Исследовательская работа "Круги Эйлера" презентация

Круги Эйлера

Авторы: Горковенко Мария

Лущик Милана

ученицы 8 класса «Б»

МАОУ СОШ №4 г.Черняховска

Цель:

1) Поиск задач, которые можно решать с помощью кругов Эйлера.

2) Научиться решать задачи, используя круги Эйлера.

Задачи исследования:

1) Изучить теоретические сведения по теме "Круги Эйлера";

2) Посмотреть применение "кругов Эйлера" в реальной жизни.

Объект исследования:

Задачи на множества различных элементов (чисел и других объектов)

Предмет исследования:

Множества и действия с ними.

Методы исследования:

1) Наблюдение;

2) Анализ решения готовых задач;

3) Решение задач, применяя арифметический метод и круги Эйлера;

4) Составление задач;

5) Анкетирование.

Гипотеза:

Применение кругов Эйлера позволяет решать задачи, которые обычным путём разрешимы лишь при составлении системы нескольких уравнений с несколькими неизвестными

Леонардо Эйлер 1707-1783

Швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Эйлер — автор более чем 850 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям.

Теоретические основы о кругах Эйлера

Эйлеровы круги (круги Эйлера) — это принятый в логике способ моделирования, наглядного изображения отношений между объемами понятий с помощью кругов

Типы кругов Эйлера

Множество всех действительных чисел изображено с помощью кругов Эйлера

N - Множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество всех действительных чисел.

Зачем нужны круги Эйлера?

Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.

Задача №1

Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шесть из них разводят кактусы, а пять — фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом — фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового» круга ставим цифру 4 (6 − 2 = 4). В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5 − 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Ответ. 9 подруг.

Задача №2

В классе 25 учащихся. Из них 5 человек не умеют играть ни в шашки, ни в шахматы. 18 учащихся умеют играть в шашки, 20 — в шахматы. Сколько учащихся класса играют и в шашки, и в шахматы?

?

Решение

25-5=20 – чел. умеют играть

20+18-20=18 – чел играют и в шашки, и в шахматы .

Задача №3

В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 – в хоккей, 18 – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем – четверо, баскетболом и волейболом – трое, волейболом и хоккеем – пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни волейболом, ни хоккеем.

Сколько ребят увлекается одновременно тремя видами спорта?

Решение

Всего – 38 - 3

Б – 16

4

Х – 17 3

5

В – 18

1) Z (БХВ) - ?

2) Б; Х; В -?

Составим уравнение:

38=3+(9-z)+(8-z)+(10-z)+4+3+5+ z, откуда z=2

3

Б

Х

4

9-Z

8-Z

Z

3

5

10-Z

В

Задача №4 (анкета)

Шестиклассники заполняли анкету с вопросами об их любимых мультфильмах, созданных киностудией "Мельница". В частности, вопросы были о мультфильмах, повествующих о приключениях трёх самых известных богатырей - Алёши Поповича, Добрыни Никитича и Ильи Муромца.

Оказалось, что большинству из них нравятся "Три богатыря и Шамаханская царица", "Три богатыря на дальних берегах" и "Три богатыря. Ход конём". В анкетировании принимали участие 38 учеников. Мультфильм "Три богатыря на дальних берегах, нравится 21 ученику. Причем трем среди них нравятся еще и "Три богатыря. Ход конём", шестерым - "Три богатыря и Шамаханская царица. ", а один ребенок одинаково любит все три мультфильма. У мультфильма "Три богатыря. Ход конём" 13 фанатов, пятеро из которых назвали в анкете два мультфильма. Надо определить, скольким шестиклассникам нравится мультфильм "Три богатыря и Шамаханская царица".

Решение

всего – 38 учеников

Ш.Ц. - ?

6

Д.Б. – 21 1 ?

3

Х.К. – 13

Автор метода говорил:

«Что круги подходят для того, чтобы облегчить наши размышления»

Вывод

Применение кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна) позволяет легко решить задачи, которые обычным путем разрешимы лишь при составлении системы нескольких уравнений с несколькими неизвестными.

Литература:

П.А.Вакульчик «Нестандартные и олимпиадные задачи по математике»

В.А.Гусев. А.Н.Орлов. А П. Розенталь «Внеклассная работа

по математике»

И.Л. Бабинская «Задачи математических олимпиад»

А.В.Фарков «Готовимся к олимпиадам по математике»

И.С.Петраков «Математические кружки»

http://poznayko.at.ua/photo/16-2-0-0-2

Спасибо за внимание!