"Из истории изучения логарифмов"

Из истории изучения логарифмов Делала презентацию:Рассоха Валерия, СТ25-2, ГАУ КО ПОО КСТ

Начало изучения

Происхождение логарифмов  прослеживается с античных времён. Идейным источником и стимулом применения логарифмов послужил тот факт, известный ещё во времена Архимеда, что при перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. 

Логарифмы были введены в начале 16 века. Основной задачей было упрощение вычислений, особенно в астрономии и навигации.

  Впервые понятие логарифмов ввёл английский математик Джон Непер . В 1590-х годах он пришёл к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый труд «Описание удивительных таблиц логарифмов» опубликовал лишь в 1614 году. 

Йост Бюрги

Йост Бюрги  — швейцарский и немецкий математик, астроном, часовщик и приборостроитель, известный как автор  логарифмических таблиц . 

В 1588 году Бюрги открыл логарифмы, таблицы которых он опубликовал в 1620 году (независимо от Джона Непера). Таблицы Бюрги были менее удобны, чем уже успевшие получить широкую известность неперовские, поэтому публикация Бюрги осталась практически незамеченной, была вскоре забыта и вновь обнаружена лишь в 1856 году

Особенности таблиц:

Бюрги выбрал прогрессию со знаменателем 1,0001 и сопоставил числа 0, 10, 20, 30 и др. арифметической прогрессии (красные числа) с членами геометрической (чёрные числа).

Красные числа — логарифмы чёрных, разделённых на 108, при основании 10 1,0001.

Генри Бриггс

Генри Бриггс  ( 1561–1630 ) — английский математик, создатель первых таблиц десятичных логарифмов. 

После изобретения логарифмов Джоном Непером Бриггс предложил вычислять их по основанию 10, при этом логарифм единицы должен быть равен нулю. 

Некоторые работы Бриггса, связанные с логарифмами:

«Первая тысяча логарифмов»  (Logarithmorum chilias prima, 1617) — 14-значные логарифмы натуральных чисел от 1 до 1000.

«Арифметика логарифмов»  (Arithmetica logarithmica, 1624) — 14-значные таблицы логарифмов натуральных чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. Дополнительно приложены 15-значные таблицы синусов и 10-значные таблицы тангенсов и секансов.

«Британская тригонометрия»  (Trigonometria britannica, 1633, посмертно) — 14-значные таблицы логарифмов тригонометрических функций.

Логарифмические таблицы

Непер создал таблицы логарифмов, что значительно упростило вычисления.

Эти таблицы использовались учеными и инженерами в течении нескольких столетий.

В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также  8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов  с шагом 1.

Теорию расчёта таблиц логарифмов Непер изложил в другой своей книге  «Построение удивительной таблицы логарифмов» , изданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Цель разработки таблиц Непера — облегчить сложные астрологические расчёты, поэтому в них были включены только логарифмы тригонометрических функций. Джон Непер считается «отцом логарифмов». В честь учёного названы университет в Эдинбурге, кратер на Луне и астероид 7096.

Логарифмические линейки

Логарифмическая линейка (счётная линейка) — аналоговое вычислительное устройство, которое позволяет выполнять несколько математических операций.

Принцип работы

Умножение и деление чисел заменяется соответственно  сложением и вычитанием их логарифмов . Например, чтобы вычислить произведение двух чисел, начало подвижной шкалы (шкалы на движке) совмещают с множителем на неподвижной шкале, а на подвижной шкале находят множитель; напротив него на шкале находится результат умножения этих чисел.

Применение

Логарифмическая линейка использовалась для выполнения, например:

умножения и деления чисел;

возведения в степень (чаще всего в квадрат и куб);

вычисления квадратных и кубических корней;

вычисления логарифмов;

вычисления тригонометрических и гиперболических функций и некоторых других операций.

В 1620 году  английский математик Эдмунд Гантер описал устройство, которое фактически являлось предтечей логарифмической линейки — логарифмическую шкалу чисел.

В 1633 году  У. Отред (Англия) описал логарифмическую линейку, состоящую из двух отдельных шкал, сдвигаемых относительно друг друга, что позволило отказаться от использования циркуля.

В 1654 году  Р. Биссакер (Англия) изготовил логарифмическую линейку с движком, скользящим в вырезе корпуса между двух шкал.

Современный вид  логарифмическая линейка приобрела в 1850 году, когда А. Манхейм (Франция) добавил к ней прозрачный бегунок с визирной линией.

Влияние логарифмов на развитие астрономии

Логарифмы сыграли значительную роль в развитии астрономии, упростив сложные вычисления, связанные с огромными масштабами, с которыми работает эта наука. Это влияние проявляется в разных аспектах: в истории, в методах и в современном применении.

В XVI–XVII веках  логарифмы упростили расчёты для определения орбит планет, расстояний до звёзд и других астрономических величин. Логарифмические таблицы, разработанные математиками, такими как Джон Непер и Генри Бриггс, позволили астрономам выполнять операции умножения и деления с помощью простого сложения и вычитания. Это было важно в эпоху, когда ручные вычисления были трудоёмкими и подвержены ошибкам.

Астрономы, такие как Коперник и Кеплер , использовали логарифмические таблицы для повышения точности своих расчётов, что привело к революционным открытиям в астрономии.

Измерение яркости звёзд  в логарифмической шкале. Яркость звезды, измеренная в абсолютной величине, может быть представлена в виде логарифма её светимости. Это позволяет астрономам сравнивать яркость различных звёзд и делать выводы о их расстоянии и размерах.

  Определение расстояний до космических объектов . Например, логарифмы используются для расчёта расстояний до галактик и других космических объектов

Применение логарифмов

Логарифмы применяются в различных областях, включая математику, физику, экономику и информатику. Они помогают решать сложные уравнения, анализировать экспоненциальные процессы и упрощать вычисления.

Математика

Решение показательных уравнений и неравенств . Логарифмы позволяют решать уравнения, где неизвестное находится в показателе степени.

Упрощение сложных выражений : логарифмы позволяют сводить умножение к сложению, деление к вычитанию, а возведение в степень к умножению.

Упрощение приближённых вычислений  с помощью десятичных логарифмов. Например, lg 0,001 = −3, lg 10000 = 4.

Физика

Изучение процессов, связанных с экспоненциальным ростом или затуханием  (например, радиоактивный распад).

Расчёт интенсивности звука  (децибелы) — уровень громкости звука измеряется в логарифмической шкале.

Барометрическая формула  — показывает, что с высотой давление спадает согласно логарифмической функции и тем быстрее, чем больше молярная масса газа или низкая температура

Барометрическая формула  — показывает, что с высотой давление спадает согласно логарифмической функции и тем быстрее, чем больше молярная масса газа или низкая температура

Экономика

Расчёт сложных процентов  — например, формула для начисления процентов через логарифмы позволяет вычислить время, необходимое для удвоения капитала.

Анализ темпов экономического роста  — логарифмирование позволяет преобразовать мультипликативные изменения в аддитивные, что упрощает анализ динамики экономических показателей.

Расчёт эластичности спроса  — логарифмическое преобразование позволяет получить формулу для эластичности, которая выражает относительное изменение спроса при относительном изменении цены или дохода.

Информатика

Оценка сложности алгоритмов  — логарифмы позволяют описывать время выполнения операций. Например, бинарный поиск имеет сложность O(log n), поскольку на каждом шаге диапазон поиска сокращается вдвое.

Сжатие данных и кодирование — алгоритмы кодирования, такие как Huffman coding, основаны на энтропии информации, которая рассчитывается через логарифмы. Логарифмическая мера помогает определить, сколько битов нужно для кодирования каждого символа на основе его вероятности.

Визуализация и работа с большими числами — когда данные варьируются в огромных пределах (например, трафик сайта или продажи по регионам), логарифмы позволяют привести их к единому масштабу и отобразить.