Тема урока: Исследование функции с помощью производной: интервалы монотонности, экстремумы, выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Конспект урока
Алгоритм
Мы знаем, как по знаку производной найти интервалы монотонного возрастания или убывания функции, знаем, каким образом определить точки максимума и точки минимума функции. Пусть теперь есть задача исследовать функцию на экстремумы и на монотонность с помощью производной.
Алгоритм таков:
1. Найти
.
2. Выделить интервалы знакопостоянства
. Они определят интервалы монотонности
.
3. Найти критические точки (внутренние точки ОДЗ, в которых
или не существует).
4. Выделить из критических точек и концов отрезка точки экстремума и исследовать их.
Исследование функции на монотонность и экстремум
2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:
Критические точки функции:
,
,
Определим знак производной в каждом интервале монотонности:
, точка max, так как производная
изменила знак с "+" на "−",
, точка min, так как производная
изменила знак с "−" на "+".
Вычислим сам экстремум функции в этих точках:
3. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость кривой и перегиб:
Критические точки:
,
,
,
Определим знак II производной в интервале кривизны:
, значит, кривая выпуклая на промежутке,
, значит, кривая вогнутая на промежутке;
Вычислим ординату точки перегиба:
4. Найдём дополнительные точки графика:
По результатам исследования строим график функции:
Пример 2. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график:
.
Решение: 1. Область определения функции
,
точка разрыва, чтобы определить её характер, найдём правосторонний и левосторонний пределы функции в этой точке:
Значит,
точка разрыва
рода,прямая
вертикальная асимптота графика функции. Найдём наклонную асимптоту графика:
где угловой коэффициент прямой найдём по формуле
Так как
существует, то есть и наклонная асимптота. Вычисляем коэффициент b:
Значит, наклонная асимптота графика имеет уравнение
.
2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:
, учтем правило дифференцирования
Критические точки функции:
,
,
,
, х=2,
Домашнее задание:
Определить вид функции: y=x4 -2x2 +2.
y=x4 -2x2 +2, D(y)=R.
Y=x⁴ -2x²+2
1) Область определения функции:
D(y)=(-∞; +∞)
2) Область значений функции:
Е(у)=(-∞; +∞)
3) Четность или нечетность функции:
у(-х)=(-х)⁴ - 2(-х)²+2=х⁴-2х²+2
Так как у(-х)=у(х), то функция является четной. График функции симметричен относительно оси ОУ.
4) Точки пересечения графика с осями:
ОХ: у=0
х⁴-2х²+2=0
Пусть х²=t
t²-2t+2=0
D=4-8=-4
График не пересекает ось ОХ.
ОУ: х=0
у=0⁴-2*0²+2=2
5) Промежутки возрастания и убывания функции и точки экстремума:
у' = 4x³ -4x=4x(x²-1)=4x(x-1)(x+1)
4x(x-1)(x+1)=0
x=0 x=1 x=-1
- + - +
-------- -1 --------- 0 ----------- 1 --------------
При х∈(-∞; -1]U[0; 1] функция убывает.
При х∈[-1; 0]U[1; +∞) функция возрастает.
х=-1 - точка минимума.
Уmin=(-1)⁴ - 2(-1)²+2=1-2+2=1
x=0 - точка максимума.
Уmax=0⁴-2*0²+2=2
x=1 - точка минимума.
Уmin=1⁴-2*1²+2=1-2+2=1
6) Точки для построения графика:
х| -2 | -1 | 0 | 1 | 2
y| 10| 1 | 2 | 1 | 10