Инструкционная карта Тақырыбы/ Тема: Преобразования и вычисления значений логарифмических выражений.

Инструкционная карта № 12

Тақырыбы/ Тема: Преобразования и вычисления значений логарифмических выражений.

Мақсаты/ Цель:

1. Отработать навыки применения свойств логарифма при решении упражнений.

2. Создать условия для развития коммуникативно-творческих умений: не шаблонно подходить к решению различных задач.

3. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно классифицировать, выполнять анализ, оценивать результаты.

Теоретический материал:

При любом а 0 (а≠1) и любых положительных х и у выполнены равенства:

1. log_а1=0

2. log_а а =1

3. log_аху = log_ах+log_ау

4. log_а= log_ах- log_ау

5. log_ах^р = р log_ах

6 log_аqв = log_ав (q+0)

7. log_ах = (в0), (в≠1)

8. log_ав = (в≠1, в0)

9⁰. =

Примеры:

1. log₂32=5, т.к. 2⁵=32

2. log₅0,04=-2, т.к. 5^-2==0,04

3. log₂7- log₂= log₂= log₂16=4

4. 5=5=

5. log_0,225= log25= log₅25=- log₅25=-2

6. Найдите х, если:

log₃х=2 log₃7+ log₃27- log₃16

log₃х= log₃49+ log₃9- log₃64

log₃х= log₃

х==

7. Выразить логарифм выражения 8 а ³ через log₂ а и log₂в

(прологарифмировать данное выражение по основанию 2).

log₂(8 а ³)= log₂8+ log₂ а ³+ log₂=3+3 log₂ а + log₂в

Практическая часть:

I Вариант.

1. Вычислить:

а) log_{5 ;} б) log_0,20, 04 ; в) log1 ; г) log₄2+ log₄8; д) log₅8- log₅2+ log₅ ; е) 10;

ж) log₂ log₅ .

2. Найти х, если: а) lgх=2 lg3; б) log₃х= log₃16+3 log₃0,5.

3. Прологарифмируйте по основанию 10, где а0, b0, с 0 .

II Вариант

1. Вычислить:

а) log₂ ; б) log9 ; в) log₁₇1 ; г) log₅175- log₅7; д) log₂5- log₂35+ log₂56 ; е) 10;

ж) log₄ log₃ .

2. Найти х, если: а) lgх= lg6+ lg2 ; б) log₅х= log₅ - log₅0,25.

3. Прологарифмируйте по основанию 10, где а0, b0, с 0 .

III Вариант

1. Вычислить:

а) lg0,01 ;б) log₄₉7 ; в) 4; г) log₄ + log₄36+ log₄ 25/81; д) 9;е) log log₂32;

ж).

2. Найти х, если: а) log₄х=log₂3+ log₂ ; б) log₂₅х= log 125.

3. Прологарифмируйте по основанию 10, где а0, b0, с 0 .

IV Вариант

1. Вычислить:

а) log3 ;б) 25^log₅³ ;в)log₇196-2 log₇2 ;г);д)10-25;е) log₅ -2 log₅+ log₅ ; ж)log₉ log₂8.

2. Найти х, если: а) log₃х=2 log₃7+ log₃27- log₃16 ; б) log₅х= log₅1,5+ log₅8.

3. Прологарифмируйте по основанию 10, где а0, b0, с 0 .

V Вариант

1. Вычислить:

а) 0,04; б) log₂ log_2; в) log ; г) log₂ log49 ;д) 81 ;

е) log₂12+ log₂+ log₂ ; ж) 2; з) 3;

и) .

2. Найти х, если: а) lgх=1+2 lg3- lg125 ; б) log₂х=2 log₂5- log₂8+ log₂0,2.

Контрольные вопросы:

1. Чем отличаются логарифмы взаимообратных чисел по одному и тому же основанию?

2. Существуют ли логарифмы отрицательных чисел в области действительных чисел?

3. Что больше: десятичный или натуральный логарифм данного числа N?

4. Какие из общих свойств логарифма присущи натуральному логарифму?

Инструкционная карта № 14

Тақырыбы/ Тема: «Правила вычисления производной».

Мақсаты/ Цель:

1.Обеспечить усвоение учащимися правил вычисления производной, перевести эти правила с теоретического уровня на практическое применение.

2. При решении упражнений, развивать у учащихся умения выделять главное, существенное в изучаемом материале, обучить умению рационально находить правильное решение изучаемого вопроса.

3. Развивать самостоятельность и рациональность при решении упражнений, развивать логику мышления.

Теоретический материал:

Правило 1: Если функции U и V дифференцируемы в точке х₀, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(UV)’=U’V’ (1)

Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.

Пример1. Найдите производные функций: у=х²+3х, для нахождения у’ применим правило 1. Зная (х²)’=2х и (kx)’=k, получим у’=(х²+3х)’=(х²)’+(3х)’=2х+3.

Правило 2: Если функции U и V дифференцируемы в точке х₀, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(UV)’=U’V+UV’ (2)

Следствие: Если функция U дифференцируема в точке х₀, а С- постоянная, то функция CU дифференцируема в этой точке и (CU)’=CU’.

Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак

производной, т.е. (3х)’=3(x)’=3.

Пример 2. Найдите производные функций: f(x)=(3x-2)(5x+8) находим по правилу 2, вот так: f’(x)=((3x-2)(5x+8))’=(3x-2)’(5x+8)+(3x-2)(5x+8)’=(3-0)(5x+8)+(3x-2)(5+0)= =3(5x+8)+(3x-2)5=15x+24+15x-10=30x+14.

Правило 3: Если функции U и V дифференцируемы в точке х₀ и функция V не

равна нулю, то частное также дифференцируемо в этой точке х₀ и
(3)

Пример 3. Найдите производные функций: f(x)= по правилу 3, найдем так: f’(x)=’==== == .

Практическая часть:

I вариант Найдите производные функций:

а)у=х⁵+4х³-7х+6; г) у= ; ж) у=(7-х²) ; к) у=4-х^-2,7+;

б) у= ; д) у= (2х²-3х+2)(5+3х-4х²); з) у= ; л) у=(2х³-5х);

в) у= е) у= - +2; и) у=х^-6+4х⁴-7х; м) у= .

II вариант Найдите производные функций:

а) у=x⁸-3х²+8х-5; г) у=; ж) у= (7-х³); к) у=х^1,3-2х^-7+3;

б) у=; д) у=(3х²-7х+2)(1-2х-5х²); з) у= л) у=(4х + х⁴);

в) у=х³(8-х); е) у= - х^-5+2х; и) у= + - х⁵; м) у=

III вариант Найдите производные функций:

а) у=х⁴-5х²+3х-2; г) у= (5х²-3х+1)(7+4х-2х²); ж) у= к) у= (6-х²)

б) у=; д) у= х^-7+ -9х; з) у= (х⁴+х); л) у=

в) у=х³(x-2x²); е) у= и) у= + - м) у=2х^3,4+х^-5-

IV вариант Найдите производные функций:

а) у=х⁹+8х⁶-5х+1; г) у=(х³-5х)(8х²+1); ж) у= к) у= (7+х²);

б) у= д) у=х^-4- +; з) у=( л) у=

в) у=х²(4+x); е) у= и) у= - х^-7+8х²; м) у= 4х⁴-3х^-3,2+

Контрольные вопросы:

1. Как вычисляется производная, если количество слагаемых больше 2?

2. Какое условие должно выполняться при вычислении производной частного?

3. Как можно сформулировать правило нахождения производной Cf(x)?

4. Можно ли рассматривать производную частного как производную произведения двух функций?

5. Напишите основные правила нахождения производной.

Инструкционная карта №

Тақырыбы/ Тема: Решение задач по теме: «Перпендикуляр и наклонная».

Мақсаты/ Цель:

1. Уметь применять определения перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной при решении задач, а также теоремы о трех перпендикулярах.

2. Создать условия для развития умения устанавливать единые общие признаки и свойства целого, составлять план деятельности при решении задач.

3. Воспитание личностных качеств посредством развития индивидуальных познавательных интересов и способностей.

Теоретический материал:

АО - перпендикуляр

О - основание перпендикуляра

АВ - наклонная

В - основание наклонной

ВО - проекция наклонной

Теорема (о трех перпендикулярах) Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Задача: Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найти длины наклонных, если одна из них на 26см больше другой, а проекции наклонных равны 12см и 40см

А Дано: АО α,АВ и АС – наклонные

ОВ=12см, ОС=40см,

АС=АВ+26см

Найти: АС, АВ

12

О

В

С

40

α

Решение:

Пусть АВ=хсм, то АС=(х+26)см.

Рассм. ΔАВО, =90⁰, АО² = АВ² - ОВ², АО² = 12² - х² = 144 - х²

Рассм. ΔАСО, =90⁰, АО² =АС² – ОС²,

АО² = 40² – (х+26)² =1600 – х² - 52х – 676

Составим уравнение: 144 - х² = 1600 – х² - 52х – 676

- х² + х² + 52х = 1600 – 676 – 144

52х = 780

х = 15

Значит АВ=15см, АС=15+26=41см. Ответ: 15см, 41см.

Практическая часть:

Контрольные вопросы:

1. Что называют перпендикуляром, проведенном из точки на плоскость?

2. Что называют основанием перпендикуляра?

3. Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости?

4. Какая точка называется основанием наклонной? Укажите эти понятия на рисунке.

5. Что такое проекция наклонной?

6. Сформулируйте теорему о тех перпендикулярах.

Инструкционная карта № 34

Тақырыбы/ Тема: Комбинаторика.

Мақсаты/ Цель:

1. Отработать навыки применения определений элементов комбинаторики, ее основных свойств и формул при решении упражнений и задач по теории вероятности.

2. Создать условия для развития коммуникативно-творческих умений: не шаблонно подходить к решению различных задач.

3. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно классифицировать, выполнять анализ, оценивать результаты.

Теоретический материал:

1. Размещения.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент В принадлежит А.Запись: В( множество В является подмножеством множества А). Считают также , что пустое множество является подмножеством любого множества () и любое множество является подмножеством самого себя (АА). Каждое упорядоченное подмножество множества А называют размещением. Пусть множество А содержит n элементов. Часто возникает вопрос: сколько размещений по m элементов можно составить из n(mn) элементов множества А? Чтобы ответить на этот вопрос, докажем теорему: число размещений, состоящих из n элементов, взятых из m элементов, равно т.е. =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).

Пример1. Число перемещений из 5 элементов по 3 равно

Пример 2. Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на различные должности из девяти кандидатов на эти должности?

Так как каждый выбор 4 человек из 9 имеющихся должен иметь определенный порядок распределения их на должности, то мы имеем задачу составления размещений из 9 по 4.

Ответ:3024 способами.

1. Перестановки.

Часто приходится рассматривать упорядоченные множества , т.е. множества в которых , каждый элемент занимает своё , вполне определенное место. Упорядочить множество-это значить поставить какой –либо элемент множества на первое место, какой либо другой элемент- на второе место и.т.д. Упорядоченные множества принято иногда записывать в круглых скобках .

Упорядочить множество можно различными способами. Например, множество состоящие из трёх элементов a,b и c, можно упорядочить шестью способами(a,b,c,);(a,c,b);(b,a,c);(b,c,a);(c,a,b);(c,b,a).

Каждое упорядоченное множество каких-либо элементов называется перестановкой. Сколько можно составить перестановок из n элементов?

Пример1. Если множество состоит из одного элемента а₁, то его можно, очевидно, упорядочить единственным способом , а именно (а₁). Итак, из одного элемента можно составить одну перестановку.

Пример2. Пусть имеются два элемента :а₁и а_2. Ясно, что из этих элементов можно составить только две перестановки: поставить а₂ перед а₁ или поставить а₂ после а₁:(а₂,а₁); (а₁,а₂). Итак, число перестановок из двух элементов равно 1.

Пример3. Пусть имеются три элемента: а₁,а₂ и а₃.Запишем сначала перестановки из двух элементов а₁и а₂ и в каждую из этих перестановок впишем элемент а₃ вначале на первое место, потом на второе место и , наконец, на третье -последние место. Получи шесть перестановок: (,а₃,а₂,а₁); (а₂,а₃,а₁); (а₂,а₁,а₃);(а₃,а₃,а₂);(а₁,а₃,а₂);(а₁,а₂,а₃). Итак, число перестановок из трех элементов равно

Пример4.Пусть имеются четыре элемента: а₁,а₂,а₃,а₄.Запищем все перестановки из трёх элементов а₁,а₂ и а₃(их число равно)

и в каждую из этих перестановок впишем элемент а₄ в начале на первое место, потом на второе, затем на третье и, наконец, на четвёртое- последние место). Получаем 24 перестановки:

(а₄,а₃,а₂,а₁);(а₂,а₄,а₃,а₁);(а_2,а₃,а₄,а₁);(а₃,а₂,а₁,а₄);( а₄,а₂,а₃,а₁);(а₂,а₄,а₃,а₁); (а₂,а₃,а₄,а₁);(а₂,а₃,а₁,а₄);…;(а₄,а₁,а₂,а₃);(а₁,а₄,а₂,а₃);(а₁,а₂,а₄,а₃);(а₁,а₂,а₃,а₄).

Итак, число перестановок из четырёх элементов равно

Теперь можно сформулировать теорему : число перестановок из n элементов равно произведению n первых натуральных чисел, т.е. P_n=(где P_n-число перестановок из n элементов). Произведение n первых натуральных чисел обозначают n! (читается «эн факториал»), например:

1!=1;2!=12;3!=123;4!=1234.

1. Сочетания.

Пусть имеется множество А=, состоящие из n элементов. Из этого множества можно составить подмножество, состоящие из m элементов (mn). Каждое подмножество состоящие из m элементов, содержащихся в множестве А из n элементов, называется сочетанием из n элементов по m . Число всех таких сочетаний обозначается через Сколько всех сочетаний по m элементов можно образовать из данных n элементов? Для ответа на этот вопрос докажем теорему: число сочетаний из n элементов по m равно .

Пример 1. Вычислить . Применяя формулу сочетаний, имеем =.

Пример 2. На плоскости расположено 5 точек. Сколько отрезков, концами которых являются эти точки, определяются этими точками?

Решение. Каждые две точки определяют один отрезок, у которого они являются концами .При этом не играет роли , в каком порядке взяты данные точки. Поэтому число отрезков равно числу всевозможных пар точек, которые можно создать из 5 данных точек. Таким образом, решения задачи сводится к нахождению числа сочетаний из 5 элементов по 2:

Практическая часть:

Контрольные вопросы:

1. Что такое n факториал? Его обозначение.

2. Дайте определение размещения и запишите формулу размещения из n элементов по m элементов.

3. Дайте определение перестановки и запишите формулу перестановки из n различных элементов.

4. Дайте определение сочетания и запишите формулы сочетания из n элементов по m элементов.

Инструкционная карта № 22

Лабораторная работа

Тақырыбы/Тема: Определение площади поверхности и объема пространственных фигур (многогранник или круглое тело)

Мақсаты/Цель:

1. Научить определять площадь поверхности и объем различных видов многогранников и круглых тел.

2. Формирование умений применять приемы анализа, сравнения, установление причинно – следственных связей; формирование умений практического использования теоретических знаний;

3.Воспитание убежденности в жизненной значимости изученных понятий и способов действий.

Приборы и материалы: линейка, карандаш, штангенциркуль, калькулятор, модели многогранников или круглых тем.

Указание к работе.

1. Приготовить к работе фигуры многогранников или круглых тел (призма, пирамида, усеченная пирамида, цилиндр, конус, усеченный конус, шар).

2. Для каждой модели произвести измерения элементов фигуры, необходимы для вычисления площади поверхности и объема фигуры.

3. Записать формулы для вычисления S, V.

4. Произвести расчеты.

5. Результаты измерений и вычислений записать в таблицу:

1. Результаты площади поверхности S и объёма V фигур выразить в м² и м³.

2. Как оформлять отчет о проделанной работе:

а) Лабораторная работа № …

б) Наименование работы.

в) Цель работы.

г) Таблица результатов измерений и вычислений.

Контрольные вопросы:

1. Какие вы знаете определения призмы, пирамиды?

2. Как можно получить из пирамиды усеченную пирамиду?

3. По какой формуле вычисляют площадь: 1) боковой поверхности призмы, пирамиды;

2) полной поверхности призмы, пирамиды.

4. При вращении каких фигур получается: цилиндр, конус, усеченный конус, шар?

5. По какой формуле вычисляют площадь: 1) боковой поверхности цилиндра, конуса,

усеченного конуса, шара;2) полной поверхности цилиндра, конуса, усеченного

конуса, шара.