Исследовательский проект по теме: Правильные многогранники.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №48

имени Р.М. КАМЕНЕВА»

ИсследовательскИЙ ПрОЕКТ

«ПРАВИЛЬНЫЕ Многогранники»

Выполнила:

Утешева Виктория

уценица 6 «А» класс

Руководитель:

Лопатина Юлия Викторовна,

учитель математики

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №48 им. Р.М. Каменева»

2018-2019 учебный год

Содержание

Введение

"Правильных многогранников вызывающе мало, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

Л. Кэрролл.

Гипотеза:

Посмотрите вокруг - как разнообразен наш мир, какие разные предметы нас окружают. И можно заметить, что все это - геометрические фигуры и тела. И наши дома, и египетские пирамиды, и кубики, которыми играют дети, и объекты архитектуры и дизайна, и предметы обихода состоят из правильных многогранников.

Они встречаются в природе в виде кристаллов, и в виде вирусов. А биологи говорят о том, что шестиугольные соты пчел, содержащие мед, тоже имеют форму правильного многогранника. Существует гипотеза, что именно правильная шестиугольная форма сот помогает сохранить полезные свойства этого ценного продукта.

Так что же представляют собой эти столь совершенные тела?

И возможно ли обойтись без многогранников?

Цель работы:

Цель моей работы — это изучить удивительный мир многогранников.

Задачи работы:

1. Познакомиться с многогранниками.

2. Изучить влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и гипотез.

3. Показать связь геометрии и природы.

4. Познакомиться с примерами применения многогранников в архитектуре и искусстве.

5. Провести практическую работу «Многогранник своими руками».

6. Развить свой математический кругозор, мышление и речь, внимание и память, интуицию, воображение и фантазию.

Актуальность проекта:

В течение многих веков математики проявляли живейший интерес к многогранникам. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью.

Готовя этот проект я попала в удивительный мир правильных многогранников, узнала много нового об их видах и свойствах.

Таким образом, объектом моего исследования будут геометрические тела, окружающие нас. А предметом исследования станут правильные многогранники.

Методы исследования:

1. теоретический: библиографический анализ литературы и материалов сети Internet;

2. эмпирический:

- анализ полученных данных.

- изготовление моделей многогранников.

1. Основные понятия

• Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями.

Стороны граней – рёбра многогранника, а концы рёбер – вершины многогранника. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д.

• Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости, каждой из его граней.

• Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – одинаковые правильные многоугольники, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер, а соседние грани образуют равные углы.

р ис.1

Оказывается, что правильных многогранников ровно пять - ни больше ни меньше.(рис.1) Ведь для того, чтобы получить какой-нибудь правильный многогранник, в каждой вершине, согласно его определению, должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.

Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360^о, иначе никакой многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к

Названия правильных многогранников пришли из Древней Греции, в них указывается число граней:

2. Исторические сведения

2.1. Первые упоминания.

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками (начиная с VII до н.э.) Некоторые источники приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

2.2. Платоновы тела.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины:

- жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры);

- воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать;

- вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры);

- в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды.

По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

2.3.Формула Эйлера

Была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:

В + Г = Р + 2.

Доказал это удивительное соотношение один из величайших математиков Леонард Эйлер (1707 – 1783), поэтому формула названа его именем: формула Эйлера. Этот гениальный учёный, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России, и мы с полным основанием и гордостью можем считать его соотечественником.

Самое удивительное в этой формуле, что она верна не только для правильных многогранников, но и для всех многогранников.

2.4. Полуправильные многогранники Архимеда.

Древнегреческий ученый Архимед обобщил понятие правильного многогранника и открыл новые математические объекты – полуправильные многогранники. Так он назвал многогранники, у которых все грани – правильные многоугольники более как одного рода, а все многогранные углы конгруэнтны. Только в наше время удалось доказать, что тринадцатью открытыми Архимедом полуправильными многогранниками исчерпывается все множество этих геометрических фигур.

2.5. Кеплер и его модель Солнечной системы.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками.

В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).

2.6. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую в начале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое п оле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

1. Многогранники вокруг нас

   1. Многогранники в природе. Микромир.

В микромире многогранники встречаются в виде молекул, вирусов и бактерий - простейших организмов.

Например: фуллерены – шарообразные молекулы углерода С₆₀.

Элементарной ячейкой воды являются тетраэдры, содержащие пять молекул Н₂ О.

Форму тетраэдра также имеют молекулы метана (СН₄) и молекула аммиака (NH₃).

В природе встречаются объекты, обладающие симметрией икосаэдра. Например, вирусы.

Исключительностью икосаэдра вирусы воспользовались не случайно. Тут все дело в экономии — экономии генетической информации.

Остается добавить, что по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов.
Так «решают» вирусы сложнейшую задачу: найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме, и притом, состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур.

1. Многогранники в природе. Кристаллы.

Мир кристаллов - мир не менее красивый, разнообразный, развивающийся, зачастую не менее загадочный, чем мир живой природы. Важность кристаллов для геологических наук состоит в том, что подавляющая часть земной коры находится в кристаллическом состоянии.

В естественной среде правильные многогранники можно встретить в виде кристаллов (минералов).

Форму тетраэдра передает сурьменистый сернокислый натрий.

Даже необработанный алмаз отчетливо передает форму октаэдра. После шлифовки камень точно соответствует геометрической форме октаэдра.

Строение молекулы перовскита, химическая формула - СаТiO3, точно соответствует правильному многограннику.

Куб- монокристалл объединяет в себе кристаллы поваренной соли NaCl.

1. Многогранники в архитектуре.

Архитектурные шедевры находятся в разных уголках земного шара и отражают особенности человеческой души. Тайные людские желания воплощаются в форме необыкновенных зданий.

3.4. Многогранники в искусстве.

Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки. Закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил многогранник.

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972) создал уникальные и очаровательные работы. Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во многих его работах многогранники являются главной фигурой, и часто они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Очень интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.

На картине великого художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Форму додекаэдра, по мнению древних, имела Вселенная, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности  правильного додекаэдра.

4. Изготовление моделей правильных многогранников

Однажды обычный английский мальчик Джеймс, увлёкшись изготовлением моделей многогранников, написал в письме к отцу: «Я сделал тетраэдр, додекаэдр и ещё два эдра, для которых не знаю правильного названия»^.

Эти слова знаменовали рождение, в пока не примечательном мальчике, великого физика Джеймса Кларка Максвелла.

Раздел геометрии о фигурах в пространстве называется стереометрия. Существует мнение: изучение стереометрии затруднено тем, что многим людям мешает недостаточно развитое пространственное воображение.

На самом деле, это не совсем так, и способность представлять пространственные тела, мысленно перемещать их и трансформировать развита практически у любого человека, поскольку живет он в трехмерном пространстве. Другое дело, что это пространственное воображение далеко не всем удается применить при изучении стереометрии, иными словами,

перенести свой житейский «пространственный» опыт в учебный процесс. Отчасти это вызвано тем, что стереометрические изображения выполняются на плоской поверхности листа бумаги или доски.

Если поверхность многогранника разрезать по некоторым рёбрам, а затем развернуть её на плоскости, то получится фигура, которую называют развёрткой многогранника.

Изучая развертки и склеивая из них модели многогранников, у нас появятся навыки преобразования плоских форм в объемные. Затем, развивается еще более тонкая способность – раскладывать объемные формы на простые плоские. То есть, увидев предмет в реальном мире, мы можете создать его развертку из бумаги, и, склеив, получить модель-копию любого объемного предмета.

Какой еще смысл в бумажном моделировании?

В век компьютерных технологий, когда все выводится на экран, и достаточно прикоснуться одним пальцем, чтобы управлять сложнейшей техникой, человечеству не удалось исключить «бумажные технологии». Напротив, они очень прочно заняли место в современном мире, в качестве упаковочных материалов. Причем, мы так часто сталкиваемся с бумажными развёртками, что просто не замечаем этого.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, многогранники присутствуют в нашей жизни буквально во всём, и мы настолько к ним привыкли, что порой не замечаем этого. Благодаря многогранникам, обнаруживаемым и в жизни, и в искусстве, и в архитектуре, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии и красоты. Многогранные формы окружают нас в повседневной жизни повсюду: спичечный коробок, книга, комната, молочные пакеты в форме тетраэдра или параллелепипеда. Почти все сооружения, возведённые человеком, от древнеегипетских пирамид до современных небоскрёбов, имеют форму многогранников.

Исследовательская работа была интересной и разнообразной, я прикоснулись к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнала имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства.

Выполняя эту работу я:

- расширила свои знания о многогранниках;

-познакомилась с интересными научными гипотезами;

-убедилась на примерах, что формы правильных многогранников использует и природа, и человек;

- научилась делать модели правильных многогранников.

В рамках работы была изучена литература по теме, выявлены особенности многогранников, изготовлены чертежи, развёртки, модели многогранников.

Цель нашей работы достигнута, ведь я не только познакомились с очередным математическим разделом, но и увлеклась миром многогранников.

Проделанная исследовательская работа помогла мне узнать и убедиться в том, что многогранники на протяжении всей истории человечества не переставали восхищать нас симметрией, мудростью и совершенством своих форм. Окружающий нас мир скрывает множество тайн и загадок, которые предстоит разгадать человечеству. Напутствием для меня стали слова Платона: «Когда мы стремимся искать неведомое нам, то становимся лучше, мужественнее и деятельнее, тех, кто полагает, будто неизвестное нельзя найти и незачем искать».

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М: Аванта плюс, 2002.

2. Энциклопедия для детей. Я познаю мир.Математика. – М: Издательство АСТ, 1999.

3. Ворошилов А.В. Математика и искусство. - М. просвещение, 1992. – 352

4. Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994. - 495

5. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3 – М: Баласс,1988.

6. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия.Учебное пособие для V – VI классов. – М: Мирос 1992.

7. www.5ballov.ru

8. http://www.nips.riss-telecom.ru/poly/

9. Мир многогранников
http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm

10. История математики
http://mschool.kubsu.ru/

11. Библиотека электронных учебных пособий
http://www.ega-math.narod.ru/

12. Статьи по математике
http://dondublon.chat.ru/math.htm

13. Популярная математика
http://www.uic.ssu.samara.ru/~nauka/index.htm

14. «В мире науки»
http://www.mccme.ru/

15. Московский центр непрерывного математического образования

http://mathc.chat.ru/

ПРИЛОЖЕНИЕ

Развертки правильных многогранников.

18