Изобретение логарифмов Дж. Непером

Изобретение логарифмов Дж. Непером

На всем протяжении XVI века быстро возрастало количество приближенных вычислений, прежде всего в астрономии. Исследование планетных движений требовало колоссальных расчетов. Астрономы просто могли утонуть в невыполнимых расчетах. Очевидные трудности возникали и в других областях, таких как финансовое и страховое дело. Основную трудность представляли умножение и деление многозначных чисел, особенно же тригонометрических величин.

Иногда для приведения умножения к более легкому сложению и вычитанию пользовались таблицами синусов и косинусов. Была также составлена таблица квадратов до 100 000, с помощью которой умножение можно было производить по определенному правилу.

Однако эти приемы не давали удовлетворительного решения вопроса.

«Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу XVI века свойства прогрессий, — пишут М.В. Чириков и А.П. Юшкевич. — Связь между членами геометрической профессии и арифметической прогрессией не раз отмечалась математиками, о ней говорилось еще в «Псаммите» Архимеда. Другой предпосылкой было распространение понятия степени на отрицательные и дробные показатели, позволившее перенести только что упомянутую связь на более общий случай...

...умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической — в том же порядке — сложение, вычитание, умножение и деление. Здесь уже скрывалась идея логарифма числа как показателя степени, в которую нужно возвести данное основание, чтобы получить это число. Оставалось перенести знакомые свойства прогрессии с общим членом на любые действительные показатели. Это дало бы непрерывную показательную функцию, принимающую любые положительные значения, а также обратную ей логарифмическую. Но эту идею глубокого принципиального значения удалось развить через несколько десятков лет».

Непер и Брюги

Цель: дать новое удобное средство арифметических

вычислений

Отличие: Непер кинематически выразил логарифмическую

Функцию;

Брюги остался на почве рассмотрения дискретных

прогрессий

Первый изобретатель логарифмов — Джон Непер (1550—1617)

шотландский барон, получил образование на родине в

Эдинбурге.

Путешествие по Германии, Франции и Испании,

21 год - поселился в семейном поместье близ Эдинбурга.

Богословие и математика по сочинениям Евклида, Архимеда,

Региомонтана, Коперника.

К открытию логарифмов Непер пришел не позднее 1594 года, но лишь

двадцать лет спустя опубликовал свое

«Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614),

содержавшее определение Неперовых логарифмов,

их свойства и таблицы логарифмов синусов и косинусов от 0 до 90 градусов

с интервалом в 1 минуту, а также разности этих логарифмов,

дающие логарифмы тангенсов.

Теоретические выводы и объяснения способа вычисления таблицы

он изложил в другом труде,

подготовленном, вероятно, до «Описания», но изданном посмертно,

в «Построении удивительной таблицы логарифмов» (1619) .

В обоих сочинениях Непер рассматривает и некоторые вопросы тригонометрии. Особенно известны удобные для логарифмирования «аналогии», т. е. пропорции Непера, применяемые при решении сферических треугольников по двум сторонам и углу между ними, а также по двум углам и прилежащей к ним стороне.

Основа определения логарифма - кинематическая идея,

связь между геометрической профессией и арифметической прогрессией показателей ее членов.

В ходе тригонометрических расчётов, Неперу пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

Можно с большой вероятностью предполагать, что Непер был знаком с книгой «Arithmetica integra» Михаэля Штифеля, в которой нашла своё выражение идея логарифма: сопоставить умножению в одной шкале (базовой) сложение в другой шкале (логарифмической). Штифель, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи

«Построение удивительных таблиц логарифмов» - 1619 год, переиздание в 1620 году сыном Робертом Непером

Таблица логарифмов — небольшая таблица, с помощью которой можно узнать посредством весьма легких вычислений все геометрические размеры и движения.Она составлена из чисел, следующих в непрерывной пропорции.

Если из полного синуса с добавленными семью нулями ты вычтешь его 10000000-ую часть, а из полученного таким образом числа — его 10000000-ую часть и так далее, то этот ряд можно легко продолжить до ста чисел в геометрическом отношении, существующем между полным синусом и синусом, меньшим его на единицу, а именно между 10000000 и 9999999, и этот ряд пропорциональных мы назовем Первой таблицей.

. В современной записи модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением:

dx/x = -dy/M,

где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков. Непер взял M = 10000000[12].

Если обозначить его функцию LogNap(x), то она связана с натуральным логарифмом (ln) следующим образом:

LogNap ⁡ ( x ) = M ∗ ( ln ⁡ ( M ) − ln ⁡ ( x ) )

Очевидно, LogNap(M) = 0, то есть логарифм «полного синуса» есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. LogNap(0) = ∞.

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма.

Например, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1).

Вторая таблица следует от полного синуса с шестью добавленными нулями через пятьдесят других чисел, пропорционально убывающих в отношении, которое является простейшим и возможно более близким к отношению между первым и последним числами Первой таблицы.

Третья таблица состоит из шестидесяти девяти столбцов и в каждом столбце расположено двадцать одно число, следующее в отношении, которое является простейшим и возможно более близким к отношению, существующему между первым и последним членами Второй таблицы. Поэтому ее первый столбец может быть очень легко получен из полного синуса с пятью добавленными нулями и из последующих чисел вычитанием из них 2000-ой части.

Таким образом, из любого числа предыдущего столбца

вычитанием его сотой части получается число того же порядка следующего столбца...

.... этих трех таблиц (после их составления) достаточно для вычисления таблицы логарифмов». Дж. Непер

У Непера не было, строго говоря, основания логарифмов, поскольку логарифм единицы отличается от нуля.

Широкому распространению современного определения логарифма более других содействовал Эйлер, который применил в этой связи и термин «основание».

Термин «логарифм» принадлежит Неперу, он возник из сочетания греческих слов «отношение» и «число», и означает «число отношения». Хотя первоначально Непер пользовался другим термином — «искусственные числа»

Все значения таблицы Непера, как оказалось, содержали вычислительную ошибку после шестого знака.

Таблицы, приспособленные к тригонометрическим вычислениям, были неудобны для действий с данными числами.

Чтобы устранить эти недостатки - приняли за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти просто единицу.

ПОСЛЕДОВАТЕЛИ

Генри Бригс - «Первая тысяча логарифмов» (1617 - год смерти Непера) - десятичные логарифмы чисел от 1 до 1000 с четырнадцатью знаками

1624г - «Логарифмическая арифметика» - четырнадцатизначные логарифмы чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000.

Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку.

Современное определение логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке.

Составлением логарифмических таблиц и совершенствованием их занялись очень многие математики:

Кеплер в Марбурге в 1624—1625 годах применил логарифмы к построению новых таблиц движений планет.

Лондонский учитель математики Джон Спейделл издал таблицы натуральных логарифмов чисел от 1 до 1000.

Термин «натуральные логарифмы» ввели П. Менголи (1659), а несколько позднее — Н Меркатор (1668).

Практическое значение вычисленных таблиц было очень велико. Но открытие логарифмов имело также глубочайшее теоретическое значение. Открытие Непера, в частности, открыло путь в область новых трансцендентных функций и сообщило мощные стимулы в развитии анализа.

Источники:

• https://ru.wikipedia.org/wiki/ ;
• http://www.iq-coaching.ru/nauchnye-otkrytiya/matematika/108.html

ПОСЛЕДОВАТЕЛИ

Генри Бригс - «Первая тысяча логарифмов» (1617 - год смерти Непера) - десятичные логарифмы чисел от 1 до 1000 с четырнадцатью знаками

1624г - «Логарифмическая арифметика» - четырнадцатизначные логарифмы чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000.

Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера).

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку.

Современное определение логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке.