Интеллектуальная игра «Посвящение в ученики Пифагора"

)

И нтеллектуальная игра «Посвящение в ученики Пифагора»

Жюри: Пифагор и два его ученика (учащиеся старших классов одеты, как древние греки)

Ведущий: учитель

ХОД ИГРЫ

1. Вступительная часть

Выступление Пифагора: - Сегодня у вас ответственный день, вы должны доказать, что можете стать моими учениками. Свою школу я создал 2,5 тысяч лет тому назад как организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания, и все это время принятые в школу могли слушать мой голос лишь из-за занавеса, а увидеть могли только тогда, когда их "души будут очищены музыкой и тайной гармонией чисел". Другим законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось – вплоть до смерти. Пифагорейцы должны просыпаться с рассветом, петь песни, аккомпанируя себе на лире, потом делать гимнастику, заниматься теорией музыки, философией, математикой, астрономией и другими науками. Занятия должны проводиться на открытом воздухе, в форме бесед. С самого начала я сформировал два различных направления – "асуматики" и "математики". Первое направление занималось этическими и политическими вопросами, воспитанием и обучением, второе – главным образом исследованиями в области геометрии. Пифагорейская философия содержала принципы, научные достижения, взгляды на воспитание человека, социально-политические идеи. Основой в нашей школе было понятие числа. Геометрическим образам отводилась вспомогательная, второстепенная роль. Мы рассматривали только натуральные числа и четыре действия на множестве натуральных чисел: сложение, вычитание, умножение и деление.    В школе были подробно изучены  называемые моим именем «Пифагоровы тройки» натуральных чисел. Это числа, у которых квадрат одного числа равен сумме квадратов двух других. То есть, для которых справедливо равенство a ² + b ² = c ² 

  ( a,b,c  - натуральные числа)   Таковы, например, числа 3, 4, 5. В мое время считалось, что стороны каждого прямоугольного треугольника можно выразить пифагоровыми  числами. Возможно это не так, и вы сегодня сможете опровергнуть это утверждение. Желаю вам успехов в изучении интересной науки математики!

2. Вопросы для знатоков

Ведущий задает вопросы по очереди, обращаясь к участникам команд.

1 вопрос: Где и когда родился Пифагор?

Ответ: Пифагор родился в 580 (570 или 2,5 тыс.лет назад) г. до н. э. на острове Самос.

2 вопрос: Как приветствовали друг друга Пифагорейцы?

Ответ: Пифагор создал пифагорейский союз, который  являлся своеобразным, полумистическим, полурелигиозным обществом. Пифагорейцы при встречи приветствовали друг    друга  "пифагорейской звездой"  , которую рисовали на земле прутиком.

3 вопрос: Двенадцать лет пробыл в вавилонском плену Пифагор, пока его не освободил персидский царь Дарий Гистасп. Вавилонская наука была более развитой, нежели египетская. Чему же мог научиться Пифагор в Вавилоне?

Ответ: вавилонские таблицы: умножения, обратных величин, квадратов, кубов чисел. В Вавилоне умели решать линейные уравнения, квадратные и некоторые виды кубических уравнений, а также системы квадратных и линейных уравнений с двумя неизвестными.

4 вопрос: Сколько раз Пифагор был олимпийским чемпионом, и по какому виду спорта?

Ответ: четыре раза подряд по кулачному бою.

5 вопрос: Пифагорейцы не любили некое целое число за то, что оно расположено между двумя целыми числами, каждое из которых выражает площадь некоторого прямоугольника, численно равную периметру этого прямоугольника. Какое это целое число?

Ответ: это число 17, х и у целые числа, для которых 2(х + у) = ху, то либо х = у = 4, либо х = 3 у = 6. В первом случае ху = 16, во втором ху = 18.

6 вопрос: Тиран острова Самос - Поликрат однажды спросил у Пифагора, сколько у того учеников. Охотно скажу тебе - отвечал Пифагор. Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть - исследует тайны природы, седьмая часть молча упражняют силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех девушек. Столько учеников я веду к рождению вечной истины. Сколько учеников было у Пифагора?

Ответ: 28 учеников.

7 вопрос: В переводе с греческого, это слово означает "игральная кость". Так как она имела определенную форму, то название перешло на любое тело той же формы. Название введено пифагорейцами, затем термин встречается у Евклида. О каком геометрическом теле идет речь?

Ответ: куб.

8 вопрос: От каких чисел пошло выражение "возвести в квадрат".

Ответ: От фигурных чисел. Квадратные - получаются из предыдущего прибавлением к нему числа уголка - гномона:

Судьи, после того как получили ответы, оценивают их и подводят итоги. Если ответ неверный, то вопрос переадресуется участникам в зале.

3. Конкурс вопросов

Команды задают друг другу подготовленные дома вопросы.

1 вопрос: Приведите примеры фигурных чисел?

Ответ: Числа пифагорейцы изображали в виде точек (камешков), группируя в геометрические фигуры. Так возникли фигурные числа: Линейные (это простые числа)-5: Плоские (числа, представимые в виде произведения двух сомножителей)-6: Телесные (выражаются произведением трех сомножителей)-8: Треугольные числа-3,6,10: Квадратные - получаются из предыдущего прибавлением к нему числа уголка - гномона:4,9.

2 вопрос: Как утверждают, Пифагор на вопрос, что такое друг, ответил: "Тот, кто есть другой я, вот как числа 220 и 284". Как называются эти числа?

Ответ: Два числа, обладающие свойством, что сумма делителей каждого из них равняется другому, назывались "дружественными".

3 вопрос: Как назывались правила поведения, составленные Пифагором? Приведите примеры.

Ответ: В Золотых стихах Пифагор выразил те нравственные правила, строгое исполнение которых приводит души заблудших к совершенству. Вот некоторые из них: не делай никогда того, чего ты не знаешь, но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь; переноси кротко свой жребий, каков он есть, и не ропщи на него; приучайся жить без роскоши.

4 Вопрос: Найдите среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое чисел 1 и 9.

Ответ: 5; 3; 1,8.

5 вопрос: Какие числа Пифагорейцы называли женскими, а какие – мужскими?

Ответ: Пифагорейцы считали четные числа - женскими, а нечетные -мужскими.

6 Вопрос: Назовите «совершенное» однозначное число?

Ответ: Среди однозначных – это только 6.

Судьи, после того как получили ответы, оценивают их и подводят итоги.

1. Конкурс капитанов

Капитанам дается по одной задаче на практическое применение, и по одному вопросу.

1. Решите задачу

Миниатюра

Ведущий: Однажды, гуляя по берегу Нила, главной реки в Египте, Пифагор увидел, как два землемера растягивают на земле большую веревку с узлами. 

Пифагор: — Что вы делаете? 

Землемеры: — Не видишь, что ли? Волна смыла колышки, разделяющие два участка земли. И теперь, чтобы восстановить границу, нужно построить прямой угол.

Землемеры (обращаясь к капитану команды):

- Возьми этот узел и помоги нам натянуть веревку.

Ведущий: Используя предложенную бечевку. Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались бечевкой, разделенной узлами. Покажите, как они это делали. Объясните это мудрое решение с вашей точки зрения?

2. Решите задачу с помощью реек. Две рейки соединены под прямым углом. Как с помощью полученного приспособления найти центр круга и его диаметр?

Вопрос 1 капитану. Известно, что существует способ доказательства теоремы

Пифагора "без слов". Не могли бы вы представить этот способ?

Ответ: «Смотри!» (чертеж)

Вопрос 2 капитану: Теорему Пифагора называют "теоремой невесты". Объясните, почему ее так назвали?

Ответ: При переводе с греческого арабский переводчик, не обратив внимания на чертеж, перевел слово нимфа как невеста, а не бабочка.

Судьи, после того как получили ответы, оценивают их и подводят итоги. Если ответ неверный, то вопрос переадресуется участникам в зале.

Миниатюра

На сцене за столом сидит ученик. Он в роли учителя математики. К столу прикреплен плакат: «Экзамен по математике».

Вбегает ученик.

- Извлекать корни умеете? – спрашивает экзаменатор.

Ученик:

-Да конечно. Нужно потянуть за стебель растения посильнее, и корень его извлечется из почвы.

-Нет, я имею в виду другой корень, например из девяти.

-Это будет «девя», так как в слове «девять» суффиксом является «ть».

-Вы меня не совсем поняли, я имел в виду корень квадратный.

-Квадратных корней не бывает. Они бывают мочковатые и стержневые.

Ведущий: 2,5 тысяч лет тому назад пифагорейцы тоже считали, что квадратных корней не бывает.

Пифагор: - «Мы были уверены в том, что с помощью натуральных чисел можно выразить все свойства окружающего мира и все измерить. И вдруг обнаружили, что отношение диагонали квадрата к его стороне невозможно выразить с помощью натуральных чисел. Подорвалась основа наших философских взглядов. Лозунг "Весь мир есть число" стал несостоятельным. Поэтому это открытие хранилось нами как великая тайна. Но, тем не менее, недостаточность натуральных чисел стала явной. Об открытии каких чисел идет речь?»(вопрос для всех).

Ответ: об иррациональных числах.

(Продолжение миниатюры)

- Арифметический квадратный корень из девяти.

-Три, так как три в квадрате равно девяти.

При этом ученик берет со стола плакат с записью 9 = 3 и показывает его аудитории.

После подведения итогов теоретической части игры, участникам предлагается решить по две задачи на применение теоремы Пифагора.

1. Конкурс по решению задач на применение теоремы Пифагора

Ведущий: Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам. Попробуйте решить по одной старинной задачи, в которой будет «работать» теорема Пифагора. Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика ХII в. Бхаскары:

Задача 1 команде. На стебле с полфута над озером тихим,
Рос лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Больше цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода здесь глубока? Решение: CD –глубина озера, обозначим ее х.Тогда по теореме Пифагора имеем: BD² - х^{2 =} BC² , т.е. (х + )^{2 _} х² = 2 ² х² + х + ¼ - х² = 4, х = 3 (фут). Ответ: 3 фут Задача 2 команде. В древне китайском трактате, написанном в III в. До н.э., есть такая задача: «В центре квадратного пруда, сторона которого 10 футов, растет тростник, возвышающийся на 1 фут над поверхностью воды. Притянутый к берегу, к середине стороны пруда, он достиг своей верхушкой берега. Какова глубина пруда?» Решение: Пусть ОА = х – глубина пруда, DC – его сторона, а ОВ – длина тростника. По условию, DC + 2АС = 10, ОВ =ОС= х+1. Применив к треугольнику АОС теорему Пифагора, получим х²+ 5²= (х+1)². Отсюда х=12. Задача 1 команде:

В треугольнике АВС: ВD - высота, проведенная из вершины прямого угла. Используя теорему Пифагора и формулу площади треугольника, докажите, что АВ² = АD * АС.

Решение. Используя различные записи формулы площади треугольника

АВС, получаем АВ*ВС = ВD*АС, или АВ² * ВС² = ВD² * АС²

Из треугольника АВС: ВС² = АС²-АВ²

Из треугольника АВD: ВD* = АВ²-АD²

Значит АВ² * (АС² - АВ²) = (АВ² - АD²) * АС² ,или (АВ²)² = АD² * АС² ,откуда АВ² = АD*АС.

Задача 2 команде:

- В треугольнике АВС: ВD - высота, проведенная из вершины прямого угла, Используя теорему Пифагора, докажите, что BD² = АD*DС

Решение. Из треугольника АВС: АС² = ВС^{2 +} АВ² Из треугольника ВDС ВС² = ВD² + DС² Из треугольника АDВ: АВ² = ВD² + АD²

Учитывая, что АС=АD+DС, получаем (АD+DС)² =2ВD² +DС² +АD² , откуда BD ² = АD*DС.

В то время, когда участники решают предложенные задачи, Пифагор задает задачу всем присутствующим на игре.

Задача: «Новое доказательство» теоремы Пифагора.

«Возьмем прямоугольный треугольник с катетами а и b, гипотенузой с и острым углом , противолежащим катету а. Имеем: а = c ^. sin, b=c ^. cos, откуда а² = с²sin² ^; b²=c²cos². Просуммировав по частям эти равенства, получаем:

а ² + Ь ²=с ² (sin² + cos²).

Но sin² + cos² = 1, и поэтому а ² + Ь ²=с ²

Подвергните критике это -доказательство».

Ответ: формула sin² +cos² = 1 выводится на основании теоремы Пифагора, и поэтому в рассуждении получается порочный круг.

Дополнительная задача:- На продолжении диагонали АС ромба АВСD взята произвольная точка М, которая соединена с вершиной В. Докажите, что

АМ*СМ=МВ²-АВ².

Решение. Пусть О - точка пересечения диагоналей ромба. Тогда из

треугольника МВО: МВ² = ВО² + ОМ²,

а из треугольника АВО АВ² =ВО² + АО²

Значит МВ² - АВ² = ОМ² - АО² = (ОМ-АО) * (ОМ+АО). Учитывая, что

АО=ОС, МС=ОМ-ОС, ОМ+АО=АМ, получим равенство МВ² - АВ² =МС*АМ.

Участники от команд представляют решение предложенной задачи на доске или плакате.

1. Подведение итогов

Пифагор вручает всем участникам дипломы об окончании «Пифагорейской школы».

Литература:

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Прбуждающаяся наука.Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. – М.:Просвещение,1959

2. Гарднер Путешествие во времени. - М.:Мир, 1990

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.:Просвещение,1964

4. Еленьский Ш. По следам Пифагора.- М.: Просвещение , 1960

5. Скопец З.А. Геометрические миниатюры.- М.:Просвещение ,1990

6. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1989

7