Исследовательская работа на тему " Египетские дроби"

Египетские дроби.

Подготовила Иванова Анна.

Египетская дробь  — в математике сумма нескольких (конечного числа) попарно различных дробей вида  1/n   (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число. Пример:  1/2 + 1/3 + 1/16 . Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф:

( ер , «[один] из» или  ре , рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру: ( ер , «[один] из» или  ре , рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру: ( ер , «[один] из» или  ре , рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру: У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката. Например, т ак:

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье.

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci». Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Одним из древнейших письменных документов человечества яв­ляется папирус Райнда, датируемый ориентировочно 1600 г. до н.э. Замечательно, что это также древнейшее математическое сочинение. Древние египтяне записывали рациональные дроби как суммы чи­сел, обратных натуральным: 2/5 = 1/3 + 1/15, 6 / 7 = 1/2 + 1/3 + 1/42 и т. д. Папирус содержит математические задачи и таблицы, пред­ставляющие дроби 2/(2п+ 1), со знаменателями от 5 до 331 в виде суммы дробей с числителем 1. Дроби с числителем единица мы будем называть  египетскими дробями,  а разложение рационального числа в сумму попарно раз­личных египетских дробей —  египетской суммой.  Мы будем рас­сматривать только положительные рациональные числа.

n  1  для которой   . По­том возьмем наибольшую дробь вида  , n  3   n ­ 2  , для которой  и т.д. Если на каждом шаге мы выбираем нечетные n i , то полученный метод будем называть нечетным жадным алгоритмом. Определение 2. Разрешение конфликтов. Пусть   Метод парных замен  . •  Метод подразбиения  . Если какое-либо слагаемое встречается больше одного раза, выполним одну замену, " width="640"

Способы разложения на египетские дроби В этом разделе мы рассматриваем различные способы получить представление рационального числа  в виде египетской суммы. Определение 1. Жадный алгоритм. Выберем наибольшую дробь вида   , которая не превосходит   . Потом возьмем наи­большую дробь вида , n  2   n  1  для которой   . По­том возьмем наибольшую дробь вида  , n  3   n ­ 2  , для которой  и т.д. Если на каждом шаге мы выбираем нечетные n i , то полученный метод будем называть нечетным жадным алгоритмом. Определение 2. Разрешение конфликтов. Пусть   Метод парных замен  . •  Метод подразбиения  . Если какое-либо слагаемое встречается больше одного раза, выполним одну замену,

Алгоритм Фибоначчи .

Спасибо за просмотр!!!