Исследовательская работа ученицы 9 класса Аде Елизаветы

Районная научно-практическая конференция школьников

«К вершинам знаний»

Секция «Естественно-математические дисциплины»

Тема:

«Построение углов с заданной градусной мерой»

Выполняла: Аде Елизавета Витальевна

ученица 9 «А» класса

МБОУ Лицея №2

Руководитель: Иванова Елена Петровна,

учитель математики высшей квалификационной категории

Купино 2015 г.

Содержание

1.Введение……………………………………………………………3

2. Построение углов с заданной градусной мерой

без исходных данных…..................................................................5

3. Построение углов с заданной градусной мерой

на основании данных углов………………………………………6

4. Вывод…...........................................................................................10

5. Литература……………………………….………………………..10

1.Введение.

Задачи на построение – это задачи, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений.

Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Они возникли из-за хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией.

Самые первые задачи на построение решались непосредственно на местности и заключались в проведении прямых линий и построении прямого угла.

К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм сооружения и его наибольшей вместимости. Задачи на построение помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формировались в виде «практических правил», исходя из наглядных соображений. Именно эти задачи и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др.

Однако практические правила первых землемеров, архитекторов, астрономов еще не составляли настоящей геометрии как дедуктивной науки, основанной на теоретических построениях и доказательствах. Задачи на построение нашли широкое распространение в древней Греции, где впервые создалась геометрическая теория в систематическом изложении.

В школьном учебнике геометрии встречаются тоже задачи на построение, меня заинтересовали задачи, в которых требовалось построить углы с заданной градусной мерой без исходных данных и построить углы с заданной градусной мерой на основании данных углов. Изучив учебники по геометрии, я постараюсь решить данные задачи с помощью циркуля и линейки, как это делали древние учёные Египта.

Гипотеза:возможно ли построить все углы предложенные авторами учебников по геометрии с помощью циркуля и линейки.

Объектом исследования являются задачи учебного цикла по геометрии на построение углов с заданной градусной мерой.

Предмет исследования – углы с заданной градусной мерой.

Цель: построить все углы с заданной градусной мерой с помощью циркуля и линейки.

Задачи:

1. Изучить научную литературу; научные публикации по данной теме.

2. Исследовать школьные учебники на наличие задач на построение.

3. Построить углы с заданной градусной мерой без исходных данных.

4. Построить углы с заданной градусной мерой на основании данных углов.

5. Создать презентацию по данной теме.

2. Построение углов с заданной градусной мерой без исходных данных

1) Построение угла в 60 градусов

Так как в равностороннем треугольнике каждый угол по 60, поэтому, чтобы получить такой угол, воспользуюсь построением равностороннего треугольника.

1.Построим прямую

2.Отметим на ней произвольно две точки А1, B1

3. Измерим циркулем отрезок A1B1

4. Не меняя раствор циркуля, построим окружность с центром в точке А1

5. Не меняя раствор циркуля, построим окружность с центром в точке B1

6. Эти окружности пересекутся в точке С

7. треугольник А1B1C –равносторонний.

8.СА1В1=60 - искомый.

1. Построение угла в 30.

1.Построим прямую

2.Отметим на ней произвольно две точки А1, B1

3. Измерим циркулем отрезок A1B1

4. Не меняя раствор циркуля, построим окружность с центром в точке А1

5. Не меняя раствор циркуля, построим окружность с центром в точке B1

6. Эти окружности пересекутся в точке С

7. Получился равносторонний треугольник А1B1C, в котором все углы по 60

8. Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке А1, она пересекает сторону А1С в точке N и сторону А1B1 в точке М

9. Построим окружность такого же радиуса с центром в точке N

1. Построим окружность такого же радиуса с центром в точке М

2. Эти окружности пересекутся в точке K

3. A1K – биссектриса угла СA1B1

4. KA1M= 30- искомый.

3) Построение угла в 90.

1. Построим прямую а

2. Возьмем точку О, не лежащую на прямой

3. Построим окружность с центром в точке О, пересекающую прямую а в точках F иM

4. Не меняя раствор циркуля, построим окружность с центром в точке F

5. Не меняя раствор циркуля, построим окружность с центром в точке M

6. Окружности пересекутся в точке N

7. ON– перпендикуляр к прямой а

8.ОАМ=90-искомый.

1. Построение угла в 30 и 60

Рассмотрю ещё один способ построения данных углов, используя прямоугольный треугольник.

1. Построим прямую а

2. Возьмем точку О, не лежащую на прямой

3. Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке О, которая пересекает прямую в точках M и N

4. Не меняя раствор циркуля, построим окружность с центром в точке М

5. Не меняя раствор циркуля, построим окружность с центром в точке N

6. Окружности пересекутся в точке F

7. OF – перпендикуляр к прямой, значит угол CAN равен 90

8. Возьмем точку K, лежащую на прямой

9. Измерим отрезок AK

10. Построим такой же отрезок KL

11. Измерим отрезок AL

12. Поставим циркуль в точку K и проведем окружность, которая будет пересекать прямую FC

ACK= 30, так как катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы.

По теореме о сумме углов в треугольнике найдемAKC, он будет 60.

5) Построение угла в 67

1. Построим прямую а

2. Построим АР - перпендикуляр к прямой а

3. Построим биссектрисуРAM,KAM= РАК=45

4. Построим биссектрису РAK, КАО = 22

5.ОАМ – искомый.

ОАК + КАМ =67, 45+ 22= 67.

6) Построение угла в 11

1. Построим прямую а

2. Построим ОВ - перпендикуляр к прямой а

3. Построим биссектрису ОВС, OBD=DBC= 45

4. Построим биссектрису DBC, DBF=FBC= 22

5. Построим биссектрису FBC

6.NBC= 11 - искомый.

3.Построение углов с заданной градусной мерой на основании данных

углов

1. Дан угол54, надо построит угол 18.
   
   
   

1. Построим окружность, точка О – центр окружности

2. ПостроимROM =54

3. Измерим циркулем дугу RM

4. Не меняя раствор циркуля, ставим ножку в точку М и строю 6 дуг с данной градусной мерой.

В сумме они дают 324

1. NOR= 36

2. Построим биссектрису ОР,NOR.

3. POR= 18- искомый.

2) Дан угол 34 градуса, надо построить угол 12 градусов.

1. Построим прямую а

2. Отложим на ней отрезок АВ

3. Построим равносторонний треугольник ABD, в нем все углы равны 60.

4. Построим биссектрисуDAB – АС,DAC=CAB= 30.

5. ПостроюFAB=34 (он мне дан).

6. FAC=FAB-CAB=4.

7. На окружности с центром в точке А построю этот угол 3 раза.

8. CAР = 12- искомый.

Вывод: все углы с заданной градусной мерой, предложенные в учебнике геометрии, я смогла построить с помощью циркуля и линейки. Строить данные углы таким способом трудоёмкий процесс, но могу сказать, что очень интересный. Используя прибор для измерения углов (транспортир), эти задачи решаются просто. Для себя поставлю ещё одну задачу - построить углы с другими данными, если кого-то заинтересовал данный материал присоединяйтесь.

Литература

1. Л.С. Атанасян - Геометрия 7-9 классы – М: Просвещение, 2004

2. Г.И. Глейзер– История математики в школе. Пособие для учителя. – М: Просвещение, 1981

3. Сведения из истории геометрии 9 класс. Целиноград, 1988

4. А.Д. Александров - Геометрия 7-9 классы – М: Просвещение, 2012

5. В.Т. Базылев – Геометрия в 2-х частях - М: Просвещение, 1986