История геометрии

Тема: История возникновения и развития геометрии Евклида и геометрии Лобачевского

Выполнила студентка группы КП-2

Красняк А.И.

Геометрия – одна из древнейших наук, изучающая пространственные формы и их свойства. Долгое время господствовала евклидова геометрия, основанная на аксиомах, сформулированных Евклидом. Однако в XIX веке Николай Иванович Лобачевский разработал альтернативную систему – неевклидову геометрию.

Евклид

Лобачевский

Евклид – основатель классической геометрии

Евклид (ок. 300 г. до н.э.) – древнегреческий математик, автор «Начал», в которых изложены принципы геометрии. Его система основана на пяти аксиомах (постулатах), лежащих в основе классической геометрии.

Основные постулаты Евклида

• 1. Через две точки можно провести одну прямую.
• 2. Отрезок можно продолжить до бесконечности.
• 3. Можно построить окружность по заданному центру и радиусу.
• 4. Все прямые углы равны.
• 5. Через точку вне данной прямой можно провести только одну параллельную ей прямую (пятый постулат).

Значение геометрии Евклида

Евклидова геометрия долгое время считалась единственно возможной и применялась в архитектуре, инженерии и астрономии. Она описывает пространство, соответствующее нашему повседневному опыту

Проблема пятого постулата

В отличие от первых четырех постулатов, пятый постулат вызывал сомнения. Математики пытались доказать его через другие аксиомы, но безуспешно. Это привело к развитию альтернативных геометрических теорий.

Николай Лобачевский и его идея

Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) – русский математик, разработавший новую геометрию, в которой пятый постулат заменяется на иной принцип: через точку вне данной прямой можно провести бесконечно много параллельных прямых.

Основные принципы геометрии Лобачевского

• 1. Отрицательная кривизна пространства.
• 2. Сумма углов треугольника всегда меньше 180°.
• 3. Вдалеке прямые "разбегаются", а не остаются параллельными.
• 4. Окружности и другие фигуры ведут себя иначе, чем в евклидовой геометрии.

Значение геометрии Лобачевского

Геометрия Лобачевского сначала не была признана, но позже нашла применение в физике и космологии. Она легла в основу общей теории относительности Эйнштейна, описывающей искривленное пространство-время.

Некоторые различия между евклидовой и неевклидовой геометрией:

• Происхождение и время возникновения . Евклидова геометрия появилась в Древней Греции, её систематизировал Евклид в своём труде «Начала». Неевклидова геометрия возникла в XIX веке, официально её связывают с выходом в свет труда Н. И. Лобачевского «О началах геометрии». 
• Область применения . Евклид рассматривал объекты на плоскости, то есть создал планиметрию. Неевклидова геометрия стала фундаментом исследования трёхмерного пространства, то есть стереометрии. 
• Аксиомы . Евклид утверждал, что через точку, которая не относится к прямой, можно провести только одну прямую, параллельную первой. Неевклидова геометрия доказала, что это не так: через одну точку можно проложить сразу же несколько прямых, параллельных заданной. 1
• Подобные треугольники . В геометрии Евклида есть три признака подобия треугольников. В геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников. 
• Сумма углов треугольника . В геометрии Евклида сумма внутренних углов треугольника равна 180°. В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника не равна 180°.

Итоги

История геометрии показывает, как математические идеи развиваются со временем. Евклидова геометрия хорошо описывает привычный мир, но в масштабах Вселенной работает геометрия Лобачевского. Открытие неевклидовых геометрий стало революцией в математике и физике.