Исследование функций с помощью производной

Практическое занятие

Исследование функции с помощью производной.

Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции.

1) Теоретический этап

Общая схема исследования функции

1) Найти область определения функции f(х)

2) Найти производную f ꞌ(x)

3) Найти стационарные точки (f ꞌ(x) = 0)

4) Найти промежутки возрастания и убывания

5) Найти точки экстремума и значения функции в этих точках

Результаты удобно записать в виде таблицы:

2) Подготовительный этап Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. Исследовать и построить график функции: f(x) = 3x² – x³

Решение:

1. D (f) = R, т.к. f – многочлен.

2. Найдем производную функции: f ʹ(x) = 6x – 3x²

3. Найдем стационарные точки: f ʹ(x) = 0, т.е. 6x – 3x² =0, 3x (2 – x) = 0, 3x = 0 или 2 – х = 0

х = … х = ...

Вычислим значение функции в стационарных точках:

х = 0, f(0) = 3 ∙ 0² − 0³ = …

х = 2, f(2) = 3 ∙ 2² − 2³ = 3 ∙ 4 – 8 = 12 – 8 = …

4,5) Составляем таблицу

6) Строим график функции.

y

x

4

2

0

Пример 2. Исследовать функцию f(x) = 3x⁵ −  5х³ + 2 и построить ее график.

Решение:

1) D (f) = R, так как f (x) - многочлен.

2) Найдем производную функции: f '(x)= 15x⁴ − 15х² 

3) Найдем стационарные точки: f '(x) = 0, т.е. 15x⁴ − 15х² = 0, 15х²  (х² −  1) = 0

15х² = 0 или х² −  1 = 0

x₁ = 0 x² −  1= 0,

x² =  1

х₂ = …, х₃ = …

Вычислим значение функции в стационарных точках:

х = 0, f (0) = 3 (0) ⁵ −  5 (0) ³ + 2 = 0 + 0 + 2 = …

x = − 1, f (− 1) = 3 (− 1) ⁵ −  5 (− 1) ³ + 2 = − 3 + 5 + 2 = 7 – 3 = …

x = 1, f (1) = 3 1⁵ −  5 1³ + 2 = 3 − 5 + 2 = 5 – 5 = ...

4,5) Полученные результаты занесем в таблицу.

6) Строим график функции.

Пример 3. Исследовать и построить график функции: f(x) =

Решение:

1. D (f ) = R 

2. Найдем производную функции:

3) Найдем стационарные точки: f '(x) = 0, т.е. = 0

6х = 0

х = …

Вычислим значение функции в стационарных точках:
 х= 0, f(0) = = …

4,5) Полученные результаты занесем в таблицу

х	(- ; 0)	0	(0; + )
f '(x)	–	0	+
f(x)		0
		min

Найдем дополнительные точки:

6. Строим график функции.

3) Практический этап

1. Исследуйте функцию f(x) = x³ − 3х² и постройте ее график

2. Исследовать функцию f(x)= 3x⁵ −  5х³ + 6 и построим ее график

3. Исследовать и построить график функции: f(x) =