Исследовательская работа по теореме Пифагора

2

Муниципальный конкурс исследовательских работ учащихся в области естественно-математических наук.

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Новочадовская основная общеобразовательная школа» Атюрьевского муниципального района Республики Мордовия

Направление: математика (общая алгебра)

Тема работы: « Теорема Пифагора»

Автор работы:

Семонченков Никита

МБОУ «Новочадовская ООШ»

7 класс

Руководитель работы:

Семонченкова Прасковья Егоровна

учитель математики

МБОУ «Новочадовская ООШ»

Новочадово, 2019

Оглавление.

1. Введение стр.3

2. Основная часть (исследовательская часть) стр.4-7

3. Заключение стр.8

4. Библиографический список стр.9

5. Приложение стр.10-12

Введение.

Цель работы: выведение способа нахождения сторон египетских треугольников.

Задачи:

1. Найти способ нахождения сторон египетских треугольников;

2. Найти как можно больше таких треугольников.

В этом учебном году со второй четверти я стала изучать новый предмет, который называется «Геометрия». Этот предмет мне очень нравится, и я решила исследовать одну интересную задачу: найти как можно больше египетских пифагоровых треугольников. Треугольники со сторонами 3,4, 5; 8,15, 17; 5, 12, 13 и 7, 24,25 являются прямоугольными, так как 17²=8²+15² или 289= 64+225; 289=289. Решению названных задач было посвящено мое исследование, которым я занималась 2 месяца. Я занималась поиском и сбором информации – изучала печатный материал, работала с материалом в Интернете, обработкой собранными данными. А сколько таких египетских треугольников? Мне стало интересным то, каким путем можно получить таких треугольников, зная, что их очень мало, например, 6 или 7. И я поставила перед собой эту проблему. Если найду хотя бы один способ вычисления сторон египетских треугольников, то обязательно расскажу своим одноклассникам про эту новость. Или будем применять на уроке при изучении этой темы в 8 классе.

Основная часть.

А всё дело в том, что древнеегипетские строители пирамид нуждались в способе построения  прямого угла. Вот требуемый способ. Веревка разбивается на 12 равных частей, границы между соседними частями помечаются, а концы верёвки соединяются. Затем верёвка натягивается тремя людьми так, чтобы она образовала треугольник, а расстояния между соседними людьми составляли бы, соответственно, 3 части, 4 части и 5 частей. В таком случае треугольник окажется прямоугольным, в коем стороны 3 и 4 будут катетами, а сторона 5 - гипотенузой, так что угол между сторонами 3 и 4 будет прямым.

Боюсь, что большинство людей в ответ на вопрос «Почему треугольник окажется прямоугольным?» сошлются на теорему Пифагора: ведь три в квадрате плюс четыре в квадрате равно пяти в квадрате. Однако обратная теорема Пифагора утверждает, что если треугольник прямоугольный, то в этом случае сумма квадратов двух его сторон равна квадрату третьей.

Для своего исследования я вначале изучил вопрос о теореме Пифагора по школьным учебникам «Геометрия 7-9» Атанасяна Л.С. и Руденко В.Н., а также по учебнику Погорелова А.В. «Геометрия 7-11». Рассмотрел в данных учебниках задачи по теореме Пифагора. В Интернете я ознакомился  с практическим применением теоремы и историческими задачами. Вопрос о практическом применении теоремы Пифагора и о самом Пифагоре в школьном учебнике геометрии Атанасяна, по которому занимаюсь я,  не освещен. Упоминается лишь немного о биографии Пифагора и о том, как древние египтяне строили прямые углы с помощью веревки, разделенной на 12 равных частей (3,4,5).

Исследовав литературные источники, я не нашел в них вопроса о способах нахождения египетских треугольников с помощью теоремы Пифагора. Поэтому этот вопрос пришлось изучать самостоятельно.

А

в с² =а²+в ^C

с

С а В а=3, в=4, с=5

3²+4²=5², 9+16=25, 25=25

Пусть,

1 ряд: а=3,в=4,с=5

2 ряд: а=6,в=8,с=10

3 ряд: а=9,в=12,с=15

4 ряд: а=12,в=16,с=20

5 ряд: а=15,в=20,с=25

Если вы заметили, первое число каждый раз увеличивается на 3, второе число - на 4, а третье – на 5. Проверим, выполняется ли равенство по теореме Пифагора? 6²+8²=10² или 36+84=100 или 100=100-выполняется. Значит, треугольник со сторонами 6,8,10 является прямоугольным. Этот треугольник - египетский. Так же можно проверить и пятый ряд: 15²+20²=25² или 225+400=625 или 625=625.

Таким образом, я наше, какие числа стоят в 42 ряду: а=126, в=168, с=210 (126²+168²=210²). Каждый раз, увеличивая в таком порядке, дошел до 70 ряда чисел. Поступая, таким образом, можно найти сколь угодно таких египетских треугольников. Думал, думал, и задал себе вопрос: чему равны

числа а, в и с в двухтысячном ряду? Может, существует какая-то формула для решения этой проблемы? В общем, я долго голову ломал и придумал такой способ: пусть а₁=3, а₂=6, а₃=9 ит.д. Каждое число увеличивается на 3 и увеличенное число обозначим через букву t, t=3. Тогда а₂=а₁+t, а₃=а₁+t+t=а₁+2t=3+2t, а₄=3+3t, получается вот что:

а₅=а₁+4t

а₆=а₁+5t

……….

а₁₀=а₁+9t=а₁+(10-1)t

а₁₀₀=а₁+99t=3+(100-1)*3=3+297=300. Значит, можно найти в₁₀₀=в₁+99*4=4+396=400, зная, что t=4. Так же найти с₁₀₀, зная t=5:

с₁₀₀=с₁+99*5=5+495=500.

Проверим равенство: 300² +400²=500² или 90000+

+160000=250000 или 250000=250000.

Итак, я проверил по этой найденной формуле, чему равны а, в и с в двухтысячном ряду?

а₂₀₀₀=а₁+(2000-1)*3=3+1999*3=2+5997=6000

в₂₀₀₀=в₁+(2000-1)*4=4+1999*4=4+7996=8000

с₂₀₀₀=с₁+(2000-1)*5=5+1999*5=5+9995=10000

Проверим, выполняется ли равенство?

6000²+8000²=10000²

36000000+64000000=100000000

100000000=100000000. Ура!!! Я добился своей цели: вывел формулу для нахождения сторон египетских треугольников.

Вывод.

Таким образом, египетских треугольников со сторонами а, в и с – бесконечное множество, если а_n=а₁+(n-1)*t,

где t- увеличенные числа, а именно: 3,4 и 5.

Заключение.

Математическое исследование, проведенное мною, оказалось не только интересным, но и полезным. Своей работой я удовлетворен полностью, так как эта задача для меня была повышенной сложности. Главное не результат, а сам процесс этой работы (сбор информации, попытка самостоятельно разобраться в незнакомой мне задаче).

Ур-ра! Я нашел один способ нахождения сторон египетских треугольников!

Библиографический список.

1. Журнал МШ №13, 2008 год, «Проектная деятельность»

2. Журнал МШ №20, 2009 год, «Об организации исследовательской деятельности школьников»

3. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина

«Геометрия 7-9», Москва «Просвещение» 2015 г.

1. «Геометрия 7-11», М, «Просвещение» 2015 г.

Приложение.

а в с

135 180 225

3 4 5 138 184 230

6 8 10 141 188 235

9 12 15 144 192 240

12 16 20 147 196 245

15 20 25 150 200 250

18 24 30 153 204 255

21 28 35 156 208 260

24 32 40 159 212 265

27 36 45 162 216 270

30 40 50 165 220 275

33 44 55 168 224 280

36 48 60 171 228 285

39 52 65 174 232 290

42 56 65 177 236 295

42 56 70 180 240 300

45 60 75 183 244 305

48 64 80 186 248 310

51 68 85 189 252 315

54 72 90 192 256 320

57 76 95 195 260 325

60 80 100 198 264 330

63 84 105 201 268 335

66 88 110 204 272 340

69 92 115 207 276 345

72 96 120 210 280 350

75 100 125

78 104 130

81 108 135

84 112 140

87 116 145

90 120 150

93 124 155

96 128 160

99 132 165

102 136 170

105 140 175

108 144 180

111 148 185

114 152 190

117 156 195

120 160 200

123 164 205

126 168 210

129 172 215

132 176 220

Последний ряд: 210 280 350 - семидесятый ряд чисел, которых нашел способом сложения чисел 3, 4 и 5.

Сотый ряд чисел: 300 400 500 – нашел по формуле.

Двухтысячный ряд чисел: 6000 8000 10000 –