Исследовательская работа "Математика заторов" ученика 6 класса Зимина Ивана

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №13» С.ВЛАДИМИРО-ПЕТРОВКА ХАНКАЙСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ПРИМОРСКОГО КРАЯ

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

«МАТЕМАТИКА ЗАТОРОВ»

предмет: математика

Выполнил:

ученик 6 класса «А»

Зимин Иван

Проверил:

учитель математики

Зимина Надежда Владимировна

с. Владимиро-Петровка

2016

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ…………………………………………………………

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………..

ГЛАВА I.ЧТО ТАКОЕ «ОЧЕРЕДЬ»?,,……………………………….

1.1 Историческая справка………………………………………………

1.2 Законы теории очередей……………………………………………

1.3 Модели очередей……………………………………………………

ГЛАВА II.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………

2.1 Исследование №1……………………………………………………

2.2 Исследование №2…………………………………………………….

2.3 Исследование №3……………………………………………………

2.4 Исследование №4…………………………………………………….

2.5 Исследование №5…………………………………………………….

2.6 Исследование №6……………………………………………………

2.7 Математическая модель…………………………………………….

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………….

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………..

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………

ВВЕДЕНИЕ

Всю жизнь стоять — чего-то ждать…
     Не надоело?! Вопрошать,
          И без ответов оставаться…

Иван Зерюкаев

Каждый из нас не раз в своей жизни стоял в очередях и знает, как много времени это отнимает. Как избежать очередей? Изучается ли эта проблема?

Очередь - это линия ожидания. Теория очередей – часть более широкой теории, в рамках которой проводятся оперативные исследования и создаются математические модели[1]. Все это делается с одной целью – решить проблемы, которые создает состояние в очередях. Здесь можно найти компромиссный вариант, учитывающий систему расходов и среднее время ожидания в очереди.

Современный человек проводит в ожидании более или менее значительную часть своей жизни. Разве есть среди нас те, кто никогда ни стоял в очереди? Очередь, к сожалению, является одной из отличительных особенностей российского общества. Железнодорожные кассы, муниципальные учреждения, больницы – всюду можно увидеть очереди в десятки человек, занимаемые за много часов до открытия, очереди машин на перекрёстках дорог, очереди самолётов на выезде на взлётную полосу и, как следствие, очереди пассажиров к стойкам регистрации; очередь к банкоматам, очередь на приём к врачу или очередь в магазинах или супермаркетах... Это лишь некоторые примеры.

Меня это заинтересовало, и у меня возник вопрос: «Можно ли решить проблему очередей? Эту проблему увидел только я или она является актуальной и для других? Если «да», то какую роль в ее решении сыграет математика?»

Для установления актуальности вопроса мною была разработана и проведена анкета, результаты которой представлены в диаграммах и таблице (Приложение 1). Оказывается, с проблемой очередей сталкиваются многие и решение необходимо найти.

Проблема:

Как избавиться от заторов (очередей), и какую роль в этом сыграет математика?

Гипотеза:

Условия создания очередей выражаются через математическую модель.

Цель:

Выяснить причины образования заторов и очередей в нашем селе и найти пути их ликвидации.

Задачи исследования:

1. Выявить, кто впервые пытался решить проблему очередей и какими методами.

2. Изучить современные теории очередей.

3. Провести собственные исследования очередей в окружающем меня мире и выработать свои пути решения.

Предметом исследования являются очереди, заторы нашего села.

Работая над темой, я использовал следующие методы: анализ, синтез, наблюдение, эксперимент, сравнение и социологический опрос.

Для изучения данной проблемы я использовал ресурсы библиотеки, Интернета, мне помогали учитель и родители.

Актуальность моей работы: как показывают результаты анкетирования, 85% опрошенных не любят стоять в очередях и более 50% попадают в очереди в разных ситуациях: в магазинах или столовых, на дорогах, в больницах, в аэропорту и т.д. Следовательно, существует необходимость найти решение этой проблемы.

Практическая ценность: Если я смогу найти пути решения по данному вопросу, значит, кто-то сможет избежать такой участи как стоять в очереди.

ГЛАВА I.

1.1 Историческая справка.

Первопроходцем в теории очередей был датский математик Агнер Караруп (1878-1929) , взявшийся анализировать телефонную систему в Копенгагене, чтобы разрешить проблему загруженности телефонных линий.

Агнер Краруп Эрланг - дата рождения: 1 января 1878, место рождения: Лонгборг, Дания, дата смерти: 3 февраля 1929 (51 год)— датский математик, статистик и инженер, основатель научного направления по изучению трафика в телекоммуникационных системах и теории массового обслуживания. Эрлангом была получена формула для расчета доли вызовов, получающих обслуживание на сельской телефонной станции и кому придется ожидать пока делаются внешние вызовы. В 1909 году он опубликовал свою первую работу: «Теория вероятностей и телефонные разговоры» (The Theory of Probabilities and Telephone Conversations.) Эта работа была признана во всем мире и его формула была принята для использования в крупнейшей почтовой службе мира — Главном почтамте Великобритании. Двадцать лет он проработал в Копенгагенской телефонной компании и умер в 1929 году. В сороковых годах в его честь была названа единица измерения трафика в телекоммуникационных системах — Эрланг, а его формулы до сих пор используются при расчетах пропускной способности современных телекоммуникационных сетей.[6]

Другим исследователем очередей был Пуассон.

Пуассон (Poisson) Симеон Дени (21 июня 1781, Питивье, близ Орлеана — 25 апреля 1840, Ско, пригород Парижа), выдающийся французский ученый, которого по праву считают одним из создателей современной математической физики. Его имя часто встречается в учебниках по математическому анализу и электромагнетизму, теории вероятностей и акустики, квантовой механики и теории упругости.

Всем, кто изучает теорию вероятностей или использует для своих целей вероятностные расчеты, знакомо распределение Пуассона. Так называется формула, позволяющая для многих задач вычислять распределение случайных величин[7].

Работа Пуассона впервые была опубликована в 1837 году. Изначально распределение Пуассона было предложено для моделирования потока входящих телефонных звонков на коммутатор. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи и др.[6]

1.2 Законы теории очередей

Очередь — это линия ожидания. Теория очередей пытается создать модели, поддающиеся последующей математической обработке.

В ходе рассмотрения истории вопроса я узнал, что в теории изучения очередей существуют законы Харпера, подобные знаменитым законам Мерфи.

• Первый закон Харпера: неважно, в какую очередь ты становишься – всегда есть одна, движущаяся быстрее остальных.

• Второй закон Харпера: если ты переходишь в другую очередь, та, которую ты покинул, начинает двигаться быстрее.

Еще я изучил закон Литтла, который гласит, что время, необходимое на обработку заказа, прямо пропорционально объему незавершенного производства и обратно пропорционально средней скорости выполнения работы.

Например, вам необходимо изготовить гвоздь. Цех по производству гвоздей делает 1000 штук в час (это средняя скорость выполнения работы). Сейчас у них имеется 5000 недоделанных гвоздей (объем незавершенного производства). Значит, вы получите свой гвоздь через пять часов с момента размещения заказа. Это равенство имеет множество практических следствий. Прежде всего, оно показывает, что есть два способа снизить время выполнения заказа — либо, сокращая объем незавершенного производства, либо наращивая среднюю скорость выполнения работы. В ходе любой операции, которая не предполагает непосредственного контакта с клиентом, то есть где незавершенное производство представляет собой заказы, электронную корреспонденцию или отчеты, а не людей, контролировать объем незавершенного производства гораздо проще, чем повысить скорость выполнения работы. На самом деле, вы можете ускорить любой процесс, просто уменьшив объем незавершенного производства и не предпринимая ничего для повышения скорости выполнения работы[2].

Кроме того я узнал о распределении Пуассона, которое играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Распределение Пуассона — это вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. [5]

1.3 Модели очередей.

Некоторые модели очередей очень просты, другие требуют применения сложных математических теорий. Все очереди можно разбить на две большие группы.

-Детерминированная очередь –наиболее простая модель, которую можно заранее спрогнозировать, опираясь на известные условия, например на временные интервалы прибытия и ожидания. Это «очередь без сюрпризов»[3].

- Вероятностная очередь не может быть описана без применения вероятностей. Это более реалистичная модель, чем предыдущая. В дождливый день, например, есть большая вероятность того, что увеличатся очереди на стоянках такси и уменьшатся очереди в кассы зоопарка или другие развлекательные учреждения на свежем воздухе[3].

Детерминированная очередь

Рассмотрим основные параметры детерминированной очереди. Первый модуль формируется из прибывающих клиентов. Допустим, они прибывают через регулярные промежутки времени, которые мы обозначим с помощью буквы x. Следовательно, они разделены интервалами размером x. Еще один модуль — обслуживание клиентов. В нашем случае предполагается обслуживание одного человека, за которым находится очередь ожидающих. В нее мы также включаем обслуживаемого в настоящий момент клиента. И, наконец, у нас есть модуль, состоящий из уже обслуженных клиентов, которые уходят с временным интервалом, который мы назовем y.

Анализ модели

В данной модели может быть три различных варианта развития ситуации:

1) x

В этой ситуации ритм прибытия новых клиентов больше, чем ритм обслуживания, то есть частота, с которой клиенты выходят, меньше той, с которой они приходят. Формирование очереди неизбежно, и теоретически ее длина неопределенно увеличивается.

2) x=y

Обслуживание одного клиента заканчивается ровно в тот момент, когда приходит следующий. Если в самом начале нет очереди, то каждый клиент обслуживается сразу же, как только приходит. Но даже если в самом начале и была очередь (которая могла сформироваться на несколько минут раньше, чем открыли пункт сервиса), то ее длина будет постоянной.

3)xy

В этом случае предоставление услуги происходит чаще, чем приходят клиенты. Таким образом, есть тенденция к исчезновению очереди[4].

Автомобильные заторы

Автомобильные пробки долгое время не укладывались ни в одну из математических теорий, которые занимались проблемами очередей. Особенная динамика остановок и начала движения не попадали ни под один знакомый образец. Чтобы победить проблему нового времени, математики прибегли к трем точно отработанным моделям.

Первая рассматривает динамику потока трафика с помощью математических техник, используемых в гидромеханике. Хотя поток воды и кажется равномерным, но с помощью микроскопа можно увидеть, что он состоит из отдельных молекул. Это указывает на определенное сходство с движением машин в автомобильном трафике и позволяет просчитать некоторые модели поведения, возможные при определенных условиях.

Во второй модели для транспортного средства определяются две переменные — скорость и расстояние, отделяющее его от ближайшего к нему автомобиля. С их помощью можно создать так называемую динамическую систему, позволяющую анализировать различные состояния, например, непрерывный поток (идеальный для вождения) или периодическое заведение и заглушение мотора (даже в хаотичном порядке, что характерно для таких систем).

Третья модель использует теорию клеточного автомата — оригинальную идею Станислава Улама и Джона фон Неймана, придуманную ими в 1940-х годах. Она построена на очень простых кинематических программах: вводится некое число виртуальных «багов», способных к определенным простым действиям (движение направо или прямо, остановка, взаимодействие с соседом и т. д.), а затем изучается поведение всей колонны. Такой метод обеспечил интересные результаты в исследованиях автомобильного трафика, так как «баги» изображают транспортные средства и, кроме всего прочего, создают очереди.

"Фантом" - пробки – это те, которые происходят без всяких видимых причин, в отсутствии аварий или дорожных работ. При высокой плотности транспортного потока, даже малые неполадки, такие как слишком долгое и медленное торможение какой-либо машины, провоцируют машины, которые находятся позади, реагировать более решительно. В конце концов, многие водители начинают возмущаться, что за короткий промежуток времени приводит к образованию полноценной пробки. 
В прошлом году эксперимент японских ученых на одной из кольцевых дорог показал, как быстро происходят такого вида пробки. В эксперименте приняли участие несколько автомобилей, которые ехали по данной дороге, при этом поддерживая соответствующую дистанцию от впереди находящихся машин. В результате специалисты выявили, что даже малые задержки в движении очень быстро привели к образованию полномасштабной пробки. При этом, водители не могут сказать, что причины для возникновения пробки не было.

"Уравнения, аналогичные тем, которые используются для описания механики жидкостей, также используются и для понимания работы автомобильных пробок, как самостоятельных волн. Переменные, такие как скорость движения и плотность транспортного потока, используются для расчета условий, при которых формируются подобного вида пробки, а также скорость их роста, - говорят исследователи. 
Математическая формула высчитывает образование автомобильных пробок. Формула, тем не менее, не будет способствовать моментальному рассасыванию пробок, водителям просто придется переждать их. Но это позволит соответствующим структурам предсказать наиболее вероятное место их возникновения. Полученные знания помогут им определить безопасные пределы скорости, а также выявить потенциально аварийно-опасные места в те периоды, когда интенсивность движения самая высокая.
В дальнейшем, это позволит инженерам – проектировщикам дорог создавать такие дороги, трафик на которых будет более безопасным[7].

Ну, а если вы не хотите стоять в пробках и очередях при выборе и покупке дверей для своего дома, квартиры или офиса, то пользуйтесь интернет-магазинами.

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

2.1 Исследование №1.

Существуют ли очереди в математике?

Рассмотрим пример: (24 * 7-377:29)*(2378:58-38).

Чтобы решить этот пример, действия выполняются в строго установленном законами порядке и каждое действие ожидает своей очереди.

Вывод: В математике существует очередность.

2.2 Исследование №2.

Очередь в аэропорту.

1) Как известно. Регистрация начинается за 1,5 часа и заканчивается за 20мин. до вылета. Вместимость самолета - 140 чел. Следовательно, за 70минут необходимо зарегистрировать 140 чел, т. е. на каждого пассажира надо будет затратить по 0,5 мин. В реальности я наблюдал следующую картину. После объявления о начале регистрации к стойке подошли 5 человек, которые зарегистрировались в течение 5мин. За это время подошёл еще 1 чел. За 1час до вылета очередь стала собираться( Приложение 2.фото №1) и каждому пассажиру пришлось стоять от 10 до 15 минут. За 30 минут - очередь увеличилась (Приложение 2. фото №2) и стоять пришлось дольше, что и вызывало беспокойство у пассажиров. За 5 минут до окончания регистрации очередь заметно уменьшилась, у стойки осталось 4 человека. (Приложение 2,фото № 3).

Вывод: Если бы пассажиры приходили вовремя и постепенно, то очередь была бы равномерной, и ждать приходилось приблизительно одно и то же время всем.

2.3 Исследование №3.

Очередь в школьной столовой.

По результатам моего анкетирования 24% учащихся попадают в очередь в столовой. Я пронаблюдал за ней на 3 и 4 переменах. На третьей перемене в основном очередь была из учащихся 5-11 классов, которые питались на 4-ой перемене, но в это же время в очереди находились учащиеся, которые хотели еще получить еду за дополнительную плату. И, конечно же, пятиклассникам добраться до раздачи было трудно. На четвертой перемене питаются учащихся 5-11 классов и некоторые из них за дополнительную плату получают еду (Приложение 3,фото №4), но в это время как раз приходят на обед и учителя, и дети, у которых закончились уроки (Приложение 3,фото№5), но перед внеурочными занятиями желают подкрепиться. Самая большая очередь после 4 урока.

Вывод: За дополнительную плату удобнее всего покупать еду на тех переменах, когда питается класс. Рекомендовать работникам столовой организовать отдельно буфет, в котором могли бы продавать булочки, бутерброды, пиццу, чай, сок. И тогда бы очередь была бы меньше. То есть подтверждается закон Харпера: «если ты переходишь в другую очередь, та, которую ты покинул, начинает двигаться быстрее».

2.4 Исследование №4.

Автомобильные заторы.

По результатам анкетирования в среднем 30% опрошенных попадают в автомобильные заторы на дорогах нашего села. Мною было проведено наблюдение на перекрестках улиц Трактовая и им.50-лет ВЛКСМ, в разное время и в разные дни. (Приложение 4, фото № 8-13)

Вывод: Предложить работникам ГИБДД установить светофоры, чтобы успевало больше количество машин проехать за это время. Так же, порекомендовать автолюбителям в часы загруженности этого участка пути, намечать свой путь движения по другим, более разгруженным улицам . Опять же подтверждается закон Харпера.

2.5 Исследование №5.

Очередь в поликлинике.

По результатам анкетирования в среднем 20% опрошенных попадают в очередь в поликлинике: сначала очередь регистратуре, а затем на приём к врачу(Приложение 5,фото ).

Вывод: Предложить администрации поликлиники ввести талоны на приём по времени, увеличить количество некоторых специалистов.

2.6 Исследование №6.

Очередь в магазине.

По результатам анкетирования в среднем 50% опрошенных попадают в очередь в магазинах и супермаркетах (Приложение 6,фото ). Очередь есть только тогда, когда много людей. Но люди не живут в магазинах, они туда заходят лишь в определённые часы. Огромный наплыв людей в чаще всего происходит после рабочего дня с 17-20 часов.

Вывод: Увеличивать количество касс в супермаркетах, в более мелких магазинах увеличивать количество продавцов в часы максимальной загруженности магазинов. Опять же подтверждается закон Харпера.

1. Математическая модель

Анализируя полученные данные, я пришёл к выводу, что можно создать математическую модель изученных ситуаций:

1. Если за Х обозначить количество регулярно прибывающих участников события через равные промежутки времени, а за У – количество участников, прошедших данное событие за тот же временной интервал, то при условии, что скорость прибытия новых участников события медленнее, чем скорость участвующих в этом событии, то получим следующую модель: ХПри этих условиях очередь неизбежна и длина ее будет увеличиваться.

2. Модель: Х=У. Эта модель говорит о том, что длина очереди будет постоянной или незначительна, потому что только происходит событие Х, наступает событие У или обслуживание одного клиента заканчивается в тот момент, когда приходит следующий.

3. Модель: Х У-очередь не образуется так как событие Х заканчивается, а событие У еще не наступило.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

«Мышление начинается с удивления»,-заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления. В ходе математического исследования, я узнал много нового и интересного. Чтобы проверить свои гипотезы, я читал книги, работал с различными источниками информации в сети Интернет, проводил эксперименты.

Выполняя данную работу, я узнал много нового и интересного.

• Узнал, что первопроходцем в теории очередей был датский математик Агнер Караруп (1878-1929) .

• Узнал, что в теории очередей применяются законы Харпера, Литтла

• Кроме того, я узнал о распределении Пуассона, которое играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

• Изучил модели очередей

• Провёл исследования очередей, которые образуются в аэропорту, в школьной столовой, на улицах нашего села, в больнице и магазинах и супермаркетах.

• Составил математическую модель очередей в зависимости от условий.

Следовательно - моя гипотеза: «Условия создания очередей выражаются через математическую модель» подтвердилась.

Простейшая модель очередей может быть проанализирована с точки зрения только двух переменных: интервал прибытия Х и отправления У, которые будут связаны между собой знаками «=», «» в зависимости от условий.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания: учебник, М.: Машиностроение, 1979. -432 с.

2. Матвеев В. Ф., Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания: учебн. пособие, М.: МГУ, 1984. -242 с.

3. Математический энциклопедический словарь, М., «Советская энциклопедия», 1988. -847 стр.

4. Лифшиц А. Л., Мальц Э. А. Статистическое моделирование систем массового обслуживания: учеб. пособие, М.: Советское радио, 1978.-248 с.

5. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей: учебник, М., 1969. - 368 с.

6. http://ru.wikipedia.org

7. http://dic.academic.ru/dic.nsf/es/46800/Пуассон

8. http://matemonline.com/2013/08/ocheredi-i-zatory/

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1.

Анкета

1. Любите ли Вы стоять в очереди?

1. Да.

2. Нет.

3. Неопределенно.

1. Сколько раз в неделю Вы стоите в очереди?

1. Каждый день.

2. 1-3 раза в неделю.

3. 4 и более раз.

1. Где чаще всего Вы попадаете в очереди?

1. В магазине.

2. Во время движения на транспорте.

3. В больнице.

4. В столовой.

5. При входе в школу.

6. В аэропорту.

1. В какое время Вы чаще всего попадаете в очередь?

1. 7³⁰-12⁰⁰

2. 12³⁰-15⁰⁰

3. 15³⁰-19⁰⁰

4. 19⁰⁰-21⁰⁰

1. Что можно предложить для уменьшения заторов на дороге, очереди в магазинах, очереди в больницах, в столовой?

1. Как вы думаете, можно ли уменьшить число заторов, очередей с помощью математических законов, вычислений и т.д.?

	А	B	C	D	E	F
1.	5/9%	46/85%	3/6%
2.	4/7%	33/62%	16/30%
3.	30/56%	16/30%	13/24%	9/17%	4/7%	2/4%
4.	19/35%	21/39%	15/28%	7/12%

Приложение 2.

2

1

3

Приложение 3.

5

4

Приложение 4.

7

6

Приложение 5.

9

8

Приложение 6.

11

10