Исследовательский проект «Применение равенства треугольников при измерительных работах»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Санаторная школа-интернат №2 для детей, нуждающихся в длительном лечении»

г. Магнитогорска

Исследовательский проект

«Применение равенства треугольников при измерительных работах»

Автор проекта: обучающаяся 7 «Б» класса Душутина Маргарита

Наставник проекта: учитель математики Анненкова Татьяна Николаевна

Магнитогорск, 2019

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПО ТЕМЕ «ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТАХ» 6

1.1 Историческая справка о признаках равенства треугольника 6

1.2 Признаки равенства треугольников. Жесткий треугольник 8

ГЛАВА 2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПО ТЕМЕ «ПРИМЕНЕНИЕ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТАХ» 9

2.1 Практические задачи по теме «Применение равенства треугольников при измерительных работах» 9

2.2 Задача на измерение расстояния между двумя недосягаемыми объектами 11

Список литературы 14

ВВЕДЕНИЕ

Геометрию можно считать одной из самых древних наук. Наука в начале своего развития для человека несла практическую деятельность. Только лишь потом она сформировалась как самостоятельная наука, которая изучает геометрические фигуры. Геометрические знания активно применяются у людей в жизни, в науки, в быту, на производстве. Мы должны уметь рассчитать количество обоев в комнату, посчитать площадь квартиры и др. Кто-то с лёгкостью выполняет геометрические построения при изготовлении технических чертежей, или определяет расстояние до предмета. Геометрия всегда помогала решить те задачи, перед которыми её ставила жизнь[7].

 Треугольник является центральной фигурой всей геометрии. При решении задач используют его самые разнообразные свойства. Свойства треугольника широко применяют на практике. Например, в архитектуре; при разработке чертежа здания, при планировке будущих квартир; в промышленности: при проектировании различны деталей, при изготовлении стройматериалов, при строительстве морских и авиа судов; в навигации: для проложения правильного и максимально точного маршрута; в астрологии и астрономии, одним словом просто необходимо знать треугольник и все его свойства. Одно из важнейших свойств для пары треугольников, устанавливать их равенство. Существует ряд задач на тему установления равенства двух треугольников. Основная фигура, которую изучают в геометрии 7 класса – это треугольник. Познакомившись с признаками равенства треугольников, мы узнали и о таком понятии как жесткость треугольника. Учитель на уроке часто рассказывает о практической направленности математики, знакомит с историческим материалом. Мы решили подготовить учебный проект по теме: «Признаки равенства треугольников в измерительных работах».

Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы.

Объект: изучение признаков равенства треугольников

Предмет: треугольники

Цель: Изучение применения равенства треугольников при измерительной работе на местности.

Задачи:

1. Проанализировать проблему исследования.

2. Исследовать исторические факты по проблеме исследования

3. Рассмотреть признаки равенства треугольников

4. Подобрать различные задачи на использование равенства треугольников

5. Научиться применять признаки равенства треугольников при решении геометрических задач на местности

6. Выполнить практическую работу

Гипотеза: если использовать признак равенства треугольников, то можно измерить расстояние между двумя не досягаемыми объектами.

ГЛАВА 1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПО ТЕМЕ «ПРИМЕНЕНИЕ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТАХ»

1. Историческая справка о признаках равенства треугольника

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что один его способ состоял в следующем: пусть A – точка берега, B – корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC  к AB; в противоположном направлении восстанавливают CE  к AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA;  С = A;  EDС = BDA как вертикальные).

Рис. 1.1 Макет задачи по определению расстояния от берега до морских кораблей

Предполагают второй способ, которым древнегреческий математик Фалес первым решил задачу о вычислении расстояния от берега до корабля. Для этого он измерил расстояние АВ и угол ABC. Затем, произведя на суше некоторые построения и измерения, он вычислил расстояние АС.

Построить АВН = ABC, а также построить АЕ перпендикулярно АВ. Точка пересечения лучей ВН и АЕ - вершина треугольника АВМ, равного треугольнику ABC.

Треугольник ABC равен треугольнику АВМ по второму признаку равенства треугольников, значит, у этих треугольников соответствующие стороны равны, т. е. АС = AM, для нахождения расстояния АС от берега до корабля достаточно измерить расстояние AM на местности при помощи теодолита или астралябии.

Теодоли́т — измерительный прибор для определения горизонтальных и вертикальных углов при топографических съёмках, геодезических и маркшейдерских работах, в строительстве и т. п. 

Маркшейдерские работы - это работы, которые проводятся для изучения процессов деформации горных пород и земной поверхности в связи с горными работами

Рис. 1.2 Теодолит

Угол ABC на местности можно измерить с помощью астролябии.

Астролябия (греч. ἁστρολάβον, астролабон, «берущий звезды») — прибор для определения широты, один из старейших астрономических инструментов. Основан на принципе стереографической проекции.

Рис. 1.3 Астролябия

А вот как в Древнем Египте применили первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), создателем его также считается Фалес Милетский, для измерения высоты пирамиды: представим, что мы стоим перед огромной пирамидой, как же измерить её высоту? Ведь к ней не приложишь измерительные приборы! И тут на помощь Фалесу Милетскому приходит первый признак равенства треугольников: он подождал пока тень его точно совпадёт с его ростом, применил теорему, получилось, что высота пирамиды равна её тени (рис. 2).

Рис. 1.4 Фалес Милетский измеряет высоту пирамиды

1. Признаки равенства треугольников. Жесткий треугольник

Первый признак: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 1.5 Первый признак равенства треугольников

Второй признак: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 1.6 Второй признак равенства треугольников

Третий признак: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 1.7 Третий признак равенства треугольников

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник - жёсткая фигура. Потому, что: можно представим себе две рейки, (рис 1) у которых два конца скреплены гвоздем. Такая конструкция не является жёсткой однако сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмем ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек.(рис 2) Полученная конструкция - треугольник - будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Если жесткий треугольник мы решим увеличить или уменьшить в несколько раз, то увеличится или уменьшится в это число раз каждая его сторона, и тем самым п олучим третий признак равенства треугольников.

Это свойство – жесткость треугольника – широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку; такой же принцип используется при установке кронштейна.

Свойство жесткости треугольника широко используют в практике при строительстве железных конструкций.

Рис. 1.8 Модель жесткого треугольника

ГЛАВА 2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ПО ТЕМЕ «ПРИМЕНЕНИЕ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТАХ» 2.1 Практические задачи по теме «Применение равенства треугольников при измерительных работах»

Задача1. Бригада по прокладке дорог должна сделать тоннель, но расстояние, которое нужно пробить через гору, не известно. Что должна предпринять бригада, чтобы узнать это расстояние, если известно расстояние от А до С и от В до С (рис. 1)?

Рис. 2.1 Эскиз к задаче 1

Решение:

Бригада не может проложить дорогу вокруг горы. Поэтому они предприняли небольшую хитрость: на месте входа в еще не прорубленный тоннель поставили человека – (А) и на месте выхода тоже – (В), сбоку горы поставили третьего человека – (С), образовался треугольник ABC. Человек А прокладывает прямую через точку С, и человек В тоже прокладывает прямую через точку С. Проведя прямые и поставив на них на определенном расстоянии еще двух людей – (D, E) так, что CD = AC, а СВ = ЕС. Угол ACB = ECD по свойству вертикальных углов, поэтому треугольник DEC равен треугольнику ABC. Теперь бригада соединяет отрезком на местности точки D и Е. Рабочим остается измерить расстояние от Е до D, которое будет равно искомому расстоянию от А до В.

Задача 2. Мама купила 1,2м ткани шириной 1,2м для дочерей на выступление. Её надо из этого куска ткани сделать два одинаковых платка. Как разделить поровну?

Решение:

Сгибаем ткань по диагонали; полученные треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

На примере бумажного листа докажем это решение.

Задача 3. Вычислить длину озера.

При измерении длины озера отметили на местности точки А, В и С, а затем еще две точки D и К, так, чтобы точка С оказалась серединой отрезков АК и ВD. Измерив DК, получили 500 м и сделали вывод, что длина озера равна 500м.

Рис. 2.2 Эскиз к задаче 3

Решение:

2.2 Задача на измерение расстояния между двумя недосягаемыми объектами

Для эксперимента мы решили взять за основу задачу для нахождения расстояния между двумя недосягаемыми объектами. Но для такого способа нужно много свободного пространства, чтобы сделать эти измерения.

Рис. 2.3 Место эксперимента

Задача: Вычислить расстояние для асфальтирования дорожки в квартале

Проблема в том, что местность очень неровная и на пути лежат препятствия.

Чтобы решить поставленную перед нами задачу мы взяли рулетку, относительно толстую нить, и 5 колышков. Пошли к месту измерения. Два колышка крепко вставили в землю там, где начало и конец будущей дорожки. На схеме это точки А и В. Третий кол мы поставили в удобное для нас место и назвали эту точку С. Договоримся далее наши колышки называть точками. Далее нитью соединили точки А и С, а также точки В и С. Мы получили отрезки АС и ВС. При помощи рулетки узнаем, чему равны эти отрезки.

Рис. 2.4 Метки на местности

АС =51 м; ВС = 37,5 м

На продолжении стороны АС продолжаю отматывать нить до тех пор, пока наше расстояние будет равно отрезку АС. Далее на это место вставляю колышек и обозначу его точкой М, имеем АС=СМ. Аналогично, на продолжении ВС равный ему отрезок ВК, т. е. ВС=СК. Важно учитывать равенство угла АСВ и угла МСК. Соединим нитью точки КМ. Т. к.

Вывод: АВ=75 м

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенной работы мы проанализировали литературу разных авторов по проблеме исследования. Повторили признаки равенства треугольников и разобрала решения задач различного уровня сложности, решаемые с применением признаков равенства треугольников. Эта информация поможет мне при подготовке к экзаменам. Подробно разбирая разные задачи на измерение расстояния между недосягаемыми объектами, мы научились видеть равные треугольники в различных ситуациях. Мы умеем правильно записывать соответственно равные стороны и углы, по известным элементам, вычислять неизвестные стороны, используя признаки равенства треугольников.

Нами было выяснено на конкретных примерах, что с помощью признаков равенства треугольников можно измерить расстояние между двумя не досягаемыми объектами. Мы научились применять признаки равенства треугольников для решения практических задач.

На наш взгляд проведённая работа практически значима, подобранный и разработанный материал может быть использовано как учениками, так и учителями, работающими в-седьмых классах, по ранее обозначенной теме.

На основе практической работы был сделан вывод об истинности выдвинутой гипотезы.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9 класс. Москва: Просвещение, 2010. 384 с.

2. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. Москва: Просвещение, 1985 . 325 с.

3. Ганьшин В.Н. Простейшие измерения на местности.- 3-е изд. М.: Недра, 1983. – 112 с. [Электронный ресурс]. URL: http://libhist.narod.ru/Prosteishie_izmer_Ganshin.pdf (дата обращения 12.12.2017).

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. Москва: Просвещение, 1982. 240 с.

5. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б. Геометрия 7 класс. М: Дрофа, 2016. 193 с.

6. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б. Геометрия 8 класс. М: Вентана-Граф, 2017. 208 с.

7. Ширина И. М. Практическое применение треугольников при измерительных работах. – Пермь, 2016. [Электронный ресурс]. URL: http://genius.pstu.ru/file.php/1/pupils_works_2016/Shirinkina.pdf (дата обращения 5.11.2017)

8. Энциклопедический словарь юного математика. Москва: Педагогика, 1983. 351 с.