ее основные принципы на другие темы курса математики.

В современных условиях важно осознать и принять принципиальную педагогическую установку – каждый студент может добровольно выбрать для себя уровень усвоения и отчетности в результатах своего учебного труда.

Обязанностью студента становится выполнение обязательных требований, что позволяет ему иметь положительную оценку по математике. В то же время студент получает право самостоятельно решать, ограничиться ли ему уровнем образовательных требований или двигаться дальше. Это кардинально меняет традиционные подходы к организации обучения: не следует решать за студента, какой уровень усвоения соответствует его способностям, но следует создать в группе такие условия, при которых достижение обязательного уровня будет реальным, студенты, способные двигаться дальше, будут заинтересованы в этом продвижении.

Все выше сказанное обуславливает актуальность проблемы исследования: выявление индивидуальных особенностей студентов и возможности системы дифференцированных заданий в процессе изучения математики.

Список использованной литературы.

1. Римский, Р. Р. Альманах психологических тестов [Текст] / Р. Р. Римский, С. А. Римская. – М.: КСП ‑ 1995. – 400 с.

2. Болтянский, В. Г., К проблеме дифференциации школьного математического образования. Математика в школе [Текст] / В. Г. Болтянский., Г. Д. Глейзер – 2009.

3. Бродский, Я. С. Стандартизация школьного образования [Текст] / Бродский Я. С., Павлов А. Л. // . Газета «Математика» ‑ 2003. ‑ №9.

4. Василенко, И. Я. Организация групповой учебно-познавательной деятельности учащихся 10-11 классов на уроках геометрии [Текст] :автореф. дис. канд.пед.наук / И. Я. Василенко. – Киев, 1992.

5. Голодюк, Л.С. Уровневая дифференциация на уроках геометрии [Текст] / Л. С. Голодюк // Журнал «Математика в школе» ‑ 2009. ‑ №3.

6. Калмыкова, С. И. Продуктивное мышление как основа обучаемости [Текст] / С. И. Калмыкова ‑ М. : Педагогика, 1981. – 200 с.

7. Колмогоров, А. Н. О профессии математика [Текст]: 3-е изд., доп. / А. Н. Колмогоров – М. : Изд-во МГУ, 1960. – 120 с.

8. Красницкий, М. П. Формирование учебных групп при дифференцированном изучении геометрии в классах математического профиля. Эвристика и дидактика точных наук [Текст]: Международный сб. науч. работ. / М. П. Красницкий – Вып. 9. – Донецк : «ТЕАН», 1998. – С.55-60.

9. Красницкий, М. П. Уровневая дифференциация как основа интенсификации профильного обучения математике. Эвристика и дидактика точных наук [Текст] : Международный сб. науч. работ. / М. П. Красницкий – Вып. 7. – Донецк: «ТЕАН», 1997. – С.35-40.

10. Красницкий, М П.. Осуществление дифференциации обучения на уроках математики с учетом психологических типов личностей учащихся. Личностно ориентированное обучение математике: настоящее и перспективы [Текст] : Материалы Всеукраинской науч.-практ. конф., 9-10 декабря 2003 года. / М. П. Красницкий, Н. И. Серяк – Полтава: ПГПУ, 2003. – С.17-20.

11. Красницкий, М. П. Предпосылки осуществления дифференциации при углубленном изучении математики. Современные информационные технологии в учебном процессе [Текст] / : Сб. науч. трудов / М. П. Красницкий, В. А. Швец ‑ Редкол. – К. : НПУ, 1997. – С.156-164.

12. Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников [Текст] / В. А. Крутецкий – М. : Педагогика, 1968. – 432 с.

13. Ломов, Б. Ф. Вопросы общей, педагогической и инженерной психологии [Текст] / Б. Ф. Ломов – М.: Педагогика, 1991. – 296 с.

14. Слепкаль, С. Еще раз про дифференциацию обучения математике и роль образовательного стандарта [Текст] / С. Слепкаль // Журнал «Математика в школе» ‑ 2002. ‑ №2.

15. Унт, И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения [Текст] / И. Э. Унт– М. : Педагогика, 1990. – 192 с.

16. Черных, Л. В. Дифференцированный подход в обучении математики [Текст] /Л. В. Черных // Газета «Математика» ‑ 2003. ‑ №12.