Интеграл. Исследовательская лаборатория.

Тема занятия: Применение интеграла для решения прикладных задач

• Форма проведения занятия : деловая игра «Научно-исследовательская лаборатория»
• Цель занятия : формирование предметных компетенций по применению интеграла на практике; формирование общих компетенций:
• 1) Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество;
• 2) Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития;
• 3) Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями;
• 4) Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

Предварительная подготовка:

• 1. Создание подгрупп студентов для каждой «лаборатории», комиссии по защите «научно-исследовательских» проектов
• 2. Объяснение каждой подгруппе коллективного задания, распределение ролей.
• Задания лабораториям:
• 1) Придумать название лаборатории
• 2) Подобрать примеры применения интеграла (для всех подгрупп).
• 3)Результаты исследования представить в виде презентации или ментальной карты
• Задание комиссии:
• 1)координировать  работу лабораторий,
• 2)подготовить итоговую презентацию. 
• 3)консультирование студентов по вопросам выполнения заданий.

П А С Ь Я Н С

(пример одной «карты»)

Основная часть занятия:

Исследовательский проект электротехнической лаборатории «Свет интеграла»

Количество электричества (электрический заряд)

Количество электричества (электрический заряд)  за промежуток времени   при известной силе тока  вычисляется по формуле:

Зависимость магнитного потока и ЭДС

• Математическая зависимость между  магнитным потоком  Ф , пронизывающим проводящий замкнутый контур , и ЭДС индукции   в этом контуре задается соотношением
•   

• Задача 1.
• Вычислить количество электричества, протекающего по проводнику за промежуток времени [2;3], если сила тока задается формулой
• I ( t ) = 3 t 2 -2 t +5
• Задача 2.
• При вращении рамки в однородном магнитном поле возникает ЭДС индукции, изменяющаяся со временем по закону    . Найти значение магнитного потока, пронизывающего рамку от третьей до пятой минуты вращения.

И для продвинутых : В  электрических  цепях   переменного  тока  синусоидальными  функциями  времени  являются  ток,  падение  напряжения  и  ЭДС:

• По  закону  Джоуля-Ленца   на  участке  тока с сопротивлением  « r» ,  за  время « T» ,  соответствующее  периоду  тока   «i» ,  будет  выделено  количество тепла  равное:  , с  другой  стороны,  при  постоянном   токе  на  этом  же  участке  выделится    количество  энергии, равное : если  приравнять  данные  формулы,  можно  вывести  действующее  значение  тока  .

Исследовательский проект лаборатории механиков «Наша сила-интеграл»

Работаем под девизом

« Работа - не волк, а произведение силы на расстояние»

Работа переменной силы

• При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у ка:  F=kx,   где F   — сила Н;  х —абсолютное удлинение пружины, вызванное силой  F , а  k  —коэффициент пропорциональности, Н/м.
• 1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?
• Решение: используя равенство F=kx ,имеем 50=0,01k, т. е. k = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь получим

При изучении интегрального исчисления мы рассматривали примеры конкретных практических задач технической механики. А теперь решите сами!

  Определить скорость и ускорение точек, расположенных на ободе шкива, в момент времени t=5сек., если при запуске двигателя его шкив диаметром d=200мм в течение первых нескольких секунд вращается согласно уравнению: ф=0,2t³».

Исследовательский проект лаборатории экономистов « Золотой запас»

• Работаем под девизом: « Интегрированный золотой запас карман не тянет!»

Интегральное исчисление в экономике используют для прогнозирования материальных затрат. При прогнозировании материальных затрат часто возникает необходимость вычисления площадей сложных фигур.

Я хочу открыть магазин «Рыболовный рай», в котором будут продаваться товары для рыбалки и отдыха. Торговый зал напоминает палубу корабля, наибольшее расстояние вдоль зала составляет 1 6 метров, наибольшее расстояние поперёк зала – 1 2 метров. Помогите рассчитать его площадь.

у

8

6

- 6

х

- 8

Я являюсь директором магазина бытовой химии и косметики «Уют плюс». Можно ли определить запас товаров в магазине, образуемый за некоторое количество дней?

Если непрерывная функция f(t) характеризует поступление товара в зависимости от времени t, то запас товаров в магазине за промежуток времени от t 1 до t 2 будет выражаться формулой

П р и м е р

• Определите запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией

f(t) = 2t + 5 , t – время.

Я – директор сети магазинов «Мегаспорт». Стараюсь вести грамотную ценовую политику. Знаю, что для снижения цен на товары необходимо рассчитывать потребительский излишек. Помогите разобраться в этом вопросе.

Графики функций спроса и предложения

Пусть p = f ( q ) – функция спроса, где q – количество товара (в ед.), p – цена единицы товара (в руб.). Тогда, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле

П р и м е р

• Спрос на некоторый товар задается функцией p = 4– q 2 , где q – количество товара (в ед.), p – цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при p*=q*=1. Определите величину потребительского излишка.

Считайте, не ленитесь!

Это интересно!

Мой дом- МПЭК

Цель проекта:

• Показать применение интеграла

при вычислении объёмов тел

Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок [a;b] оси Ox и ограничена сверху графиком функции f , неотрицательной и непрерывной на отрезке от [a;b] . При вращении этой криволинейной трапеции вокруг оси Ox получили тело, объем которого находится по формуле:

b



т

V= ƒ²(x)dx

a

Действительно, каждая плоскость перпендикулярная оси Ох и пересекающая отрезок [a;b] этой оси в точке х, дает в сечении с телом круг с радиусом ƒ(x) и площади S(x)= ƒ²(x)

S кр = R² ; R=ƒ(x) S(x)= ƒ²(x)

V= S(x)dx= ƒ²(x)dx







Ю

b

b



т

т

a

a

y=kx

y

Дано: y=kx ; x=0 ; x=h ; y=0

Криволинейная трапеция

ox- ось вращения

Доказать: V= 1 /3Sh

r



h

0

x

b



т

V= ƒ²(x)

a



Доказательство: y=kx ; R=tg r/h

V = (2/hx)²dx = r²/h²·x³/3 | = r²/h²·h³/3 = 1/3 r²h = 1/3Sh

h



h







т

o

0

b



т

V = ƒ²(x)dx

a

y =



R ²

x ²

Шар получается путём вращения полукруга вокруг диаметра.

y =

X = -R

x = R

y = o

R

-R



x ²

R ²

Ю

Криволинейная трапеция

b



т

V т.вр. = ƒ²(x)dx

ƒ (х) = ; V м = 2 ( R²-x²)dx = 2 (R²x-x³/3) | 2 (R²-R³/3) = 2 ·2R³/3 =

4/3 R³

R

R









a

т



x ²

R ²



o

o

Т

Т

U

Объём (треугольной) наклонной призмы

С

Х

1

А

АВСА 1 В 1 С 1 – наклонная призма

ОО 1 = h

O Х (АВС)

(А 2 В 2 С 2 ) – сечение

(А 2 В 2 С 2 ) Ох

(А 2 В 2 С 2 ) Ox = x

S (x) = S ABC т.к. ∆ АВС = ∆ А 2 В 2 С 2 по ССС

т.к. А 2 АВ 2 В ; ВВ 2 С 2 С – параллелограммы

V = = = S x | = Sh

О

1

1

В

С

2

1

А

Х

2

В

2

С

А

О

В

h

0

Я

Объём пирамиды

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Дано: OABC – пирамида

h – высота

S – площадь основания

Д – ть: V = 1/3Sh

Д – во:

ОМ = h – высота; ОМ с Ох; (А 1 В 1 С 1 ) Ох

(А 1 В 1 С 1 ) II ( АВС); Ох (А 1 В 1 С 1 ) = М 1 S(x) – площадь сечения

В 1

h

М 1

A 1 1

С 1



x

Выразим S(x) через S;h;x (абсциссы т. М 1 ) :

• ∆ А 1 ОВ 1 ∞ ∆ АОВ (по 2м углам) А 1 В 1 /AB=A 1 O/AO
• ∆ А 1 О M 1 ∞ ∆ АО M ( по 2м углам) A 1 O/AO =ОМ 1 /OM=X/h; Аналогично ОВ 1 /OB= ОМ 1 /OM=X/h

∆ А 1 В 1 C 1 ∞ ∆ АВ C S(x)/S=(x/h) ² S(x) = Sx²/h²

По основной формуле объёмов тел:

V = S(x)dx = S/h²x²dx = S/h² (x³/3) | = S/h² · h²/3 = 1/3Sh Ч.Т.Д.

Ю

Ю

Ю

V = 1/3Sh

b

h

h

т

т

o

a

o

Вывод

• Объёмы различных тел мы вычисляли опираясь на основную формулу объёмов тел с помощью интеграла.

Это является ещё одним подтверждением того, что определённый интеграл есть некоторый фундамент для изучения математики.

ПРОЕКТ ЛАБОРАТОРИИ «2К»

Девиз: ИНТЕГРАЛ- ОТ КУХНИ ДО КОСМОСА!

Интеграл нашел широкое применение не только в физике и математике, но и в решении многих практических задач.

Вот пример одной из них:

Маша насыпала в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросила соседку:

- Сколько нужно налить воды, чтобы получилось вкусная каша?

- Это очень просто,- ответила соседка.- Наклони кастрюлю, постучи, чтобы каша пересыпалась и закрыла 1 /2 дна. Теперь отметь точку на стенке кастрюли у края, до которого поднялась крупа. До этого уровня надо налить воды.

- Так ведь пшена можно насыпать больше или меньше, да и кастрюли бывают разные: широкие, узкие – усомнилась Маша.

- Все равно мой способ годится в любом случае!- гордо ответила соседка.

вода

крупа

о

Докажем, что отношение объёмов воды

V в и V к

по данному рецепту для любой цилиндрической кастрюли получается одинаковым.

Решение задачи:

V т =∫ S ( x ) d x S =∫ f ( x ) d x

Поместим исследуемую модель в систему координат, так чтобы основание цилиндра лежало в плоскости XOY , а центр основания О стал началом системы координат.

Через x є OX , x є [- R ; R ] строим сечение тела плоскостью перпендикулярной ( XOY ) параллельно OY . Треугольник MNX - сечение.

Треугольник MNX подобен

треугольнику ABO :

MN / AB = MX / AO

MN/h= y/R, N (x; y; z), MN=h y /R

S м n x=1/2MN·MX= hy²/2R, но M є окружности x²+y²=R², т . е . y²=R²-x²

S( x) = S м n x= h (R²-x²) /2R

V тела =2∫S(x)dx=2∫((R²-x²)h/2R)dx=h/R(R²x-x³/3)| = h/R(R³-R³/3)=2hR³/3R=2/3hR²

V в =V ц -V к = π R²h-2/3R²h=R²h/3(3π-2)

V в/ V к=3 π/2-1, следовательно не зависит от размеров кастрюли.

РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ФОРМУЛА ЦИОЛКОВСКОГО

Решение:

• Преподаватель
• Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.