Исследовательская работа "Танграм: от игры к знаниям"

Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся

«Юный исследователь»

Направление: математика

Тема: «Танграм: от игры к знаниям»

Конев Ефим

МКОУ Ангарская школа, Богучанского района

Руководитель:

учитель математики

Камскова Елена Ивановна

г. Обнинск, 2022 учебный

Аннотация

Исследовательская работа проблемно-реферативного вида посвящена одному из видов занимательных задач - игре Танграм. В работе указываются не только правила игры, но и применение её к получению знаний по математике. В ней рассматриваются н фигуры и способы их получения: схема, контур, готовые задачи-фигуры. Также разобраны положения, которыми нужно пользоваться, чтобы правильно составлять фигуры, состоящие из 7 танов. Кроме того, эти занимательные задачи можно использовать для досуга, применение их в качестве заданий в предметных неделях по математике. В работе отмечено, что подобные задания не требуют глубоких математических знаний и их можно использовать как для детей, так и для взрослых.

Руководитель работы /Камскова Е.И./

2

Содержание

Введение 3

Глава I Общие представления об игре - головоломке Танграм

§ 1 История происхождения игры Танграм 5

§2 Специфика игры Танграм 6

Глава II Геометрическая основа игры Танграм

§ 1 Задачи на построение фигур 9

§2 Задачи на определение площади фигур 11

§3 Задача на нахождение части от числа 13

§4 Задачи на взаимосвязь элементов-танов 14

Заключение 15

Список использованной литературы 17

3

Введение

Мы знаем, что есть много игр головоломок. Одна из них, игра Танграм, которая появилась в начале 19 века. Эта игра развивает логическое мышление и воображение.

Танграм образуется путем разрезания квадрата на семь частей, называемых танами. Эти части складываются таким образом, что из них получается множество различных изображений людей в движении, животных, геометрических фигур. Задача головоломки состоит в том, чтобы получилась определенная фигура.

Актуальность темы заключается в том, что учиться математике интереснее, если в её основе лежит игра. И именно для формирования познавательного интереса и применяется игра-головоломка Танграм.

Цель исследования - использование игры-головоломки Танграм в качестве наглядного и геометрического материала.

Цель обусловила постановку следующих задач:

1) изучить историю происхождения игры-головоломки Танграм;

2) проанализировать специфику игры Танграм

3) научиться решать задачи, применяя игру-головоломку Танграм.

Проблемой настоящего исследования является то, что в настоящее время на уроках математики недостаточное внимание уделяется игре. Таким образом, мы можем выдвинуть следующую гипотезу: возможно ли с помощью игры (на примере игры Танграм) изучать основы геометрии.

Предмет исследования - игра-головоломка Танграм.

Объект исследования - геометрическая основа игры-головоломки Танграм.

Материалом исследования явились задачи Танграм со всего мира. Методом эксперимента было создано 100 фигур.

Ведущим в исследовании является метод анализа. Активно использовались такие приемы, как интерпретации и классификации. При составлении фигур был использован количественный метод.

Структура исследования

Данное исследование состоит из введения, в котором обозначена актуальность, цель, задачи работы, двух глав, заключения. Список литературы включает 10 источников.

Для исследования на первом этапе необходимо было изучить специфику математических игр, связанных с разрезанием фигур на части.Такие задачи встречаются в занимательной математической литературе, такой как «101 головоломка»

4

Я.И.Перельмана, «За страницами учебника математики» И.Я.Депмана. Выделив одну из игр-головоломок, Танграм, обратился к источникам, освещающим историю развития этой игры. Из книг Джерри Слокума «Игры на логику. Танграм», Камаева П.М. «Сеть хитроумных фигур или Танграм» узнал о распространении игры от Китая до Европы. На следующем этапе проанализировал пути составления танграм из источников: Слокум «Игры на логику. Танграм», Ткачева М.В. «Домашняя математика». Оказалось, есть 3 пути составления танграм:

1. По схеме: данному подходу посвящены материалы из книг: Выгонов В.В. «Начальная школа», Шарыгин И.Ф. «Наглядная геометрия»

2. По контуру, что является более сложным заданием. Данный подход освещен в источниках: Слокум Дж. «Игры на логику. Танграм», Мадышева Е.И. «Энциклопедия развивающих игр»

3. По рисункам: материал найден: Слокум Дж. «Игры на логику Танграм». В практической части было создано 100 фигур-задач. Основным источником была книга Слокум Дж. «Игры на логику Танграм» Геометрический материал был взят из журнала «Математика в школе», а также в книге Тарабариной Т.И. «И учеба, и игра: математика» Таким образом, обзор литературы показал, что на сегодняшний день игра-головоломка Танграм может заинтересовать учащихся во внеклассной работе по математике, также быть наглядным материалом для изучения предмета математики.

5

Глава I ОБЩЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБ ИГРЕ-ГОЛОВОЛОМКЕ ТАНГРАМ

§ 1 История происхождения игры Танграм

Дату появления первой головоломки Танграм можно определить по рукописной надписи, сделанной на обитой шелком картонной коробочке с вырезанной из слоновой кости головоломкой, которую подарили Френсису Валну, третьему ребенку крупнейшего судовладельца императора Филадельфии Роберта Вална – 4 апреля 1802 года.

Самые ранние описания Танграм встречаются в китайских книгах головоломок, вышедших в 1813 году с 334 фигурами-задачами. Копия такой книги была обнаружена в Японии в 1813 году, включая обложку и 130 задач. Японская копия с текстом, напечатанным красным, была опубликована в 1839 году. [Слокум, 2005.С.23]

Восемь книг Танграм были опубликованы в Китае в 1858 году, в которых содержались 789 задач и решений к ним, более того, 345 задач оказались совершенно новыми. По-китайски «танграм» означает «семь искусных планов» или «картина с использованием семи умных частей».

Две книги Танграм, сделанные из слоновой кости и дерева, были переданы капитану корабля «Трейдер» М.Доннальдсону в октябре 1815 года и были доставлены в Англию и Европу. Фигуры-задачи были отпечатаны на бумаге красивой китайской киноварью ярко-красного цвета, семь частей красиво вырезаны из импортного дерева, слоновой кости или перламутра, и все это было заключено в черные позолоченные лакированные коробочки.

Самым ранним изданием Танграм за пределами Китая является набор под названием «Китайская головоломка», автором которой был Джордж Лошар из Лондона. Первая книга Танграм на континенте была издана Гроссаном в Париже 19 июля 1817 года под названием «Китайские загадки». «Лихорадка Танграм» достигла своего пика во Франции в первой четверти 1818 года. Первая итальянская книга Танграм, изданная в 1817 году, представляла собой копию британской книги Уолисса. Но в 1818 году Дж. Ланди создал прекрасное издание со ста миниатюрными изображениями различных архитектурных сооружений, где изображение каждой задачи представляло прекрасную картину [Слокум, 2005.С.56]

Германия была очарована головоломками, когда в 1818 году вышли в свет многочисленные публикации, в том числе два великолепных, раскрашенных вручную набора карточек с картинками-задачами.

Таким образом, игра-головоломка Танграм прошла путь развития, начиная с начала 19 века и до наших дней.

6

§ 2. Специфика игры-головоломки Танграм

Игра Танграм имеет свои особенности:

1. Фигуры выглядят очень просто, но оказывается из них трудно составить задачу.

2. Ранние фигуры-задачи напоминали предметы, которые можно довольно легко узнать, причем иногда в комичных формах.

3. Производить Танграм просто и недорого (7 легко получаемых частей и листы с задачами).

4. Возможно создание собственных композиций.

5. Инструкции по использованию Танграм просты.

6. Не было необходимости уметь читать, чтобы пользоваться книгами Танграм и решать задачи.

7. Танграм первоначально считался игрой для взрослых.

8. Сама головоломка и ее разновидности рекламировались как вспомогательной средство обучения геометрии.

9. Очень быстро появились дешевые головоломки Танграм и недорогие книги с текстами задач.

10. Несмотря на то, что Танграм представляет собой индивидуальную головоломку, он быстро стал коллективной игрой, даже соревнованием.

Как и все игры Танграм имеет свои правила:

1. В каждую фигурку должны входить все семь фрагментов.

2. Кусочки должны тесно примыкать друг к другу без пробелов и никогда не налегать друг на друга даже краешком.

В Неделе математики я с друзьями показал математическую сказку «Пусть оживут фигуры» и познакомил учащихся с игрой Танграм, используя электронную версию игры.

«Давным-давно существовал такой мир, в котором все состояло из квадратов: дома, звери, птицы, деревья... В этом квадратном мире жили очень любознательные мальчики и девочки.

Однажды, прогуливаясь по улице и наблюдая за всем, что происходило вокруг, мальчик подумал: «Интересно, неужели существует одна геометрическая фигура квадрат?». Он тут же подбежал к девочке и спросил: «Почему все вокруг состоит только из квадратов?». Она задумалась, но быстро ответила: «Потому что так было всегда!» Та

7

кой ответ не устроил мальчика, и он решил понаблюдать за тем, что происходило вокруг. Каково же было удивление, когда однажды утром он увидел бабочку, и она была такой:

Рис. 1. Бабочка (состоит из двух частей исходного квадрата).

Очень обрадовался мальчик, когда познакомился с новой фигурой – треугольником, и понял, что в мире существуют не только квадраты, но и другие геометрические фигуры.

В другой раз, играя на берегу реки, мальчик увидел кораблик:

Рис 2. Кораблик состоит их двух частей исходного квадрата

А затем и рыбку, которая выглядела так:

Рис 3 Рыбка составлена из 3 частей исходного квадрата

К огда в следующий раз мальчик прогуливался по лесу, он увидел ель (рис 5)

Рис 5 Ель составлена из трех частей исходного квадрата и необычный цветок» рис.6 Рис 6 Цветок состоит из семи частей исходного квадрата

8

Исходный квадрат разбился на семь геометрических фигур, из которых можно составлять множество различных изображений.

Созвал он всех любознательных мальчиков и девочек, и начали они открывать для себя Танграм - увлекательную головоломку. Конечно, складывать фигуры не так просто, ведь недаром Танграм - это головоломка. Чтобы привыкнуть к обращению с Танграм, перемешали дети семь частей (переворачивать нельзя) и постарались сложить исходный квадрат. Это у них получилось, и тогда мальчики решили собрать из этих частей девочку»:

рис 7 Девочка составлена из 7 частей исходного квадрата

Таким образом, на примере данной сказки я увидел, что с помощью игры Танграм можно развивать воображение, логику и мышление.

М

Рис. 8 Схема.

ною был проведен эксперимент, в котором приняли участие учащиеся 5 и 6 классов. Имея игру Танграм, нужно было создать фигуру-задачу. Участвовали 8 человек. 2 учащихся создали свою фигуру за 10 минут. 6 учащихся смогли создать фигуру только по предложенной нами схеме; на это им понадобилось около 3-х минут. 2 ученика собирали фигуру по контуру (на это ушло в среднем 5 минут).

Анализ полученных результатов

Легче всего было собирать фигурку из танов по схеме, Рис.9 Контур

потом по контуру; создавать свои фигуры с первого раза оказалось не всем под силу.

Поэтому свою работу мы начали со складывания фигур-задач по готовым схемам. Нетрудно сложить фигурку, когда знаешь, как она составляется и куда необходимо положить нужный элемент, то есть, работая по схемам.

Работа усложняется и становится более интересной, если составлять фигурки без схемы складывания - только по контуру (приложение 1). Не каждую такую работу можно сделать быстро. Первая задачка-фигура была сделана мною по схеме за 3 минуты, по контуру - за 20.

Т ретий вариант работы – готовые фигуры-задачи.

Для таких заданий необходима не только сообразительность, но и большое терпение. Бывает, что простая на вид фигура вызывает большую сложность в исполнении. В ходе работы мною было составлено 100 фигур-задач, которые разделил на группы: животный мир, предметы быта, люди.

О

Рис. 10 Фигура-задача

собенно интересно было передавать танами движение людей, животных, музыкантов. В изготовлении фигур мне помогали баба, деда, дядя. Но отдельные фигурки я решил объединить в композиции (приложение 2), инопланетян (приложение 3). Каждая фигура была узнаваема, проста, иной раз смешна. Игра обретает новый смысл, если исходные квадраты выполнены из бумаги разных цветов и размеров. Так появилась композиция «Ферма» (приложение 4).

Следующим открытием были «парадоксальные хитрости», которые указывают на парадоксы двух фигур-задач, кажущихся почти одинаковыми, за исключением того, что у одной из них имеется или отсутствует какая-либо дополнительная часть. Тем не менее, все эти фигуры образуются с помощью всех частей головоломки (приложение 5). Интересным решением задач-головоломок явились нарисованные портреты людей и красиво выполненные изображения птиц, по которым нужно было составлять Танграм (приложение 6).

9

Г лава II ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОСНОВА ИГРЫ ТАНГРАМ

§1 Задачи на построение фигур.

Из этих семи кусочков разрезанного квадрата можно не только складывать забавные фигурки, но и получать сведения по геометрии.

1. Составить из семи фрагментов головоломки

а) параллелограмм б) треугольник

в) прямоугольник г) трапеция

2. Сложить из пяти частей головоломки параллелограмм

3. Сложить из четырех частей трапецию:

4. Из фрагментов головоломки сложить квадрат, состоящий из: а) двух частей, б) трех частей, в) четырех частей

10

5. Составить из трех частей головоломки треугольник. Предположить различные решения.

6. Составить из фрагментов головоломки многоугольники разного вида

11

§2. Задачи на определение площади фигур

Пусть площадь квадрата «4» равна 1. Все задачи решаю, составляя и разбирая фигуры.

1. Используя квадрат «4» в качестве измерения, вычислю площадь всех различных фигур, из которых состоит Танграм.

а) Определить площадь  «3». Замечу, что два таких треугольника образуют квадрат «4», следовательно, площадь треугольника «3» равна 1/2.

б) Определить площадь  «2». Замечу, что данный треугольник можно составить их двух треугольников «3», следовательно, его площадь равна 1.

в) площадь параллелограмма «5» находится аналогично и его S равна 1.

г)  «1» можно составить различными способами, и его площадь равна 2.

2. Вычислить площадь квадратов, составленных из двух частей головоломки (а) (б)

Определю площадь квадрата на рис. a: S=Sl+Sl=1+1=2 Определю площадь квадрата на рис. б: S=S3+S3+S2=2

3. Вычислить площадь каждого из квадратов, составленных из четырех частей головоломки:

12

(а) (б) (в)

а) S=Sl+S3+S3+S2=4

б) S=Sl+S3+S3+S4=4

в) S=Sl+S3+S3+S5=4

4.Вычислить площадь квадрата, составленного из пяти частей головоломки:

S 5=S3+S3=1

S4=l S2=S3+S3=1

S3⁼1/2

Тогда площадь квадрата S=S4+S3+S5+S2=1+ ¹/₂+¹/₂+1+1=4

5.Вычислить площадь исходного квадрата Танграм: S4=l

S3=¹/₂ S5=S3+S3=1 S2=S3+S3=1

Sl=S3+S3+S2=¹/2+¹/2+l=2, тогда исходный квадрат головоломки имеет площадь: S=Sl+Sl+S3+S3+S5+S4+S2=2+2+¹/₂+¹/₂+l+l+1=8

Сопоставляя результаты, можно сделать вывод, что все фигуры, сделанные из 7 элементов, имеют одинаковую площадь, так как составлены из одного и того же числа элементов. Как ни различны фигуры, сложенные из одного квадрата, они равны ему по площади. Фигуры, имеющие одинаковые площади, называют равновеликими. Все сложенные фигурки не равны, но равновелики.

13

§3 Задача на нахождение части от числа

Рассмотрю, какую часть от исходного квадрата составляет каждый из его танов. «1» - ¼; «2» - 1/8; «3» - 1/16; «4»- 1/8; «5» - 1/8

Возьмем квадрат со стороной 8см. Найти площадь каждой его фигуры.

Площадь исходного квадрата: S=8∙8=64 см²

Sl=64:4·1=16см²

S2=64:8·1=8 см²

S3= 64:16·1=4 см²

S4=S5=S2=8 см²

14

§4. Задачи на взаимосвязь элементов-танов

1. Нахожу углы фигур, составляющих Танграм.

Диагональ квадрата делит угол в 90°.

Треугольник «1» имеет 2 угла по 45°, один угол 90°;

б) треугольник «3» тоже имеет два угла по 45°, один 90°;

в) в треугольнике «2» два угла по 45°, один 90°.

Все треугольники имеют один угол прямой, поэтому они прямоугольные.

г) В параллелограмме «5» два угла острых и два угла тупых. Острые углы - по 45°, тупые 180°-45°= 135°.

Так как в основе элементов головоломки лежат углы 90° и 45°, то треугольники других видов составить невозможно.

2 . Находим стороны фигур.

Предварительно рассмотрим  «1», «2», «3». У всех них есть 2 равные стороны, то есть они равнобедренные и их стороны имеют названия катета и гипотенузы.

а) У треугольников «1» гипотенузы равны стороне исходного квадрата, а катеты - половине диагонали исходного квадрата.

б) У треугольника «2» катеты равны половине стороны исходного квадрата, а гипотенуза половине диагонали исходного квадрата.

в) В треугольниках «3» гипотенузы равны половине стороны исходного квадрата, а катеты - четвертой части диагонали исходного квадрата.

г) Сторона квадрата «4» равна четвертой части диагонали исходного квадрата.

д) Одна сторона параллелограмма равна половине стороны исходного квадрата, а другая - четвертой части диагонали исходного квадрата.

е) В основе происхождения Танграм лежит теорема Пифагора, - так говорится во введении к самой ранней из известных китайских книг Танграм, написанной в 1813 году.

В самом раннем доказательстве теоремы Пифагора используется метод разрезания двух деревянных квадратов и складывания этих частей одного большого квадрата. Такой же подход можно использовать и для Танграм.

Сложим один квадрат из двух больших , и еще один квадрат, такого же размера, из пяти оставшихся частей. Таким образом, доказывается теорема Пифа

15

гора для прямоугольного  с двумя равными катетами. Это также известно всем любителям головоломки Танграм, поскольку самая обычная упаковка для головоломки представляет собой квадратную коробку, в которую части головоломки укладываются в 2 слоя: один слой из двух больших треугольников, а второй из оставшихся пяти частей, прекрасно складывающихся в еще один квадрат.

16

Заключение

В ходе исследования пришёл к следующим выводам: игра Танграм как головоломка своей занимательностью охватила всю Европу в начале 19 века. Она развивала логическое мышление, была красиво оформлена, чем привлекала любителей головоломок.

Работа над фигурами-задачами занимает много времени, но так захватывает, что трудно от нее оторваться.

Специфика игры-головоломки Танграм состоит в разрезании квадрата определенным образом на 7 частей и в составлении из него фигурок, опираясь на правила:

1. все 7 частей входят в фигуру,

2. кусочки тесно примыкают друг к другу без пробелов и не должны налегать друг на друга.

Подводим постепенно к игре Танграм, разрезая квадрат на части, с помощью геометрической сказки «Пусть фигуры оживут», дойдя до 7 частей, то есть усложняя с каждым этапом.

Мною было создано 100 фигур, которые были разделены на группы: живой мир (насекомые, животные), предметы быта (свечи, факел, утюг, кружка, курительная трубка, самовар и т.д.), люди в движениях, инопланетяне, оркестр, ферма (кролик, лошадь, петух, гусь, поросенок, хозяйка, домик).

В практической части фигуры составлялись по схеме, по контуру, по рисунку. Собственные работы были тоже интересны, но еще я узнал о задачах-парадоксах.

Игра-головоломка Танграм имеет математическую основу. В процессе работы приобретаются новые знания и закрепляются уже полученные в курсе математики. Благодаря решению задач с разрезанными фигурами материал усваивается более осознанно и задачи решаются легче. Материал выходит за рамки изучаемого программного материала 4 класса.

В исследовании я решил составить свои задачи, при решении которых можно использовать игру-головоломку Танграм.

1. Задачи на построение фигур.

Составить из 7 фрагментов головоломки прямоугольник:

1. Задачи на определение площади фигур.

2. Используя квадрат «4» в качестве измерения, вычислить площадь треугольника «3». Она равна 1/2.

3. Задача на нахождение части от числа.

Какую часть от исходного квадрата составляет каждый из его танов:

«1»-1/4 «2»-1/8 «3»-1/16

«4»-1/8 «5»-1/8.

Возьмем квадрат со стороной 8 см. найти площадь каждой из его фигуры. Площадь исходного квадрата равна S= 8·8=64 см²

1. = 64:4·1=16 см²

2. = 64:8·1=8 см²

3. = 64:16·1=4 см²

4. = S5=S2=8 см²

1. Задачи на взаимосвязь элементов танов: находим углы треугольника «3»: два угла по 45º, один угол 90º

Таким образом, исследование показало, что можно использовать игру-головоломку Танграм при изучении математического материала.

17

Список использованной литературы

1. Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Все об оригами. - СПб.ЮОО «СЗКЭО Кристалл», 2004.

2. Выгонов В.В. Начальная школа. - М.: Первое сентября, 2002.

3. М.В.Мячина. конструирование из бумаги на уроках математики // Математика в школе, 2006,№9.

4. Камаев П.М., Камаев П.П. Семь хитроумных фигур или Танграм. -М.:Архимед,2004.

5. Малышева Е.И. Энциклопедия развивающих игр. - М.,2004.

6. Слокум Дж. Игры на логику Танграм.-М.,2005

7. Перельман Я.И. 100 головоломок. - М.,2007

8. Тарабарина Т.П., Елкина Т.В. И учеба, и игра: математика. -Ярославль: Академия развития, 1997.

9. Ткачева М.В. Домашняя математика. - М.,1993.

Ю.Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. наглядная геометрия. - М.:МИРОС, 1995.

Композиция «Инопланетяне»

Композиция «Ферма»

Приложение 5.

Приложение 6.