Из опыта работы по подготовке к ЕГЭ по математике

1 способ

На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х 0 .

Решение:

1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в точке х 0 положительно .

у

2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами.

3

Можно найти несколько удобных треугольников, например,….

12

х

 

 

1

O

х 0

3). Найдем тангенс угла – это отношение 3:12.

3

tga =

12

1

4). Переведем дробь

в десятичную запись:

у = f(x)

4

0

,

2

5

7

х

3

х

1

0

2 способ

В данных заданиях всегда есть удобные точки.

Этим можно воспользоваться.

Решение:

Уравнение касательной у - y 0 . = k(x - x 0 )

В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина.

f / (x o )=k=(y 2 - y 1 )/( x 2 - x 1 )

у

Подставим координаты удобных точек в уравнение касательной.

(7; 5)

(-5; 2)

f / (x o )=k=(2 - 5 )/( -5 - 7 )=

=-3/(-12)=0,25

х

1

O

х 0

0

,

2

5

7

х

3

х

1

0

у = f(x)

2 способ

2 способ

В данных заданиях всегда есть удобные точки.

Этим можно воспользоваться.

Решение:

Уравнение прямой у = kx + b .

В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина.

f / (x o )=k

у = k х + b

k=tg α

у

Подставим координаты удобных точек в уравнение прямой.

(7; 5)

(-5; 2)

2 = –5 k + b .

–

5 = 7 k + b .

х

1

х 0

O

– 3 = – 12 k

12 k = 3

:12

3

k =

12

3

tga =

0

,

2

12

5

у = f(x)

7

х

3

х

1

0

Задача 1.1. На рисунке изображен график функции y = f (x) , и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение

производной функции y = f (x) в точке х 0 .

Решение.

Ответ: 3.

С

А

Задача 1.2. На рисунке изображен график функции y = f (x) , и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение

производной функции y = f (x) в точке х 0 .

А

С

В

Решение.

Ответ: - 0,5 .

Задача 2.1. На рисунке изображен график функции y = f (x) , касательная к этому графику, проведенная в точке 4, проходит через начало координат. Найдите f ' (4).

Решение.

Если касательная проходит через начало координат, то можно изобразить ее на рисунке, проведя прямую через начало координат и точку касания. В качестве точек с целочисленными координатами, лежащих на касательной, можно взять начало координат и точку касания. Дальнейшее решение очевидно:

6

4

Ответ: 1,5.

Задача 2.2. На рисунке изображен график функции y = f (x) , касательная к этому графику, проведенная в точке х 0 , проходит через начало координат. Найдите f ' (х 0 ).

Решите самостоятельно!

1

3

х 0 = 2

х 0 = - 4

Ответ: - 0,5.

Ответ: 2.

4

2

х 0 = 4

х 0 = - 4

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,75.

Задача 3.1. На рисунке изображен график функции y = f (x) ,

определенной на интервале (-6; 8). Найдите количество точек, в

которых производная функции y = f (x) равна 0.

Решение.

если касательная, проведенная в эту точку имеет вид у = const.

Считаем количество точек пересечения графика функции с касательной.

Ответ: 7.

Теоретические сведения.

Производная функции в точке х 0 равна 0 тогда и только тогда, когда касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой х 0 , горизонтальна. Отсюда следует простой способ решения задачи — приложить линейку или край листа бумаги к рисунку сверху горизонтально и, двигая «вниз», сосчитать количество точек с горизонтальной касательной.

Задача 3.2. На рисунке изображен график функции y = f (x) ,

определенной на интервале ( a ; b ). Найдите количество точек, в

которых производная функции y = f (x) равна 0.

Решите устно!

1

3

Ответ: 7.

Ответ: 7.

4

2

Ответ: 6.

Ответ: 8.

Задача 4.1 . Пррямая y = 8x - 9 является касательной к графику y = x 3 + x 2 + 8x - 9. Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

y = 8x - 9 k = 8

f / (x o )=k

f / (x o ) = ( x 3 + x 2 + 8x -9 ) / = 3x 2 +2x+8

3x 2 +2x+8 = 8

3x 2 +2x = 0

x(3x+2) = 0

x = 0 или x = -2/3

Какое значение выбрать? Ведь ответ в первой части должен быть один.

Точка касания является общей для y=8x - 9 и y= x 3 + x 2 + 8x - 9

x = 0 : y 1 =8*0 - 9 y 2 = -9

y 1 = -9

y 1 = y 2 Следовательно 0- искомая абсцисса.

Ответ: 0.

Задача 4.2

Ответ: -1.

Задача 4.3

Ответ: 1.

Желаю УДАЧИ при сдаче ЕГЭ!!!