Исследование функции

Русский математик XIX века П.Л.Чебышев говорил, что “особенную важность имеют те методы науки , которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека:

как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды”.

1

Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин.

2

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на промежутке.

3

4

5

Задание 1.

По графику функции y = f(x) найдите:

• Область определения функции - D(f) .
• Абсциссы точек, в которых . Как называются эти точки?
• Абсциссы точек, в которых не существует. Как называются эти точки?
• Точки экстремумов функции.

6

Задание 2.

По графику функции, изображённого на данном рисунке, найдите абсциссы:

• стационарных ;
• критических точек.

Какие из них являются:

• точками минимума;
• точками максимума?

7

Рисунок 2.

Задание 3.

По графику производной функции y=f(x) определите число точек максимума и точек минимума функции на промежутке [-19;6].

Рисунок 3

8

Определите наибольшее ( y наиб . ) и наименьшее ( y наим. ) значения функции y=f(x) на заданных промежутках.

Рисунок 2.

Рисунок 1.

Задание 4.

9

Рисунок 3.

Рисунок 4.

10

11

Наименьшее значение достигается внутри отрезка, а наибольшее на его конце.

Наибольшее и наименьшее значения достигаются внутри отрезка .

12

13

1. Найти производную функции .

2.Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри

отрезка [ а;в ] .

3.Вычислить значения функции y=f (х) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках а и в , выбрать среди этих значений наименьшее (это будет ) и наибольшее (это будет ).

14

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f (х) на отрезке [ а;в ] .

1.

2 .

Вывод о критических точках.

Нахождение стационарных точек.

3. Значения функции.

Ответ.

15

1

Пример . Найти наименьшее и наибольшее значения

функции на отрезке [- 4 ; 0 ].

Решение:

2. Критических точек нет.

Найдём стационарные точки.

Ответ: f(- 4 )= 21 – наибольшее значение функции;

f( -2 )= -11 – наименьшее значение функции.

16

Найдите:

Сумму наибольшего и наименьшего значений функции. (Группы 1-4).

Разность наибольшего и наименьшего значений функции. (Группы 5-8).

Произведение наибольшего и наименьшего значений функции. (Группы 9-12).

17

• Пусть функция y=f (х) непрерывна на промежутке х и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку . Тогда:
• а) если - точка максимума, то
• б) если - точка минимума, то

18

19

Задача . Сварщики получили задание: из листа жести, имеющего форму квадрата со стороной 40 дм., нужно сварить бак так, чтобы его объём был наибольшим.

Решение задачи с помощью аппарата дифференцирования .

Х – длина выреза ; 0

(40 -2x) – длина стороны основания бака;

V(x) = (40 – 2x) 2 ∙x = 1600x - 160x 2 + 4x 3 ;

V`(x) = 12x 2 - 320x + 1600;

Стационарные точки:

6 x 2 - 160x + 800 = 0; x 1 ≈ 6,7; x 2 = 20 (0;20)

х

х

40-2х

_

+

20

0

6,7

X = 6,7 – точка максимума.

V(6,7) = 4740,65.

Ответ: наибольшее значение V = 4740,66 дм 3 при длине выреза, равной 6,7 дм.

20

21

Нет ни одной области математики,

как бы абстрактна она ни была,

которая когда-нибудь не окажется применимой

к явлениям действительного мира.

Н.И. Лобачевский

22

Пусть функция y=f (х) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку .Тогда:

а) если - точка максимума, то

б) если - точка минимума, то

23

Пример . Найти наименьшее и наибольшее значения

функции на отрезке [-3;3].

Решение:

2. Критических точек нет.

Найдём стационарные точки.

Ответ: f(-3)=58 – наибольшее значение функции; f(0)=f(3)=4 – наименьшее значение функции.

24

Соответствие

набранных баллов

отметке в журнал.

«5» – 35 – 37 баллов.

«4» – 28 – 34 балла.

«3» – 20 – 27 баллов.

25