Исследовательский проект на тему "Быстрый счет без калькулятора"

Средняя общеобразовательная школа № 13 Проект Быстрый счет без калькулятора

Автор проекта

ученица 6 класса

Попова Валерия

Руководитель:

Проказова О.В.

учитель математики и информатики

Гипотеза

Предположим, что с помощью систем быстрого счета можно сократить время расчетов и не сделать ошибок.

Цель и задачи исследования:

Цель:

найти и освоить приёмы устного счёта, позволяющие выполнить действия с числами быстро и безошибочно.

Задачи:

Предмет исследования: нестандартные приёмы устного счёта при работе с натуральными числами.

Объект исследования:

вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно – математического цикла.

Актуальность:

Нижеперечисленные способы быстрого счёта рассчитаны на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Освоение этих навыков развивает логику и память, формируют навыки быстрого устного счета.

Собранные материалы (сборник приёмов быстрого счёта, презентация проекта) могут быть использованы учителями математики, физики и учащимися на уроках.

Методы исследования:

Карл Фридрих Гаусс

В детстве Карл отличался умением быстро считать в уме. Как-то, в три года, он совершенно обескуражил своего отца, найдя в его математических расчетах ошибку.

С тех пор родители обратили внимание на способности мальчика и старались их развивать. Уникальность Гаусса предопределила его карьеру как великого математика.

Джон фон Нейман

Джон был необыкновенно одарённым ребёнком. Уже в 6 лет он мог разделить в уме два восьмизначных числа.

Джон всегда интересовался математикой, природой чисел и логикой окружающего мира. В восемь лет он уже хорошо разбирался в математическом анализе.

Арраго

В России в начале XX века блистал своими умениями «волшебник вычислений» Роман Семенович Левитан, известный под псевдонимом Арраго. Уникальные способности стали проявляться у мальчика уже в раннем возрасте.

За несколько секунд он возводил в квадрат и куб десятизначные числа, извлекал корни разной степени. Казалось, всё это он делал с необычайной легкостью. Но эта легкость была обманчива и требовала большой работы мозга.

У известного русского художника Богданова-Бельского есть картина, изображающая занятия устным счетом.

Пример действительно труден и интересен. Вот он:

Указание. Искомое число равно

+ =1+1=2.

Приёмы быстрого устного счёта

Вычитание из 1000

Отнимите от 9 все цифры, кроме последней.

А последнюю цифру отнимите от 10:

Например:

1000-648 = ?

9 - 6 = 3

9 - 4 = 5

10 - 8 = 2

Ответ: 352

Умножение двузначных чисел, близких к 100.

Пример 1:

87 * 94

100- 87 = 13 (Первый недостаток 13 )

100- 94= 6 (второй недостаток 6 )

87 - 6 (или из 94 - 13 ) = 81.

К 81 приписываем произведение недостатков 13*6 = 78.

Искомое произведение = 8178.

Пример 2: 985 * 992.

Первый недостаток 15 , второй 8.

985 -8 (или 992- 15 ), получим 977 — число тысяч искомого произведения.

Приписав к 977 произведение недостатков 15 * 8 = 120,

получим ответ 977 120.

Умножение чисел от 10 до 20

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 (дописываем 0) и прибавить произведение единиц чисел.

Например:

16 •1 8 =( 16+8 )•10+ 6 • 8 =288,

( 24 0 + 48 =288)

или

17 •1 7 =( 17+7 )•10+ 7 • 7 =289.

• Например: 16 •1 8 =( 16+8 )•10+ 6 • 8 =288, ( 24 0 + 48 =288) или 17 •1 7 =( 17+7 )•10+ 7 • 7 =289.

( 24 0 + 49 =289)

Умножение на 5; 50; 0,5

Четное число делим на 2 и дописываем 0

(или 00, если умножаем на 50, ) .

Нечетное число: вычитаем 1, результат делим на 2 и

дописываем 5; (или 50, если умножаем на 50) .

Например:

84•5=84:2•10=420;

(84:2, дописываем 0 = 420) или

85•5= ((84+ 1) :2) десятков = 42 десятка, остаток 1 = 425

(84:2 дописываем 5 = 425)

Умножение на 1,5; 15

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Чтобы умножить число на 15, нужно к исходное число умножить на 10 прибавить еще половину.

Например:

84•1,5=84 + 84 : 2 =126;

(84 + 42= 126)

или

84•15=84•10 + 840 : 2=1260;

(840 + 420= 1260)

Умножение на 25

Зная, что 25= 100:4 имеем:

Чтобы умножить какое-нибудь число на 25, нужно данное число разделить на 4 и дописать:

00 , если разделилось без остатка;

25 , если остаток 1 ;

50 , если остаток 2 ;

75 , если остаток 3 ;

Например:

184 • 25=(184:4) сотен = 46 сотен, без остатка = 4600;

или

135 • 25 = (135:4) сотни =(100:4+35:4) сотни = 33 сотни,

остаток 3 (или неполная сотня – 75 )= 3375.

Умножение на 125

Зная, что 125= 1000:8 можем легко умножать на 125 числа кратные 8:

Чтобы умножить число на 125, нужно данное число разделить на 8 и дописать:

000 , если разделилось без остатка; 125 , если остаток 1 ;

250 , если остаток 2 ; 375 , если остаток 3 ;

500 , если остаток 4 ; 625 , если остаток 5 ;

750 , если остаток 6 ; 875 , если остаток 7 ;

Например:

88 • 125=(88:8) тысячи =11 тысяч, без остатка =11000;

или

89 • 125 =(89:4) тысячи = =((88+1):4) тысячи = 11 тысяч,

остаток 1 (или неполная тысяча 125) = 11125 .

Умножение на 11

Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

Например:

27 • 11= 2(2+7)7=297; 135• 11=1(1+3)(3+5)5 =1485;

или 17

89 • 11 =8(8+9)9= 979

10

9 12

275• 11=2(2+7)(7+5)5 =3025.

Умножение на 22; 33; …;99

Чтобы двузначное число умножить на 22; 33;…; 99,надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от2 до9) на 11,то есть 44=4•11; 55=5•11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Например:

27 • 22= 27 • 2 • 11=54•11= =5(5+4)4=594;

или

54 • 44= 54 • 4 •11=216•11= =2(2+1)(1+6)6 =2376;

Умножение на 101; 10101

чтобы двузначное число умножить на 101; 10101, припишите ваше число к самому себе;

чтобы трехзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число.

Например:

27 • 101= 2727;

или

54 • 10101= 545454;

или

653 • 1001=653653.

Умножение двузначных чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10.

Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, получим число сотен, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй, таким образом получаем ответ.

Например:

26 • 24= (2 • 3)сотни+6 • 4 =624 ;

53 • 57= (5 • 6)сотни+3 • 7 =3021 ;

69 • 61= (6 • 7)сотни+9 • 1 = 42сотни + 9=4200+9= 4209

Умножение двузначных чисел, у которых цифры единиц одинаковые, а сумма цифр десятков составляет 10.

Число десятков перемножить и прибавить цифру единиц, получим число сотен , затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй, таким образом получаем ответ.

Например:

62 • 42= (6 • 4+2)сотни +2 • 2 = 26сотен + 4=2600+9 =2604 ;

или

35 • 75= (3 • 7+5)сотни + 5 •5 =2625 ;

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

Чтобы возвести в квадрат число,

оканчивающееся цифрой 5

(например, 65),

умножают число его десятков (6) на число ,

увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25.

Например:

6 5² = (6 • 7)сотни + 25 =4225 ;

или

2 5² = (2 • 3)сотни + 25 =625 ;

Умножение решёткой:

456 * 97. Результат следует читать слева от таблички сверху вниз, а затем под табличкой слева направо — он равен 44 232.

4 5 6

4 9

4 7

2 3 2

3

6

2

8

4

5

5

4

3

5

4

2

Метод древних египтян

Пример для нахождения

произведения 17 на 21:

Результат в данном случае получался сложением чисел в правой колонке, которым в левой соответствуют числа 16 и 1

336 + 21 = 357

1

21

2

42

4

84

8

168

16

336

32

Анкетирование

Результаты эксперимента:

Результаты эксперимента:

Время затраченное на вычисление классическим методом

22

18

Время затраченное на вычисление «решеткой»

13

21

Время затраченное на вычисление методом древних египтян

11

17

23

14

18

10

15

12

18

15

19

Заключение:

В наш век высоких технологий и повсеместного использования компьютера умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Результаты опроса показали, что большинство школьников не знакомы с приёмами быстрого

устного счёта.

Выводы:

• Знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов;
• Приёмы быстрого счёта повышают скорость и качество вычислений при выполнении наиболее трудоёмких случаев умножения натуральных чисел без применения калькулятора;
• Устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться;
• Приёмы быстрого счёта при умножении натуральных чисел способствуют развитию памяти и повышению математической культуры мышления;
• Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Наработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной.

Библиографический список:

• Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
• Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение», 1982г

http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm

• htt://ru.wikipedia.org/wik

http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html

• Энциклопедия для детей. “T.23”. Универсальный энциклопедический словарь \ ред. коллегия: М. Аксёнова, Е.Журавлёва, Д.Люри и др. – М.:

Мир энциклопедий Аванта +,

Астрель, 2008. – 688 с.

• Ожегов С. И. Словарь русского языка :

ок. 57000 слов/ Под ред. чл. – корр.

АНСИР Н.Ю. Шведовой. – 20 – е изд.–

М. : Просвещение, 2000. – 1012 с.