СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до 21.06.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Исследовательский проект "Исследование свойств арифметической прогрессии и применение их при решении задач"

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Просмотр содержимого документа
«Исследовательский проект "Исследование свойств арифметической прогрессии и применение их при решении задач"»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Лицей при ДГТУ №50









Проект:

«Исследование свойств арифметической прогрессии и применение их при решении задач»

























г. Миллерово

2022 г.

Содержание

Введение………………………………………………………………….……………

Основная часть

1. Числовые последовательности: история возникновения, основные понятия

1.1 О числовых последовательностях ………………..…………………………….

1.2 Арифметическая прогрессия в древности………………………………..……



2. Арифметическая прогрессия: основные понятия и формулы

2.1 Последовательность … …………………………………………………………

2.2 Арифметическая прогрессия: основные определения……….………………

2.3 Формула n-го члена арифметической прогрессии……………………………

2.4 Исследование арифметической прогрессии…………………………………

2.5 Свойство и признак арифметической прогрессии……………………………

2.6 Сумма первых n членов арифметической прогрессии……………………….



3. Применение числовых последовательностей в различных областях знаний

3.1 Задачи с практическим содержанием из учебников по алгебре…………….

3.2 Арифметическая прогрессия  в банковских расчетах, литературе и исторических задачах………………………………………………………………………… ……

Заключение…………………………………………………………………………

Список литературы…………………………………………………………………












«Высшее назначение математики состоит в том,

чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает»

Винер Н.

Введение


На уроках алгебры 9 класса изучается тема «Арифметическая прогрессия».  Важность этой темы школьного курса заключается в ее чрезвычайно широких областях применения, в частности она применяется в заданиях экзамена ОГЭ и ЕГЭ, в задачах банковского содержания. Поэтому мне кажется, важным повторить уже известный из школьного курса материал об арифметической прогрессии и узнать много нового и интересного.  Изучая математику внимательнее, мы замечаем, что рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. А в каких жизненных ситуациях можно применить знания об арифметической прогрессии и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие?  Можно ли увидеть арифметическую прогрессию в природе, экономике и других областях жизни человека? Действительно ли арифметическая прогрессия играют большую роль в повседневной жизни?  С учетом этого мною была выбрана тема исследовательской работы: «Исследование свойств арифметической прогрессии и применение их при решении задач»


Проблемный вопрос: 

Арифметическая прогрессия – что это?

Имеет ли арифметическая прогрессия практическое применение в повседневной жизни?

Объект исследования:  арифметическая прогрессия.

Предмет исследования: исследование свойств арифметической прогрессии и ее практическое применение.

Цель исследования: установить картину возникновения арифметической прогрессии и выявить примеры ее применения.

Задачи исследования:

  1. достичь более глубоких знаний по теме Арифметическая прогрессия»;

  2. изучить наличие задач на арифметическую прогрессию с практическим содержанием;

  3. активизировать интерес к предмету алгебра через поиск и решение как стандартных, так и занимательных задач;

  4. формировать умения видеть связь математики с жизнью;

  5. найти примеры применения арифметической прогрессий.

Гипотеза исследования: на уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и арифметическая прогрессия имеет такие же практические корни, определенное практическое значение.

Методы исследования:

  1. Анализ школьных учебников математики, математической справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.

  2. Обобщение найденных фактов в учебниках.

Структура исследования:

  1. сравнить определения, характеристические свойства арифметической прогрессий;

  2. провести анализ исторического экскурса для установления авторства теории о прогрессиях;

  3. привести примеры применения прогрессий в различных областях знаний;

Практическая значимость: материалы работы могут использоваться учителями математики на факультативных занятиях в 9 классе.






































Основная часть


1.Числовые последовательности: история возникновения, основные понятия

1.1 О числовых последовательностях [2]

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. (Так, например, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента). Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

  1. 1, 2, 3, 4, 5, … - последовательность натуральных чисел.

  2. 2, 4, 6, 8, 10,… - последовательность чётных чисел.

  3. 1, 3, 5, 7, 9,… - последовательность нечётных чисел.

  4. 1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.

  5. 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.

Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIвв.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Возможно, что древние вавилоняне и другие народы той далёкой эпохи имели некоторые общие приёмы решения задач, которые дошли до нас. Однако об этих приёмах мало что известно.

Отдельные случаи суммирования членов прогрессии встречаются в математических памятниках II тысячелетия до н.э. Древние математики не знали общих формул для нахождения членов прогрессии, не было и формул для нахождения сумм ее членов. Однако, известно, что эмпирическим путем в Древнем Египте было выведено (для решения прикладных задач распределения продуктов, деления наследства и т.п.) правило нахождения любого члена арифметической прогрессии, если известны сумма S первых n ее членов и разность прогрессии d. В современных обозначениях правило нахождения первого члена такой прогрессии можно записать в виде формулы = .

В V в. до н.э. греки уже знали такие прогрессии, как последовательность натуральных чисел, последовательности четных и нечетных чисел, а также умели находить их суммы:

  1. 1+2+3+…+n =  ,

  2. 2+4+6+…+2n = n(n+1),

  3. 1+3+5+…+(2n-1) = n2 .

Известно, что Архимед исследовал разные последовательности и для нужд механики вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя ею пользовались и до него. 12 + 22 +32 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1).

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IXв) пользовался формулой: 12 + 22 +32 + ... + n2 = (n+1)(2n+1). Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века. [1]

1.2 Арифметические прогрессии в древности

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются задачи на арифметическую прогрессию.

Вот одна из задач, найденная на вавилонских табличках, в которой используется арифметическая прогрессия.

Задача: «У 10 братьев 1   - мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается - неизвестно. Доля восьмого 6 шекелей. На сколько выше брат над братом?»

Решение:

Итак, 1 мины (мина равна 60 шекелям) серебра, требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию.

Требуется найти разность прогрессии, зная, что восьмой брат получает 6 шекелей.

(В Древнем Вавилоне ученые не знали формул, а каждый раз решали задачи арифметическими методами.)

1 способ: Вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни сов­ременной символики, ни готовых формул, вынужден придержи­ваться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая.

Найдем среднюю для всех долю: 100 : 10= 10 (шекелей). Удвоенная средняя доля (т.е. 20 шекелей) – это сумма долей третьего и восьмого братьев (имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени, две разности). Если у восьмого брата 6 шекелей, то у третьего 20 – 6 = 14 (шекелей). Разность между их долями составляет 14 – 6 = 8 (шекелей). Третьего брата от восьмого отделяют 5 ступеней, значит, одна ступень равна шекеля.

Замечание: в задаче речь шла об арифметической прогрессии, члены которой уменьшаются, т.е. у этой прогрессии

2 способ: Здесь требуется по сумме первых 10 членов арифметической прогрессии 5/3 мины (1 мина = 60 шекелей) и известному 8-му члену определить разность арифметической прогрессии:

,

, ,

, ;

1    мины = (  * 60) шекелей = 100 шекелей

, , 12 - 14 , -5

Ответ. На 1,6 шекелей брат выше брата.

А вот египетская задача из папируса Ахмеса.

Задача: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».

При решении этой и других аналогичных задач египтяне, ви­димо, пользовались правилом, которое можно записать в совре­менной символике так:

= .

Оно эквивалентно нашей формуле =

Происхождение этого правила не установлено: оно, вероятно, эмпирического характера.

Древнейшая задача на прогрессию – не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце 19 века, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, ещё более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических, геометрических задач этого документа имеется такая:

« Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трёх остальных. Сколько нужно дать каждому?»

РЕШЕНИЕ.

Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый член х, разность у. Тогда:

Доля первого………………………………х

Доля второго………………………………х+у

Доля третьего……………………………..х+2у

Доля четвёртого………………………….х+3у

Доля пятого…………………………………х+4у

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

х+(х+у)+(х+2у)=(х+3у)+(х+4у)=100

7(х+(х+у))=(х+2у)=(х+3у)+(х+4у).

После упрощений получаем: х+2у=20

11х=2у

Решив эту систему, получаем: Х=1 2/3, У=9 1/6

Значит, хлеб должен быть разделён на следующие части:

1 2/3, 10 5/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.

Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеются и в древнекитайском тракте «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.



2.Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это специального вида последовательность. Поэтому преж­де чем давать определение арифметической прогрессии, нам нужно вкратце обсудить важное понятие числовой последовательности.

2.1 Последовательность

Вообразите устройство, на экране которого высвечиваются одно за другим некоторые числа. Скажем, 2, — 7,13,1, -6, 0, 3,... Такой набор чисел как раз и является примером последователь­ности.

Определение. Числовая последовательность — это множество чисел, в котором каждому чис­лу можно присвоить уникальный номер (то есть поставить в соответствие единственное нату­ральное число)1. Число с номером n называется n-м членом последовательности.

Так, в приведённом выше примере первый номер имеет число 2 — это первый член после­довательности, который можно обозначить а1; номер пять имеет число —6 — это пятый член последовательности, который можно обозначить а5. Вообще, n-й член последовательности обо­значается аn (или bn, cn и т.д.).

Очень удобна ситуация, когда n-й член последовательности можно задать некоторой фор­мулой. Например, формула ап = 2n — 3 задаёт последовательность: —1,1, 3,5, 7,... Формула ап = (—1)n задаёт последовательность: —1,1, —1,1,...

Не всякое множество чисел является последовательностью. Так, отрезок [0; 1] — не последо­вательность; в нём содержится «слишком много» чисел, чтобы их можно было перенумеровать. Множество R всех действительных чисел также не является последовательностью. Эти факты доказываются в курсе математического анализа.

2.2 Арифметическая прогрессия: основные определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом (разностью арифметической прогрессии).

Например, последовательность 2, 5,8,11,... является арифметической прогрессией с пер­вым членом 2 и разностью 3. Последовательность 7, 2, —3, —8,... является арифметической прогрессией с первым членом 7 и разностью —5. Последовательность 3, 3, 3,... является ариф­метической прогрессией с разностью, равной нулю.

Эквивалентное определение: последовательность ап называется арифметической прогресси­ей, если разность аn+1 — аn есть величина постоянная (не зависящая от n).

Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если её разность положительна, и убывающей, если её разность отрицательна.


2.3 Формула n-го члена арифметической прогрессии

Легко понять, что арифметическая прогрессия полностью определяется двумя числами: пер­вым членом и разностью. Поэтому возникает вопрос: как, зная первый член и разность, найти произвольный член арифметической прогрессии?

Получить искомую формулу n-го члена арифметической прогрессии нетрудно. Пусть аn — арифметическая прогрессия с разностью d. Имеем:

аn+1 = аn + d (n = 1, 2,...).

В частности, пишем:

а2 = а1 + d,

а3 = а2 + d = (а1 + d) + d = а1 + 2d,

а4 = а3 + d = (а1 + 2d) + d = а1 + 3d,

и теперь становится ясно, что формула для аn имеет вид:

аn = а1 + (n — 1)d. (1)

Задача 1. В арифметической прогрессии 2, 5, 8,11,... найти формулу n-го члена и вычислить сотый член.

Решение. Согласно формуле (1) имеем:

an = 2 + 3(n — 1) = 3n — 1.

Отсюда

а100 = 3 * 100 — 1 = 299.

2.4 Исследование арифметической прогрессии

Из формулы n-го члена арифметической прогрессии следует, что

. Это означает, что арифметическая прогрессия зависит от n, т.е. является функцией натурального аргумента.

Вывод: арифметическая прогрессия – это линейная функция натурального аргумента

y = dx + m, где m = a1 – d, x .

Если d , то линейная функция возрастает и арифметическая прогрессия (an) - возрастающая;

если d , то линейная функция убывает и  арифметическая прогрессия (an) - убывающая.

Пример 1.

Дано: (an)- арифметическая прогрессия, (an) = .

Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии an.

Доказать: (an) - возрастающая.

Дать: геометрическую иллюстрацию.

Решение.

a1 = 1, a2 = 3, d = a2 – a1 = 3 – 1 = 2.

Тогда аn = а1 + (n — 1)d, an =1 + (n — 1)*2 = 1 + 2n – 2 = 2n –1, 

т.е. an = 2n –1.

Поскольку d = 2  , заданная арифметическая прогрессия – возрастающая.

Ч тобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции y = 2x - 1 и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 1).

Рис. 1. График функции y = 2x – 1.

Пример 2.

Дано: (an)- арифметическая прогрессия, (an) = .

Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии an.

Дать: геометрическую иллюстрацию.

Решение.

a1 = 3, a2 = 3, d = a2 – a1 = 3 – 3 = 0 .

Тогда an = 3 для любого натурального числа.

Ч тобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции y = 3 и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис.  2).

Рис. 2. График функции y = 3.

Пример 3.

Дано: (an)- арифметическая прогрессия, (an) = .

Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии an.

Доказать: (an) - убывающая.

Дать: геометрическую иллюстрацию.

Решение.

a1 = 7, a2 = 4, d = a2 – a1 = 4 – 7 = -3.

Тогда аn = а1 + (n — 1)d, an =7 + (n — 1)*(-3)= 7 - 3n + 3 = -3n + 10, 

т .е. an = -3n +10.

Поскольку d  , заданная арифметическая прогрессия – убывающая.

Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции y = -3x + 10  и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 3).

Рис. 3. График функции y = -3x + 10.





2.5 Свойство и признак арифметической прогрессии

Свойство АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ. В арифметической прогрессии аn для любого n 2 выполнено равенство



(2)

Иначе говоря, каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) является средним арифметическим соседних членов.

Доказательство. Имеем:

= = ,



что и требовалось.

Более общим образом, для арифметической прогрессии ап справедливо равенство

при любом n 2 и любом натуральном k n.

Оказывается, формула (2) служит не только необходимым, но и достаточным условием того, что последовательность является арифметической прогрессией.

Признак арифметической прогрессии. Если для всех n 2 выполнено равенство (2), то последовательность ап является арифметической прогрессией.

Доказательство. Перепишем формулу (2) следующим образом:

.

Отсюда видно, что разность не зависит от n, а это как раз и означает, что после­довательность есть арифметическая прогрессия.

Свойство и признак арифметической прогрессии можно сформулировать в виде одного утверждения; мы для удобства сделаем это для трёх чисел (именно такая ситуация часто встре­чается в задачах).

Характеризация арифметической прогрессии. Три числа а, b, с образуют арифметиче­скую прогрессию тогда и только тогда, когда 2b = а + с.

Задача 2. (МГУ, экономич. ф-т, 2007) Три числа 8x, 3—x2 и —4 в указанном порядке образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите x и укажите разность этой прогрессии.

Решение. По свойству арифметической прогрессии имеем:

2(3 — x2) = 8x — 4 2x2 + 8x — 10 = 0 x2 + 4x — 5 = 0 x =1, x = —5.

Если x = 1, то получается убывающая прогрессия 8, 2, —4 с разностью —6. Если x = —5, то получается возрастающая прогрессия —40, —22, —4; этот случай не годится.

Ответ: x =1, разность равна —6.

2.6 Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Легенда гласит, что однажды учитель велел детям найти сумму чисел от 1 до 100 и сел спокойно читать газету. Однако не прошло и нескольких минут, как один мальчик сказал, что решил задачу. Это был 9-летний Карл Фридрих Гаусс, впоследствии один из величайших математиков в истории.

Идея маленького Гаусса была такова. Пусть

S =1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100.

Запишем данную сумму в обратном порядке:

S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1,

и сложим две этих формулы:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1). Каждое слагаемое в скобках равно 101, а всего таких слагаемых 100. Поэтому

2S = 101 * 100 = 10100,

откуда

S = 5050.

Мы используем эту идею для вывода формулы суммы

S = а1 + а2 + ... + аn


первых n членов арифметической прогрессии. Именно, запишем друг под другом:

S = a1 + a 2 + a3 + ... + аn-2 + an-1 + an,

S = an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1

и сложим:

2S =(a1 + an)+(a2 + an-1) + (a3 + an-2) +...+(an-2 + a 3) + (an-1 + a2) + (an+a1). Каждое слагаемое в скобках равно a1 + an, а всего таких слагаемых n.

Поэтому

2S = (a1 + an)*n,

Откуда

= . (3)

Полезная модификация формулы (3) получается, если в неё подставить формулу n-го члена an = a1 + (n — 1)d:

. (4)

Задача. Найти сумму всех положительных трёхзначных чисел, делящихся на 13.

Решение. Трёхзначные числа, кратные 13, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 104 и разностью 13; n-й член этой прогрессии имеет вид:

an = 104 + 13(n — 1) = 91 + 13n.

Давайте выясним, сколько членов содержит наша прогрессия. Для этого решим неравенство:

an 999,

91 + 13n 999,

13n 908,

n ,

n ,

n .

Итак, в нашей прогрессии 69 членов. По формуле (4) находим искомую сумму:

Ответ:





3. Применение арифметической прогрессии в разных областях знаний

3.1 Задачи с практическим содержанием из учебников по алгебре

Задача №1

«В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?»

Решение:

Составим математическую модель задачи. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5.Сумма первых n членов (количество промахов) – 7. Найдем число промахов:

=1, , = 7, - ?

= 7,

(2 + 0,5n – 0,5)*n = 14,

(1,5+ 0,5n)*n = 14,

1,5n + 0,5n2 – 14 = 0,

n2 + 3n – 28 = 0,

n1= - 7, n2= 4,

n n = 4

Т.о., число промахов 4, в цель стрелок попал 25 – 4 = 21 раз.

Ответ. Число промахов 4, в цель стрелок попал 21 раз.

Задача №2

«Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?» 

Решение:

Составим математическую модель задачи: 

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5 

,

40 = 5+ (n-1)*5,

n=8;

= ,

S8 = =180, 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2.

Задача №3

«Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту — на 5 см больше, чем за предыдущую. За какое время достигнет улитка вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?»

Решение:

5,25 м= 525 см

a1 =30, d=5, Sn= 525, n 0.

;

525= n,

1050= (60+ 5 (n-1))n;

1050= 55 n + 5n2;

n2 +11 n -210=0,

n1=-21, n2=10 (n 0). Улика достигнет вершины за 10 дней.

Ответ: за10 дней.

Задача №4

« Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?»

Решение:

Составим математическую модель задачи:

1400, 1300, …, 1400-100(n-1).

 a1=1400; d= -100, Sn=5000. Надо найти n.

5000=  *n,

10000= (2800-100 n+100) n, 

10000= (2900-100 n) n;

100 n2-2900 n+10000=0,

n2-29 n+100=0, 

n1=25, n2=4.

Условию задачи удовлетворяет n=4 ( при n=25 аn=-1000). Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Задача №5

«За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 условных единиц (у. в.), а за каждое следующее кольцо платили на 2 у. е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено ещё 40 у. е. Средняя стоимость изготовления и установки кольца оказалась равной 22 у. е. Сколько колец было установлено?» 

Эта задача из решебника всех конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави. 

Решение:

Так как за установку первого кольца заплатили 26 рублей, а за каждое следующее на 2 рубля меньше, то имеет место арифметическая прогрессия: а1=26, d=-2, n – количество членов (колец).

Чтобы найти среднюю стоимость установки одного кольца нужно к этой сумме прибавить 40 рублей и результат разделить на n. Таким образом, получим уравнение относительно переменной n:

Очевидно, что количество колец не может быть отрицательным.

Таким образом, было установлено 9 колец.

Ответ: 9 колец.



Задача №6

«При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?»

Решение:

1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия: а1=1, d=1, аn=12. Надо найти n.

аn=a1+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12. 

= ; 

Sn = ·12 =78.

В одной кладке находится 78 бревен.

Ответ: 78 бревен.



3.2 Арифметическая прогрессия  в банковских расчетах, литературе и исторических задачах

Арифметическая прогрессия и банковские расчеты

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. под р% годовых на t лет. Вы хотите в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере p% . Какой доход вы получите?

При t = 1 вы получите (а + *a )р.,

при t = 2 ваша итоговая сумма составит (а + *a)р.,

и т. д. Математическая модель ситуации — конечная арифметическая прогрессия 

а,  а + *a, а + *a, …, а + *a.

Итак, за t лет вы получите

а(1 + )— это так называемая формула простых процентов.

Арифметическая прогрессия в литературе

«…Не мог он ямба от хорея
Как мы не бились отличить…».

Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетные слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..

Примеры.

Ямб. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…»\ Маяковский, прогрессия 2; 4; 6; 8;…

Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне»\Б.Л.Пастернак, «БУря  мглОю  нЕбо  крОет»\ А.С. Пушкин, прогрессия 1; 3; 5;7;

Задачи из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого

Купец имел 14 чарок серебряных, причем веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки.

Решение

а14=а1+13d, a1=59-13·4=7, S14= ·14=462.
Ответ: все чарки весят 462 лата.

Задача

Два тела движутся навстречу одно другому из двух мест, находящихся в расстоянии 153 футов. Первое проходит по 10 футов в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 фута и в каждую следующую секунду проходит 5-ю футами больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела  встретятся?

Решение:

Второе тело пройдет за n сек

(фут), а первое тело - 10n фут,

( + 10n) фут – расстояние между телами в начальный момент, по условию оно равно 153 футам.

+ 10n =153,

 n=6, n=-10,2. Так как n 0, то n=6.

Значит, тела встретятся через 6 секунд.

Ответ: тела встретятся через 6 секунд.



Заключение

В ходе выполнения данного исследования я установил, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Убедился в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др. Выяснил, что в развитие теории о прогрессиях большой вклад внесли: Архимед, Пифагор и его ученики, французский математик Леонард Фибоначчи. Нашел много задач на арифметическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Сделав анализ задач на прогрессии с практическим содержанием, увидел, что арифметическая прогрессия встречается в банковских расчетах литературе и других жизненных ситуациях, следовательно, нам необходим навык применения знаний, связанных с арифметической прогрессией.

Таким образом, поставленная цель проекта установить картину возникновения понятия прогрессии; выявление интересных фактов об арифметической прогрессии; применение в жизненных ситуациях достигнута, проблема решена.






Литература и сайты Интернета:

  1. Аксенова М.Д. Энциклопедия для детей Т.11. Математика гл. ред. Аксенова М.Д. – М.: Аванта «+», 1998.

  2. Глейзер Г. И. История математики в школе 7 – 8 классы.–М.: Просвещение, 1982.

  3. Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных организаций/ -М.: Просвещение, 2017.

  4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Суворова С.Б. Алгебра. 9 класс,
    Учебник для общеобразовательных учреждений -М.: Просвещение, 2009,

  5. Мордкович А.Г., П.В. Семенов , Алгебра. 9 класс, в 2ч. Ч.2. Учебник для общеобразовательных учреждений -М.: Мнемозина, 2010.

  6. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика.-М.: Педагогика, 1989

  7. http://www.goldenmuseum.com/0206Rabbit_rus.html

  8. http://leon-orr.livejournal.com/1237766.html

  9. http://infourok.ru/urok-s-prezentaciey-po-matematike-na-temu-arifmeticheskaya-i-geometricheskaya-progressiya-448288.html

  10. http://festival.1september.ru/articles/602556/pril3.ppt



1

Алгебра 7 класс

Электронная тетрадь по математике 5...

Наглядная геометрия 5-6 классы ФГОС

Алгебра 8 класс ФГОС

Электронная тетрадь по геометрии 9...

Алгебра 10 класс

Электронная тетрадь по алгебре 10 класс...

Геометрия 9 класс ФГОС
Скачать

© 2023, 275 2

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Учитель, преподаватель математики
2760 руб.  13800 руб.
Активизация основных видов деятельности учащихся на уроках математики...
800 руб.  4000 руб.
Развитие пространственных представлений школьников в обучении...
600 руб.  3000 руб.
Методика преподавания математики в соответствии с ФГОС ООО (СОО)
800 руб.  4000 руб.
Арт-математика - эффективный инструмент эстетического воспитания...
500 руб.  2500 руб.
Методика подготовки к ОГЭ по математике
800 руб.  4000 руб.
0 Нет комментариев

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!

Полезное для учителя

Новости проекта
03.06.24

Лайфхак учителя №1! Что делать с плохой накопляемостью отметок

12.05.24

Лайфхак учителя №2! Как перестать бегать от ученика к ученику во время практической работы

04.05.24

Лайфхак учителя №3! Что делать, если вы устали из урока в урок повторять одно и то же

Курсы для учителей!
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
Учитель, преподаватель математики
2760 руб.
13800 руб.
Активизация основных видов деятельности учащихся на уроках математики...
800 руб.
4000 руб.
Современные педагогические технологии в образовательном процессе
800 руб.
4000 руб.
Смотреть все курсы


Поделитесь с друзьями
ВКонтактеОдноклассникиTwitterМой МирLiveJournalGoogle PlusЯндекс