Использование эвристик при решении задач

Методическая разработка по теме:

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭВРИСТИК ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ

Авторы: Якубалиева З.Ж., Джакубалиева Ю.В.

Значительное количество эвристик можно получить, решая задачу повышенной сложности на множестве натуральных чисел.

Задача. Найдите сумму 60² – 59² + 58² – 57² + … +2² – 1².

Если ученики не выдвигают идей решения, то предлагаем восстановить числовое выражение и найти его значение, используя правила арифметики (эвристика 1): 60² – 59² + 58² – 57² + … +2² – 1² = 60² – 59² + 58² – 57² + 56² – 55² + + 54² – 53² + 52² – 51² + 50² – 49² + 49² – 47² + 46² – 45² + 44² – 43² + 42² – 41² + + 40² – 39² + 38² – 37² + 36² – 35² + 34² – 33² + 32² – 31² + 30² – 29² + 28² – 27² + + 26² – 25² + 24² – 23² + 22² – 21² + 20² – 19² + 18² – 17² + 16² – 15² + 14² – 13² + + 12² – 11² + 10² – 9² + 8² – 7² + 6² – 5² + 4² – 3² + 2² – 1² = 3600 – 3481 + 3364 – – 3249 + 3136 – 3025 + 2916 – 2809 + 2704 – 2601 + … = 600 – 481 + 364 – 249 + + 136 – 25 + 916 – 809 + 704 – 601 + … = 119 + 115 + 111 + 107 + 103 + … =

Уже при вычислении первых 10 значений, учащиеся замечают, что

1. Разности образуют пары.

2. Разности образуют убывающую арифметическую прогрессию, первый член которой 119, разность прогрессии (– 4), число членов – 30.

Второе замечание позволяет решить задачу, не возводя в квадрат оставшиеся 50 чисел, а применив формулу суммы для 30 членов нашей прогрессии: .

Из первого замечания следует традиционный метод решения заданий, подобных данному, – группировка членов (эвристика 2).

В результате группировки явным образом выделены разности квадратов, к которым применима известная формула сокращённого умножения.

Первый способ группировки: (60² – 59²) + (58² – 57²) + … + (2² – 1²) = = (60 – 59)(60 + 59) + (58 – 57)(58 + 57) +  … + (2 – 1)(2 + 1) = 119 + 115 + … + 3 = = .

Второй способ группировки: (60² – 1²) – (59² – 2²) + … + (32² – 29²) – (31² – – 30²) = (60 – 1)(60 + 1) – (59 – 2)(59 + 2) + … + (32 – 29)(32 + 29) – (31 – 30)(31 + + 30) = 59  61 – 57  61 + … + 3  61 –1  61 = (59 – 57 + … + 3 – 1)  61 = …

В скобках – знакочередующаяся последовательность, к которой можно применить эвристику 2, то есть сгруппировать разности, получим:

… = 2  15  61 = 1830.

Можно поступить по-другому. Не будем пока учитывать знаки (эвристика 3): 59, 57, 55, …, 3, 1 – арифметическая прогрессия с разностью (– 2), а значит, из неё можно получить две другие арифметические прогрессии, взяв сначала числа, стоящие на нечётных, а затем на чётных позициях, при этом разность уменьшится в 2 раза. Итак, 59, 55, 51, … 3 (15 членов) и 57, 53, 49, … 1 (15 членов). Возвращаемся к нашей знакочередующейся последовательности и замечаем, что её можно представить в виде разности:

(59 + 55 + … + 3) – (57 + 53 +… + 1).

Эта эвристика носит название группировки по знакам (эвристика 4).

Вернёмся к решению задачи: … = ((59 + 55 + … + 3) – (57 + 53 +… + 1))  61= = .

Теперь предлагаем учащимся проверить, как работают наши эвристики. Применим эвристику 4 к решению исходной задачи: 60² – 59² + 58² – 57² + … + + 2² – 1² = 60² + 58² + … + 2² – 59² – 57² – … – 1² = 60² + 58² + … 4² + 2² – (59² + + 57² + … 3² + 1²) = …

Если бы не «квадраты», то мы применили бы известную формулу суммы членов арифметической прогрессии.

Главный вывод: эвристики помогают в поиске решения, но не гарантируют получения ответа!!!

Если бы не «квадраты» … Предлагаем учащимся «избавиться от «квадратов» двузначных чисел в исходном выражении 60² – 59² + 58² – 57² + … + 2² – 1² = … . замечаем, что 60 от 59 отличается на 1, от 58 на 2 и т.д.

Заменим несколько первых чисел разностью с уменьшаемым 60 (эта эвристика получила название «решить часть задачи» – эвристика 5):

60² – 59² = 60² – (60 – 1)² + (60 – 2)² – (60 – 3)² = 60² – 60² – 1² + 2  60 1 + 60² + + 2² – 2  60 2 – 60²– 3² + 2  60 3 = – 1² + 2  60 1 + 2² – 2  60 2 – 3² + 2  60 3 = = 2  60  (1 – 2 + 3) – 3² + 2² – 1². Сопоставление с исходным выражением позволяет сформулировать выводы:

1. Не связанные произведением слагаемые образуют ту же последовательность, что и последние слагаемые исходного выражения.

2. Если взять n первых слагаемых (n  60), то в результате получим произведение двух, 60 и суммы (n – 1)-го натурального числа с положительными нечётными слагаемыми и отрицательными чётными, сложенное с суммой (n – 1)-го квадрата натуральных чисел (причём перед квадратом чётного числа будет стоять знак сложения, а перед квадратом нечётного числа будет стоять знак вычитания).

3. Если сгруппировать слагаемые по 10, и в каждом десятке заменить числа разностью с уменьшаемым 60, 50, …, 10 соответственно, то в результате получим:

= 2  60  (1 – 2 + 3 – 5 + 6 – 7 + 8 + 9) – 9² + 8² – … + 2² – 1² +

+ 2  50  (1 – 2 + 3 – 5 + 6 – 7 + 8 + 9) – 9² + 8² – … + 2² – 1² +

+ 2  40  (1 – 2 + 3 – 5 + 6 – 7 + 8 + 9) – 9² + 8² – … + 2² – 1² +

+ 2  30  (1 – 2 + 3 – 5 + 6 – 7 + 8 + 9) – 9² + 8² – … + 2² – 1² +

+ 2  20  (1 – 2 + 3 – 5 + 6 – 7 + 8 + 9) – 9² + 8² – … + 2² – 1² +

+ 2  10  (1 – 2 + 3 – 5 + 6 – 7 + 8 + 9) – 9² + 8² – … + 2² – 1² =

= 2  (60 + 50 + 40 + 30 + 20 + 10)  5 + 6  (– 9² + 8² – … + 2² – 1²) =

= 10  210 + 6  (– 81 + 64 – 49 + 36 – 25 + 16 – 9 + 4 – 1) = 2100 – 270 = 1830.

Случай, когда группировка слагаемых по 10 сопровождается заменой числа суммой с 50, …, 10 соответственно, учащимся предлагается для самостоятельного решения.

Рисунок 1. Завершающий кадр демонстрации миниатюры «Сумма нечётных чисел»

Ещё один способ избавиться от квадратов связан с фигурными (квадратными) числами. Демонстрационная миниатюра «Сумма нечётных чисел» (http://www.etudes.ru/ru/sketches/odd-numbers-sum/) даёт наглядное представление о возможности заменить квадрат любого натурального числа n суммой первых n нечётных чисел (2n – 1): 60² – 59² + 58² – 57² + … +2² – 1² =

= 119 + 117 + 115 + 113 + … + 3 + 1 – представление числа 60²

= 119 – 117 – 115 – 113 – … – 3 – 1 + представление числа 59²

= 119 – 117 + 115 + 113 + … + 3 + 1 – представление числа 58²

– 117 + 115 – 113 – … – 3 – 1 + представление числа 57²

. . . . . . . . . .

– 117 + 115 – 113 – … + 3 + 1 – представление числа 2²

– 117 + 115 – 113 – … – 3 – 1 = представление числа 1²

= .

Представленное решение, как и миниатюра, даёт наглядное представление о способе решения исходной задачи. Эвристика, лежащая в его основе, звучит как «Примени геометрию!».

Эвристика «Примени алгебру!» для нашей задачи формулируется вполне конкретно: «Реши задачу в общем виде»; – то есть предполагает нахождение суммы n² – (n – 1)² + (n – 2)² – (n – 3)² + … +2² – 1².

Работа по поиску эвристик позволяет привлечь средства всех трёх важнейших разделов школьного курса математики: арифметики, алгебры, геометрии.