Исследовательская работа по алгебре на тему " Извлечение квадратного корня из числа без калькулятора"

Научное общество учащихся «Эврика»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Истоминская основная общеобразовательная школа»

Научно – исследовательская работа

по математике на тему:

«Извлечение квадратных корней из чисел без калькулятора»

Выполнила: Ряхина Елена

ученица 8 класса

Научный руководитель:

Елфимова Светлана Владимировна,

учитель математики

г. Балахна

2022 год

Введение 3

1. Обзор литературы 5

1.1 История квадратного корня 5

1.2 Теорема о последней цифре квадрата числа 6

1.3 Способ разложения на простые множители 6

1.4 Метод вычетов нечётного числа 8

1.5 Метод отбрасывания полного квадрата 9

1.6 Извлечение квадратного корня уголком 9

1.7 Метод подбора (метод оценки) 11

1.8 Выводы по 1 главе 14

2. Результаты и их обсуждение 15

2. 1 Социологический опрос учащихся 15

2.2 Мои исследования 15

2.3 Мастер-класс по теме «Извлечение квадратного корня из натурального числа уголком» 23

2.4 Выводы по 2 главе 23

Заключение 24

Список литературы 25

Приложения 26

Актуальность исследования. В этом учебном году при изучении темы «Арифметический квадратный корень» мы учились находить значение квадратного корня из числа, используя таблицу квадратов и знания таблицы умножения. (Приложение1) На уроках математики не разрешается пользоваться калькулятором, а таблица квадратов не всегда под рукой, поэтому для меня стала актуальной тема «Извлечение квадратных корней без калькулятора и таблицы квадратов». И на ОГЭ таблица квадратов дается только для двузначных чисел. Проблема: как извлечь квадратный корень из числа, которого нет в таблице квадратов? Как извлекать квадратные корни при решении текстовых задач на ЕГЭ (на профильном уровне таблица квадратов не предлагается)? Эти вопросы и легли в основу исследования, которое для меня стало маленьким открытием.

Цель работы: найти рациональный способ извлечения квадратного корня из натуральных чисел без калькулятора и таблицы квадратов, который можно использовать на уроках и ОГЭ, ЕГЭ

Задачи:

1. Узнать историю квадратного корня

2. Изучить различные способы извлечения квадратного корня из чисел

без калькулятора и таблицы квадратов

1. Научиться применить эти способы для извлечения квадратных корней из чисел без калькулятора и таблицы квадратов

2. Проанализировать и отобрать самые рациональные способы

извлечения квадратного корня из чисел без калькулятора и таблицы квадратов для практического применения

1. Провести анкетирование среди учащихся своего класса

2. Сделать выводы по проделанной работе

3. Провести мастер-класс для своих одноклассников

Объект исследования: математический символ – квадратный корень.

Предмет исследования: способы извлечения квадратных корней из

чисел без калькулятора.

Гипотеза: существуют рациональные способы извлечения квадратных корней из натуральных чисел без калькулятора, которые можно использовать на уроках и ГИА.

Методы исследования: изучение литературы и интернет – источников, анализ, сравнение, обобщение полученной информации, социологический опрос.

Новизна работы: в работе представлен материал, который не изучается в школьном курсе математики.

Практическая значимость: данный материал можно использовать

в 8- 11 классах на уроках, олимпиадах, ОГЭ и ЕГЭ.

Определение квадратного корня: квадратным корень из числа a, — называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади.

Современная форма квадратного корня появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с XIII в., когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R. Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф в 1525 году, который был автором учебника алгебры «Красивый и быстрый счет при помощи искусных правил алгебры»:

Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R.

Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок). Однако некоторое время знак корня писали разрывая верхнюю черту, а именно так: .

Эта черта вскоре слилась со знаком корня.

Самое близкое к современному написанию радикала применял Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1685 г.). Впервые запись корня, полностью совпадающая с сегодняшней, встречается в книге французского математика Ролля «Руководство алгебры», вышедшей в 1690 году. Только через некоторое время после ее написания математиками планеты принята единая и окончательная форма записи квадратного корня:

Если числа, оканчивающиеся цифрами от 1 до 9, возвести в квадрат, то в результате может получиться число, которое может оканчиваться цифрами:

…1²=…1 , …2²=…4, …3²=…9, …4²=…6, …5²=…5, …6²=…6,

…7²=…9, …8²=…4, …9²=…1

Если число, записанное под корнем, оканчивается цифрами 2,3,7,8, то квадратный корень из этих чисел не является натуральным числом.

Поэтому в своей работе я рассматриваю способы извлечения корней из натуральных чисел, которые являются точными квадратами.

Для извлечения квадратного корня можно разложить число на простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

Многие применяют его успешно и считают единственным. Извлечение корня разложением на множители - трудоёмкая задача, которая тоже не всегда приводит к желаемому результату.

Есть одно НО! Способ хорош, если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. Попробуйте извлечь квадратный корень из числа 142129? Разложение на простые множители дает произведение 13*13*29*29. Такие делители подобрать сложно. Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без калькулятора. Но для этого нужно знать признаки делимости.

Признаки делимости:

1)Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

2) Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

3) Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

4) Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

5) Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

6) Число делится на 13, когда разность числа десятков с девятикратным числом, стоящего в разряде единиц, делится на 13.

7) Число делится на 17 когда модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц делится на 17.

8) Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенной цифрой в разряде единиц, делится на 19.

9)Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

10)Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенной цифрой в разряде единиц, делится на 29.

11)Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенной цифры в разряде единиц делится на 31.

12)Число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

13)Число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратной цифры в разряде единиц делится на 41.

Арифметическое извлечение квадратного корня подразумевает под собой, что для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 = 1² = 1

1 + 3 = 2² = 4

1 + 3 + 5 = 3² = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 4² = 16 и т.д.

1 + 3 + 5 + 7 + …+ 15= 8² = 64 , количество нечетных слагаемых равно8

1 + 3 + 5 + 7 + …+33 = 17² = 289, количество нечетных слагаемых равно

17

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий.

Суть метода: из подкоренного выражения нужно последовательно вычитать нечетные числа пока разность не станет равной 0, и посчитать количество вычитаний. Например, посчитаем:

256-1, 255-3, 252-5, 247-7, 240-9, 231-11, 220-13, 207-15, 192-17, 175-19, 156-21, 135-23, 112-25, 87-27, 60-29, 31-31

Общее количество вычитаний равно 16.

Российские ученые называют этот метод извлечения арифметического квадратного корня «методом черепахи» из-за его медлительности.

Этот способ применим только для извлечения квадратного корня из точного квадрата четырехзначных чисел, а алгоритм нахождения зависит от величины подкоренного числа. Выделяем из числа квадрат, который оканчивается той же цифрой, что и данное число.

Извлечение корней до числа . Число 2209 представим в виде суммы, выделив из этого числа квадрат 9, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу сотен первого слагаемого (22) прибавляем всегда 25. Получим ответ 47.

Так можно извлекать только квадратные корни до числа .

.

Извлечение корней после 75²= 5625, вычисляются следующим образом:

.

Этот способ позволяет извлечь квадратный корень из любого числа.

Основой этого способа, является состав числа

  = .

Алгоритм:

1. Разбиваем число (5963364) на пары справа налево (5`96`33`64)

2. Извлекаем квадратный корень из первой слева группы

(  - число 2). Так мы получаем первую цифру числа b.

3. Находим квадрат первой цифры (2²=4).

4. Находим разность первой группы и квадрата первой цифры (5-4=1).

5.Сносим следующие две цифры (получили число 196).

6. Удваиваем первую, найденную нами цифру, записываем слева за чертой (2*2=4).

7.Ищем вторую цифру числа b: удвоенная первая цифра, найденная нами, становится цифрой десятков числа, при умножении которого на число единиц, необходимо получить число меньшее 196 (это цифра 4, 44*4=176). 4 - вторая цифра числа b.

8. Находим разность (196-176=20).

9. Сносим следующую группу (получаем число 2033).

10. Удваиваем число 24, получаем 48.

11.48 десятков в числе, при умножении которого на число единиц, мы должны получить число меньшее 2033 (484*4=1936). Найденная нами цифра единиц (4) и есть третья цифра числа b.

Далее процесс повторяется.

Данный метод эффективно применяется при вычислении квадратных корней из чисел в диапазоне от 100 до 10 000.

Алгоритм извлечения квадратного корня методом оценки.

Рассмотрим пример извлечения квадратного корня из числа 7056.

Шаг №1 - ограничение корней.

6400 ^2 2, 80  

Шаг №2 – «отсев» лишних чисел. У нас есть 10 чисел — «кандидатов» на корень.

Квадратный корень из 7056 обязательно заканчивается на 4 или на 6, получаем:

80

=…4 или  = …6

Известно, что корень лежит в пределах от 80 до 90, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 4 и 6, это числа 84 и 86.

Шаг №3 - финальные вычисления. Итак, у нас осталось 2 числа «кандидата». Чтобы узнать, какое из них является корнем, необходимо взять «золотую середину» - число 85, и возвести его в квадрат 85² = (8∙(8+1))25 = 7225, 7225 7056, значит,   = 84.

А теперь найдём значение . Такое выражение получилось при решении задачи:Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

1. Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 300 до 400, так как  300²=90000   и   400²=160000.

Действительно: .

1. .Т.о., первая цифра - 3.

2. Далее смотрим, где «стоит» это число: ближе к или к ?

Число находится гораздо ближе к . Можно сделать вывод, что результат будет больше 360.

1. Проверим число 370: 370 ∙ 370 = 136900

, так как   .

1. Проверяем число 380: 380 ∙ 380 = 144400

, так как   .

1. Проверяем число 390: 390 ∙ 390 = 152100

, так как   .

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 380 до 390.

Далее используются свойства произведений чисел. Известно, что:

• Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. 

Например, 21 ∙ 21 =441; 19∙19= 361.

• Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. 

Например, 18 ∙ 18 = 324; 22∙22 = 484.

• Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. 

Например, 25 ∙25 = 625.

• Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. 

Например, 26 ∙26 = 676; 14∙14 = 196.

• Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. 

Например, 17 ∙ 17 = 289; 23∙23 = 529.

Так как число заканчивается цифрой 6, то это произведение либо числа 384, либо 386.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 6 в конце.

Проверяем: 384 ∙ 384 = 147456 ; 386 ∙ 386 = 148996

Значит, .

То есть, мы как бы подобрали верный ответ.

При изучении теоретического материала я узнала, что

1)термин корень имеет долгую и сложную историю. Знак корня изображали по-разному. Такие учёные, как Кристоф Рудольф, Рене Декарт, Ньютон и Ролль внесли вклад в изображение знака корня.

2)теорема о последней цифре квадрата числа позволяет определить, будет ли значение корня целым числом.

3)для извлечения квадратного корня из числа можно использовать следующие методы:

-способ разложения на простые множители

-метод вычетов нечётного числа

-метод отбрасывания полного квадрата

-извлечение квадратного корня уголком

-метод подбора угадыванием (метод оценки)

Социологический опрос проводился на базе МБОУ «Истоминская ООШ», среди обучающихся 8 - 9 классов. Всего в анкетировании приняли участие 23 человека. Результаты анкетирования находятся в Приложении 2.

Проанализировав полученные результаты опроса, можно сделать следующие выводы:

1. Все учащиеся 8-9 классов (100%) умеют применять таблицы квадратов натуральных чисел для извлечения квадратного корня из числа.

2.83% участников опроса не умеют извлекать квадратный корень из числа, которого нет в таблице квадратов натуральных чисел.

3.Большинство учеников (74%) не знают способы извлечения квадратного корня из чисел, больших 100, без применения таблицы квадратов натуральных чисел.

4. При ответе на вопрос: «Хотели бы вы узнать способы извлечения квадратного корня из чисел, больших 100, без применения таблицы квадратов?» 74% учеников ответили утвердительно.

В этом разделе я применила рассмотренные способы извлечения квадратного корня из чисел 529; 2304; 7396; 167281. Первых три числа взяла из таблицы квадратов, а последнее число в таблице квадратов отсутствует. Результаты своих исследований занесла в таблицу.

Вывод: на основании полученных результатов я выяснила, что извлечь квадратный корень из натурального числа, которое является полным квадратом, можно, используя следующие методы: метод вычетов нечётного числа, извлечение квадратного корня уголком и метод подбора угадыванием (метод оценки), но самым рациональным оказался метод извлечения квадратного корня уголком. Метод отбрасывания полного квадрата применим только для четырехзначных чисел. Способом разложения на простые множители не всегда можно воспользоваться.

Исходя из результатов социологического исследования, был проведён мастер -класс для обучающихся 8 класса. Ученики познакомились с алгоритмом извлечения квадратного корня из любого натурального числа, оканчивающегося на цифры 1,4, 9, 6, 5. Фотографии с мастер-класса даны в Приложении 3.

На основании проведенного исследования я сделала следующие выводы:

1. В ходе проведенного социологического опроса я выяснила, что все учащиеся 8-9 классов (100%) Истоминской школы умеют пользоваться таблицей квадратов натуральных чисел при извлечении квадратного корня.

2. Выяснилось, что большинство учащихся (83%) не умеют извлекать квадратные корни из чисел, которых нет в таблице квадратов. А также 74% учащихся не знают способы извлечения квадратного корня из чисел, больших 100, без применения таблицы квадратов и хотели бы узнать способы извлечения квадратного корня из числа без калькулятора и таблицы квадратов 74% учащихся 8-9 классов.

3. Выполняя исследовательскую работу, я убедилась, что метод отбрасывания полного квадрата можно применить только для четырехзначных чисел. Способом разложения на простые множители не всегда можно воспользоваться. А метод вычетов нечётного числа, извлечения квадратного корня уголком и метод подбора угадыванием (метод оценки) можно применить для любого натурального числа.

4. В результате проведенных экспериментов, мне удалось выделить самый рациональный метод извлечения квадратного корня из числа без калькулятора и таблицы квадратов – метод извлечения квадратного корня уголком (занимает мало времени в применении и не требует знаний специальных формул и правил).

Подводя итоги исследовательской работы, можно сказать, что я добилась поставленной цели: нашла рациональный способ извлечения квадратного корня из натурального числа уголком. Узнала об истории возникновения знака арифметического квадратного корня, изучила и научилась применять разные способы извлечения квадратных корней из натуральных чисел без калькулятора и таблицы квадратов.

В процессе исследования была проведена работа с источниками информации (анализ и систематизация информации), изучение теоретических материалов, планирование, подготовка и проведение исследования, анализ проделанной работы.

В ходе выполнения своей исследовательской работы мне удалось подтвердить свою гипотезу, что существуют рациональные способы извлечения квадратных корней из натуральных чисел без калькулятора, которые можно использовать на уроках и ГИА.

Проведенные исследования подтвердили, что извлечь квадратный корень из любого натурального числа можно, используя метод вычетов нечётного числа, извлечения квадратного корня уголком и метод подбора угадыванием (метод оценки). Метод отбрасывания полного квадрата применим только для четырехзначных чисел. Не всегда можно воспользоваться способом разложения на простые множители.

Также для своих одноклассников был проведен мастер – класс по теме: «Извлечение квадратного корня уголком».

Работа « Извлечение квадратных корней из чисел без калькулятора» имеет большое практическое значение. Этот материал можно использовать на уроках математики, физики, ОГЭ и ЕГЭ.

1. Колпаков А.И. О знаке квадратного корня. //https://ankolpakov.ru/2011/03/04/o-znake-kvadratnogo-kornya/ (дата обращения 20.01.2022).

2. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7- 9 классов средней школы. – Москва, Просвещение, 1990 г.

3. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.

4. И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990

5. Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980

6. Петраков И.С. «Математические кружки в 8-10 классах»; Книга для учителя.–М.:Просвещение,1987

7. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики».- М.: Наука. Главная редакция физико- математической литературы, 1979

8. Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – М.: Просвещение, 1994г.

9. Жохов В.И., Погодин В.Н. Справочные таблицы по математике.-М.: ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС», 2004.-120 с

10. http://translate.google.ru/translate

11. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm

Приложение 1

Приложение 2

Социологический опрос учащихся

№ 1 – Умеете ли вы пользоваться таблицей квадратов для извлечения квадратного корня из числа?

а) да б) нет

№ 2 – Умеете ли вы извлекать квадратный корень из числа, которого нет в таблице квадратов?

а) да б) нет

№ 3 – Знаете ли вы способы извлечения квадратного корня из чисел, больших 100, без применения таблицы квадратов?

а) да б) нет

№4 – Хотели бы вы узнать способы извлечения квадратного корня из чисел, больших 100, без применения таблицы квадратов?

а)да б) нет

Приложение 3

Мастер – класс по теме: « Излечение квадратного корня уголком»