Исследовательская работа "Большое открытие в маленьком колесе. Число Пи"

Районная научно-практическая конференция школьников «ПЕРВЫЕ ШАГИ В НАУКУ»

Направление: Естественные науки

Секция: математика

Название работы «Большое открытие в маленьком колесе»

Автор работы: Пономарева Елизавета

Место выполнения работы: г. Светлоград,

МБОУ СОШ №4, 6 класс.

Научный рук.: Зубенко Н. Ф., учитель

математики МБОУ СОШ №4

Светлоград, 2017

Оглавление

Введение……………………………………………………………………..……3

Основная часть

1. Обзор литературы

1. Периоды в истории развития числа …………………………...………4

2. Методы нахождения числа   ………………………………….………...7

1.3 Интересные факты о числе ……………………………………….……..7

1. Собственные исследования

1. Анализ анкет ……………………………………………………….………9

2.2 Мои исследования по нахождению числа ……………………….…….10

Заключение …………………………………………………………………. ….13

Список литературы ………………………………………………………….….15

Приложения………………………………………………………………..…16-20

Введение

Актуальность темы: Я впервые узнала о существовании числа π на уроке математики при изучении темы «Длина и площадь окружности». Меня очень заинтересовало это незнакомое число. В школьной библиотеке я пролистала учебники алгебры, геометрии, физики за 9-11 классы и нашла множество формул, содержащих число π. Так в учебнике геометрии за 9 класс есть формула нахождения длины дуги окружности, площади кругового сектора, объема шара, площади поверхности конуса и др. Я решила узнать не только историю появления и развития числа π, но и научиться вычислять это удивительное и особенное число.

Цель: провести исследование метода вычисления значения π через измерение диаметра и длины окружности, установить предельную точность данного метода и факторов, влияющих на неё. Провести лабораторные исследования известных методов нахождения числа π.

Для достижения цели были поставлены задачи:

1. Изучить литературу, описывающую историю развития числа π

2. Провести анкетирование обучающихся 6, 7, 8, 9 классов

3. Изучить методы нахождения числа π

4. Провести собственные исследования по выявлению метода, дающего наиболее точное значение числа π

5. Изучить зависимость точности вычисления значения числа π от способа измерения длины окружности.

6. Установить и исследовать факторы, влияющие на точность вычисления числа π методом измерения диаметра и длины окружности.

7. Проанализировать данные, сделать выводы.

Новизна заключается в выявлении наиболее оптимального выбора способа определения числа π методом измерения диаметра и длины окружности. Данное исследование помогает понять, как на основе экспериментальных данных и их анализа можно исследовать методы с большим числом исходных значений.

Личный вклад состоит в том, что данный материал может быть использован в школе на уроках математики.

Методы исследования – теоретический метод при определении проблемы, формулировании гипотез и выводов; математический и статистический анализ полученных данных экспериментальным методом для определения средней величины полученных показателей.

Объектом моего исследования является метод вычисления значения числа π.

Предметом данного исследования являются факторы, влияющие на предельную точность выбранного метода вычисления значения числа π.

Гипотезы:

1. Точность вычисления значения  зависит от способа измерения длины окружности.

2. Точность вычисления значения  зависит от размера окружности (чем меньше окружность, тем ниже точность)

3. Увеличение количества измерений повышает точность значения π.

1. Обзор литературы

1. Периоды в истории развития числа 

Древний период

Число   - это постоянное число, равное отношению длины окружности к её диаметру и одинаково для всех окружностей. Люди изучают это число уже на протяжении 4000 лет. Открывателями числа  считают людей доисторического времени, которые при плетении корзин заметили, что для того, чтобы получить корзину нужного диаметра, необходимо брать прутья в 3 раза длиннее его. Найдены таблички из обожженной глины в Месопотамии, на которых зафиксирован данный факт.

Письменная история числа начинается с египетского папируса 2000 г. до нашей эры. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа . Этому правилу из 50 – й задачи папируса Райнда соответствует значение  = 4(8/9)² = 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, неясно.

Как считают специалисты, число было открыто вавилонскими магами. Вавилоняне пользовались лишь грубым приближением, определив  = 3.

В Древнем Китае высокого расцвета достигла вычислительная техника, основанная на приближённых вычислениях. Примером служит вычисление отношения длины окружности к её диаметру китайским математиком Цзу Чун-чжи (430-501г.н.э.), который получил приближение 355/113, дающее семь верных цифр числа 

Наиболее древняя формулировка нахождения числа содержится в стихах индийского математика Арьябхатта: «Прибавь 4 к сотне и умножь на 8, потом ещё 62 000 прибавь. Когда поделишь результат на 20 000, тогда откроется тебе значенье длины окружности к двум радиусам отношенье». Он нашёл точное значение 62832/20000 или 3, 1416.

Классическая эра

Персидский математик аль -Каши в «Трактате об окружности» (1427 г.) вычислил 17 десятичных знаков 

Нидерландский учёный Лудольф Ван Цейлен (1540-1610) нашёл для числа «пи» 32 правильных десятичных знака. Это приближение называется лудольфовым числом.

В России у наших предков не было компьютеров, микрокалькуляторов и справочников, но со времён Петра I они занимались геометрическими расчётами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле, в электротехнике. Для запоминания числа π было придумано двустишие. В учебнике Ф. Магницкого «Арифметика» оно написано по правилам старой орфографии:

«Кто и шутя, и скоро пожелать,

«Пи» узнать число – ужъ знаеть».

Начиная с конца XVII века, для вычисления  применяются более эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер вычислил  с точностью до 153 десятичных знаков. После опубликования его работы в 1736 году, стало общепринятым обозначение числа  первой буквой греческого словаря «периферия» - круг.

В 1766 году немецкий математик Иоганн Ламберт доказал: число “пи” не может быть представлено простыми дробями, как бы ни были велики числитель и знаменатель.

Эра цифровых компьютеров

С помощью электронных машин в 1949 году получено значение  с 2035 знаками, а позднее – с 3089 знаками лишь за 13 секунд. В 1959 году одна вычислительная машина в Англии и другая во Франции вычислили 10 000 десятичных знаков . К 1963 году было найдено уже 100 265 десятичных знаков числа .

Вычисления такого большого числа знаков для  не имеет практического значения, а показывает лишь огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми методами. С помощью компьютера было вычислено десятичных знаков: 

1973 год – 10 000 000 десятичных знаков;

2011 год – 10 000 000 000 000 десятичных знаков.

Самым неутомимым вычислителем числа был английский математик Уильям Шенкс. Более 20 лет он посвятил вычислению 707 знаков числа К сожалению, несчастный Шенкс ошибся в пятьсот двадцатом знаке, и все последующие цифры в полученном им выражении неверны.

1.2 Методы нахождения

Существуют различные методы вычисления значения числа π:

1. «Вычисление значения через измерение диаметра и длины окружности»

2. «Вычисление значения с помощью взвешивания»

3. «Вычисление значения методом Монте–Карло»

4. «Вычисление значения методом “падающей иголки”»

В своих исследованиях я буду определять, какой из методов дает более точное значение числа π.

1. Интересные факты о числе π

Как запомнить первые цифры числа?

Три первые цифры числа 3,14… запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков я нашла забавные стихи и фразы. Например, такое четверостишие:

«Нужно только постараться

И запомнить всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть…» (С.Бобров «Волшебный двурог»)

Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать 8 знаков числа

Также я нашла стихотворение, в котором знаки числа можно определить по количеству букв в каждом слове:

Раз у Коли и Арины

3 1 4 1 5

Распороли мы перины.

9 2 6

Белый пух летал, кружился,

5 3 5 8

Куражился, замирал,

9 7

Ублажился…

9

Нам же дал головную боль старух,

3 2 3 8 4 6

- Ух, опасен пуха дух.

2 6 4 3 (3,141592653589793238462643…)

При округлении числа до десятитысячных можно использовать фразу: «Что я знаю о кругах?» по количеству букв в каждом слове (3,1416)

При округлении числа до разряда миллионных можно использовать фразу: «Вот и знаю я число, именуемое Пи, - молодец!» (3,1415927).

При округлении числа до разряда сто миллиардных можно использовать фразу: «Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать» (3,14159265359).

Число в окружающем нас мире

1) 14 марта в мире отмечается один из самых необычных праздников – Международный день числа. Главная церемония проходит в музее Эксплораториуме (Сан-Франциско). Кульминация приходится на 1 час 59 минут 26 секунд после полудня (3-месяц март, 14-число марта, 1- час, 59-минут, 26 секунд = 3,1415926…). Участники праздника маршируют вдоль стен Круглого зала, распевая песни о числе, играют со словами Пи. В центре зала размещают латунную тарелку, на которой выгравировано число с первыми 100 знаками после запятой.

2) Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему целый дворец Кастельдель Монте, в пропорциях которого можно вычислить («пи»). Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.

3) Выход нового диска Кейт Буш «Aerial» заставил сердца математиков забиться сильнее. В песне, которую певица назвала «Пи», прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,14…

2. Собственные исследования

2.1 Анализ анкет

Я провела анкетирование среди одноклассников и учащихся 7-8 классов с целью определения знаний о числе  и желания узнать больше об этом удивительном числе. В опросе приняли участие 34 обучающихся. Были предложены следующие вопросы:

1.Что означает  ?

2. Как получили  ?

3. Что знаешь об истории развития  ?

4. Почему называют удивительным и загадочным?

5. Где в окружающем нас мире можно встретить  ?

6. Желаешь ли ты больше узнать о  ?

Результаты анкетирования:

1. Почти все опрошенные обучающиеся 6-8 классов знают, что  - это число, которое равно 3,14.

2. 14 обучающихся 7 класса ответили, что  - это число, с помощью которого находят длину окружности.

3. Никто из обучающихся 8 классов не знает об истории развития числа .

4. Число  называется удивительным и загадочным, потому что оно бесконечно, часто встречается в формулах, важно при расчетах.

5. Число  в окружающем нас мире можно встретить при расчетах для построения предметов круглой формы, в окружности.

6. Все учащиеся желают больше узнать о числе .

1. Мои исследования по нахождению числа 

Изучив методы нахождения числа , я провела собственные исследования.

Метод взвешивания

Лабораторная работа.

Порядок работы:

1. Заготовить квадрат на листе картона.

2. Взвесить с помощью школьных лабораторных весов квадрат;

3. Вписать в квадрат окружность, вырезать круг и взвесить его, результаты занести в таблицу №1

4. Пользуясь формулами вычислить значение 

5. Вычислить на микрокалькуляторе значение, полученное в ходе выполнения лабораторной работы.

Вывод: при вычислении числа  методом взвешивания получила в среднем значении одну верную цифру. Приближённое значение числа зависит от точности взвешиваний. С помощью маленьких весов очень трудно взвешивать точно маленькие картонные фигуры.

Практическая работа по нахождению числа.

Метод Бюффона («падающей иголки»).

В 1777 году французский естествоиспытатель Ж. Бюффон сформулировал задачу, впоследствии получившую его имя. Суть задачи в том, что плоскость разграфлена параллельными прямыми. Наудачу бросается на эту плоскость игла меньшей длины, чем расстояние между параллельными прямыми. Требуется определить вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую. Как показал Бюффон, эта вероятность выражается числом  Такие эксперименты ставились в позапрошлом и прошлом веке многими учёными.

Результаты эксперимента занесла в таблицу №2

Эксперимент показал, что значение числа  не точно. На результат влияет расстояние между линиями, отскакивание иглы от поверхности.

Метод «Падающий дождь»

Порядок работы.

На приготовленном куске картона, начертить квадрат и вписать в квадрат четверть круга. На поверхность равномерно нанести «капли». Подсчитать число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приблизительно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места равновероятно.

Тогда  = N_кв. / N_кр., где N_кр. – число капель в ¼ круге, N_кв. – число капель в квадрате.

Результат занести в таблицу №3

В ходе испытаний получила: при вычислении числа  методом «Монте Карло» в среднем значении числа  одна верная цифра после запятой.

Метод простейших измерений

Взяла круглые предметы и с помощью нити, путём обматывания, определила длину окружности С (один полный оборот нити). Далее измерила по линейке диаметр окружности. Измерила длину окружности этих же предметов способом катания. По формуле С=D нашла =С/D. Результаты занесла в таблицу №4

Вывод: измерение длины окружности предметов цилиндрической формы способом катания дает при расчете числа  в результате две верные цифры.

Порядок работы.

Из картона были вырезаны кружки: 30 штук. Диаметр измеряла линейкой, а длину окружности двумя способами: оборотом нити и измерением следа при катании круга. Нашла отношение длины окружности к диаметру, вычисления производила с помощью компьютера.

Результаты занесла в таблицу №5

Полученные результаты доказывают пропорциональность длины окружности и её диаметра.

При вычислении  значения числа через измерения нельзя исключить следующее: невозможно идеально точно вырезать кружок и измерить его, ограниченны возможности линейки.

Если сравнивать все полученные экспериментально значения  с заранее известным его значением, вычисленным с достаточно высокой точностью, можно заметить, что при измерении длины окружности оборотом нити мы получаем  одну верную цифру, а при катании - две.

Можно заметить, что с возрастанием длины окружности точность не изменяется. Значит, гипотеза о повышении точности  при увеличении размеров кружков не подтвердилась.

Подводя итог работы можно сделать следующие выводы:

1. Точность вычисления значения  зависит от способа измерения длины окружности. При измерении длины окружности нитью мы получили 3 результата из 30 (10%) со значение 3,14, а катанием  13 из 30 (43%).

2. Точность вычисления значения  не зависит от величины окружности.

3. Увеличение количества измерений повышает точность значения, но она ограничена.

Заключение:

В ходе исследования, узнала об истории открытия числа , методах нахождения, способах вычисления и сферах применения этого числа. Мною было вычислено значение четырьмя способами. Полученные значения числа  незначительно отличаются от приближённого значения, используемого в повседневной жизни. Проанализировав полученные результаты, пришла к выводу, что наименьшая погрешность получилась при применении метода простейших измерений предметов круглой и цилиндрической формы. Это подтверждает факт: независимо от размера колеса отношение длины окружности к диаметру колеса есть величина постоянная. Наибольшая погрешность при вычислении значения числа методом Бюффона.

Хотя числобыло открыто ещё в древности, но и в современное время ему уделяется огромное внимание.     Удивительное число используется в астрономии, архитектуре, строительстве, в информационных технологиях, машиностроении, навигации, кораблевождении. Прикладное значение: для строительства плотин, гигантских мостов.

Об истории развития числа  и методах нахождения этого числа рассказала своим одноклассникам, которые мало знают о . Посоветовала провести исследования в школе на уроках математики и на внеклассных мероприятиях. Интересные факты вывесила на стенде во время проведения в школе недели математики.

Полученная мною информация в ходе исследования не только очень интересна и увлекательна, но и полезна. Она пригодится мне в дальнейшей учёбе в старших классах.

Я предлагаю послушать мелодию, где за основу взято число . Каждой цифре этого удивительного числа присвоено значение какой-нибудь ступени в ля-миноре.

Спасибо за внимание!

Литература:

1.Методическое пособие «Вездесущие число пи» А.В.Жуков

2.Методическое пособие «Секреты числа Пи» Хоакин Наварро

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E8_(%F7%E8%F1%EB%EE) Интернет-ресурс

4.http://ru.science.wikia.com/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE) Интернет-ресурс

Приложение 1

Таблица 1

Приложение 2

Таблица №2

Приложение 3

Таблица №3

Приложение 4

Таблица №4

Приложение 5

Таблица №5

31