"Как Мише помогли уравнения". Математическая сказка. Дидактический материал

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Центр образования №6 «Перспектива» г.Белгорода

Математическая сказка

«Как Мише помогли уравнения»

Составила: учитель математики

Беляева Алина Витальевна

г. Белгород

2018 г.

Утром Миша проснулся от яркого света. Мальчик сел на кровать, потянулся и хотел, как обычно пойти на кухню, где всегда была мама. Но… увы! Кухни на месте не оказалось, а вместо нее он увидел дверь странного сиреневато-серого цвета. Мише очень не хотелось сидеть в странной комнате, и он решил выйти. На нём была голубая пижама, которая на улице превратилась в школьную форму! Миша уже закончил 6 класс, знал много о виртуальных мирах и быстро понял, что он не в реальном мире, поэтому его это не испугало и даже не удивило…

На улице было темно, только много маленьких фонариков освещали этот мир. Думаете, если бы у Миши в комнате находился компьютер он бы пошел расследовать, в чём дело?! Не-е-т! Он бы рубился в любимую игрушку! Но, к сожалению, компьютера в комнате не оказалось, поэтому Миша спокойно шел по дорожке, которая вела его куда-то в неизвестность.

Вдруг он услышал какие-то голоса. Оглянувшись, Миша увидел 2 желеобразные тела, одно желтое, другое красное, которые возбужденно бормотали : «Желтое старше красного в 4 раза, при этом суммарный возраст красного и желтого составляет 50 лет. Через сколько лет желтое станет старше красного в 3 раза?» Миша прислушался, (такую задачу он решал ещё в 4 классе) и спросил:

- Эй, странные существа, где я?

Ответа не было. Миша подумал, что они не хотят отвечать, потому что он не сказал «волшебное» слово». Тогда он спросил еще раз:

- Извините, пожалуйста, вы не могли бы мне сказать, где я?

Ноль внимания. Тогда Миша прислушался к тому, о чем спорили существа, и опять обратился:

- Я знаю ответ на ваш вопрос.

Тела замолчали и посмотрели на Мишу. Немного подумав, один сказал:

- Ну?

- Сначала скажите, где я.

- А ты правда знаешь?

- Знаю.

Тогда Красный сказал:

- Ты в Наномире. Я- Наннос красный, а он Наннос желтый. Управляет Наномиром Наннос Главный, он находится в большом Нанодоме.- и он показал на большое сооружение в конце улицы.

- Так,- сказал Миша,- всё понятно, хотя ему ничего не было понятно.

- Ты сказал, что знаешь ответ – сказал Красный.

- Желтый будет старше Красного в 3 раза через 5 лет.

- Не верим, хором сказали Наносы. Докажи.

Миша хотел отмахнуться от них, но они прилипли к нему и не отпускали.

- Докажи, мы тебе заплатим.

Миша задумался. Деньги нужны, раз они есть в этом мире. Надо ведь выбираться отсюда, деньги не помешают.

- Хорошо. Сколько заплатите? Задача сложная, решение дорого стоит.

- 25 миллионов – выпалил Красный.

У Миши дух захватило Вот это да!

- Ладно, слушайте. Вы уравнения решать умеете?

- Нет, а что это?

- Ну, а складывать, умножать, делить умеете?

- Умеем.

- Уже хорошо. Тогда запоминайте:

Уравнением называют равенство, содержащее неизвестное, обозначающееся буквой (как правило, латинского алфавита), значение которой необходимо найти.

2

Значение неизвестного, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение – значит, найти все его корни или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня.

При решении простейших уравнений используются правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя, которые выводятся из определения основных арифметических действий над числами:

чтобы найти неизвестное слагаемое нужно из значения суммы вычесть известное слагаемое.

- А дальше мы знаем, - перебил Мишу Желтый:

1)Чтобы найти неизвестное уменьшаемое нужно вычитаемое прибавить к значению разности.

2)Чтобы найти неизвестное вычитаемое нужно из уменьшаемого вычесть значение разности.

Чтобы найти неизвестный множитель нужно значение произведения разделить на известный множитель.

1)Чтобы найти неизвестное делимое нужно делитель умножить на значение частного.

2)Чтобы найти неизвестный делитель нужно делимое разделить на значение частного.

- Молодцы! - сказал Миша, - Вы всё знаете!

- Ну, это мы знаем и сможем решить, если уравнение есть, а если его нет, где его взять?

- Ах, вот в чем дело, Вы не умеете СОСТАВЛЯТЬ уравнения. Хорошо, я составлю Вам первое по Вашей задаче: обозначим за х возраст Красного, а Желтый в 4 раза старше, значит ему 4х лет, а вместе Вам 50 лет, тогда получается:

х + 4х =50 .

решаем 5х = 50

- Дальше мы умеем, -закричали оба Нонноса, - неизвестный множитель находим как частное от деления значения произведения на известный множитель. Значит

х = 10 лет.

- Правильно, мне 10 лет, а Желтому 40 лет, но ведь это мы и сами знаем, а как ты докажешь, что через 5 лет Желтый будет старше меня в 3 раза. Вот тогда по завещанию отца он получит в наследство Нанофабрику по самопроизводству Наноботов – сказал Красный.

- Ну, мы должны составить ещё одно уравнение! - предложил Миша, - через какое-то количество лет, например: через а, Желтому будет (40 + а) лет, а тебе, Красный,

(10 +а). Вы хотите узнать, когда ваш возраст будет отличаться в 3 раза, это можно узнать из уравнения.

3(10 + а) = (40 + а)

- А как же решать это уравнение, ведь неизвестное число и справа и слева, - приуныли существа, - да ещё скобки.

- Ну давайте разбираться, - сказал Миша, - если две величины равны, то их разность чему будет равна?

- Нулю!

3(10 +а ) – (40 + а) = 0

- Как- будто от правой и от левой части одновременно отминусовали (40 +а).

-Можно и так сказать, - продолжил Миша, - а теперь мы раскроем скобки. Делать будем так:

Во первых, воспользуемся распределительным законом умножения относительно сложения для замены выражения 3(10 + а) выражением 3×10 +3а, и получим 30 +3а,

3

Во-вторых, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак -, надо заменить этот знак на +, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки, тогда получим при раскрытии второй скобки

+ (-40) + (- а), и наше уравнение принимает вид

30 + 3а -40 - а = 0

- Ну, теперь понятно?

Наносы переглянулись. Миша понял, что и тут им не всё ясно.

- Продолжаю.

Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными.

Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом).

Подобные слагаемые могут отличаться только коэффициентом.

Привести подобные слагаемые, или сложить их – это значит сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

То есть :

3а – а – 40 + 30 = 0, или

2а – 10 = 0

а дальше прибавим к обеим частям уравнения 10 и получим:

2а -10 +10 = 10 или

2а = 10, отсюда

а = 5,

а что мы принимали за а?

- Количество лет, через которое Желтый будет в 3 раза старше Красного и унаследует фабрику отца – радостно пропели Нанносы.

- Ну, а теперь расчет, - потребовал Миша.

Нанносы протянули ему маленькую черную коробочку, На крышке было написано: 25 000 000 нанорублей. Миша нажал единственную кнопочку на крышке и ему в ладонь выпала монетка, на которой было написано 25 нанорублей.

- Пойдем с нами к Нанносу Главному, он тоже захочет составлять и решать уравнения, - позвали Мишу существа. И тут он почувствовал, что очень проголодался.

Красный и Желтый подвели его к сияющему сине-фиолетовым светом ящику- автомату. Это был автомат с едой. Наверху сияла надпись: «Горячие обед - стоимость 75 нанорублей. 2/3 стоимости нанонапитка равны 4/9 стоимости наноеды».

- А вы, миллионеры, что будете заказывать, - поинтересовался Миша.

- Мы не можем ничего заказать, не знаем, сколько стоит, а пить очень хочется..

- Эх, вы горе-математики. Опять уравнение.

Принимаем за х – стоимость напитка, тогда стоимость еды 75 – х. Исходя из заявленного условия:

×х = ×(75-х),

Умножаем обе части уравнения на 9, тогда

9××х =9 ×× (75-х), получим

6х = 4× (75-х) или

6х = 300 – 4х

Переносим все члены выражения, содержащие переменную х в левую часть и имеем

6х + 4х = 300

10х = 300

х = 30,

4

то есть напиток стоит 30 нруб, а еда стоит 75- 30 = 40 (нруб).

- Итак, что будем заказывать? Напитки? Тогда 3 напитка и еда будут стоить

30*3 +45 = 135 (нруб.)

Подкрепившись, наши друзья, а они уже стали друзьями, отправились дальше. По дороге Миша успел заметить, что суетившиеся вокруг существа, были очень разные и по форме, и по цвету тел, одежды на них не было. Но все что-то делали, что-то переносили, куда-то спешили. Миша понял, что он попал в страну роботов, а Наннос Главный был главным компьютером, мозгом этой страны. Вот почему его друзья не могли составлять уравнения, они были запрограммированы на другие дела.

Скоро они дошли до высокого сиреневого цвета здания в конце улицы и его друзья стали прощаться. Они указали Мише на входные ворота, над которыми возвышалась арка с надписью:

«Чтобы найти дорогу к центру Нанномира, пройди три круга, сосчитай свои шаги и будешь знать, с какой ступени лестницы Удачи ты постучишь в дверь к Главному Хранителю ключей от Нанномира. Первый круг –0,2 всех шагов и еще 16, второй круг -0,3 остатка и еще 20. А третий круг –последние 120 шагов.»

Миша стал считать. Пусть х – число шагов, которое надо пройти, это же число и будет номером той ступеньки лестницы, где дверь к Нанносу Главному. Тогда первый круг

(0,2х + 16 ) шагов, значит останется

х – (0,2х + 16) = х – 0,2х – 16 = 0,8х -16, тогда второй круг

(0,3× (0,8х – 16) + 20) =( 0,24х – 4,8 + 20) = (0,24х + 15,2)шагов,

Останется на третьем круге пройти

х – (0,2х + 16 ) - (0,24х + 15,2) =(х - 0,2х - 16 - 0,24х - 15,2) =(0,56х – 31,2) , что составляет 120 шагов, тогда

(0,56х – 31,2) =120, откуда

0,56х = 120 + 31,2 = 151,2

х = 270 шагов.

Поднявшись на 270 ступеньку, Миша открыл дверь и оказался перед Главным Хранителем. Ну, конечно, это Робот, то есть Электронная машина с огромным количеством кнопок, клавиш, манипуляторов и еще чего-то, что Миша не знал и не представлял. Он нашел большой пульт управления и сел в кресло.

- Я хочу домой, - сказал он Главному, - я не знаю, почему я здесь оказался, но дома меня ждут.

И вот что ему ответил Нанос Главный.

- Я отпущу тебя домой, но сначала ты должен решить для меня 3 задачи. Я могу всё, но у меня нет алгоритма решения этих задач.

Задача 1. На одной из моих фабрик случилась авария, и я не знаю рецепта приготовления одного очень важного вещества – П-15. Это оно освещает наши улицы. Я только знаю, что П-15 можно получить из П-3 и П-5, которые содержат одинаковое количество элемента П, только в П-3 его 3/5 части, а в П-5 -90%. Но как определить, сколько надо П-3 и П-5, никто не знает.

- А сколько Вам надо этого П-15 , - спросил Миша.

- Мы производили его по 750 г в год.

Через несколько минут Миша предложил свои расчёты Главному Хранителю:

- Примем за х количество вещества П-5. Мы знаем, что в нём содержится 90% элемента П. Применив правило нахождения дроби от числа, и переведя 90% в десятичную дробь, имеем:

количество элемента П в веществе П-5 равно 0,9х.

5

Зная, что в веществе П-3 такое же количество элемента П, но от общего количества вещества П-3 элемент П составляет 3/5, мы можем, применив теперь правило нахождения числа по его дроби, найти количество вещества П-3

= х× =х = 1,5х

Теперь составим уравнения:

5

х – количество вещества П-5, 1,5х - количество вещества П-3, тогда

х + 1,5х = 750

2,5х = 750

х = =300 ( г вещества П-5) и

750 – 300 = 450 (г вещества П-3)

Нанос Главный был в восторге:

- Прекрасно. Теперь, скажи, как нам запустить фабрику, сколько нужно нам вещества П-3 и П-5 в день? Нам нужен точный график работы.

- А сколько у вас дней в году? - осторожно спросил Миша, понимая, что в этой стране и время может быть другим. Но Главный ему ответил:

- 365 дней.

- Ну, тогда составляем пропорцию и решаем её, быстро ответил Миша:

На год, то есть на 365 дней нам необходимо 300 г вещества П-5 и

450 г вещества П-3,

А на 1 день – а вещества П-5 и

с вещества П-3

то есть = ; =

Применяя основное свойство пропорции, а именно: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, имеем

365×а =300 и

365×с =450, отсюда

а =0,821918 (г)

с =1,232877(г),

- Отлично, - сказал Ноннос Главный, значит каждые 50 дней я буду загружать в фабрику эти величины, взятые 50 раз подряд.

- Подождите,- осторожно вмешался Миша, - но ведь используя свойство пропорции, можно сразу посчитать, сколько вашего сырья надо на 50 дней.

=

=

365× а =300×50

365×с = 450×50

а =41,09589

с =61,64384

Можно округлить и загружать в граммах: вещество П-5 - 41 096 г

Вещество П-3 - 61644 г

- Ну, теперь моя фабрика заработает в полную силу. А ты составь мне алгоритм решения задач с уравнениями, я сам хочу уметь решать такие задачи.

6

Вот теперь Мише пришлось вспомнить все правила , которые учил он за 6 лет в школе, и вот что у него получилось:

Мы знаем, что уравнение есть обратная задача на нахождение одного из результатов арифметических действий. Это действие может быть первым, вторым, третьим и так далее в цепочке выражения, для нахождения значения которого мы используем правило о порядке выполнения действий. Следовательно, для решения уравнения мы должны выполнить действия в обратном порядке.

Алгоритм решения уравнения с одним неизвестным.

Чтобы решить уравнение нужно:

1. Раскрыть скобки, если они имеются.               2. Перенести слагаемые, которые содержат неизвестные, в левую часть уравнения, а известные – в правую, не забывая, при этом, изменить  знак перенесенного слагаемого на противоположный. 3. Выполнить приведение подобных слагаемых.                   4. Поделить левую и правую части уравнения на коэффициенты при неизвестном:  ах = в. Если а = 0, то уравнение имеет один корень: х = в/а. Если а ≠ 0, а в = 0, то уравнение не имеет корней. Если а = 0, в = 0, то уравнение имеет бесконечное множество корней.

Чтобы решить дробное уравнение необходимо: 

1)Найти наименьший общий знаменатель всех дробей.                             2)Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель. 3) Раскрыть скобки, если они есть.           

4) Перенести слагаемые, которые содержат неизвестные, в левую часть уравнения, а известные – в правую. 5) Выполнить приведение подобных слагаемых.               6) Поделить левую и правую часть уравнения на коэффициент при неизвестном (если он не равен нулю).

                               Решение задач с помощью составления уравнений

1. Исходя из условия задачи, вводят переменные, т.е. буквами x, y, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин;

7

1. С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют уравнение (или систему уравнений);

2. Решают составленное уравнение (или систему уравнений) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи;

3. Если буквами x, y, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Миша быстро записал свои выводы и ввел их в компьютер. Но через минуту он услышал сердитый голос Главного:

- Как решать уравнения, мне понятно, я не знаю, как решать задачи с помощью составления уравнений. Мне нужен алгоритм решения задач.

Вот тут был тупик. Составить уравнение для решения задачи – это может только человек. Машине нужно задать это уравнение, а вот как научить машину придумать уравнение? Этого Миша не знал. Но что же делать? Надо ведь возвращаться в своё время, скоро 1 сентября и нужно учиться дальше в 7 классе.

Миша вспомнил, что недавно он читал о нанотехнологиях и стал шаг за шагом вспоминать, что такое нано…

Приставка «нано» («нанос» по-гречески - карлик) означает «одна миллиардная доля». Один нанометр (1 нм) – одна миллиардная доля метра (10^-9 м). Представить себе такую величину просто невозможно.

Уменьшим слона до размеров микроба (5000 нм) – тогда блоха у него на спине станет величиной как раз в нанометр. Если бы рост человека вдруг уменьшился до нанометра, мы могли бы играть в футбол отдельными атомами! Толщина листа бумаги казалась бы нам тогда равной… 170 километрам.

Конечно, это только фантазии. Таких крошечных человечков и даже насекомых на свете быть не может. Нанометрами измеряются лишь самые примитивные существа - вирусы (их длина в среднем 100 нм). Нанотехнологии – это процессы в этом мире, на которые может воздействовать человек или созданный человеком механизм.

Но что дают эти знания, как выбраться из этого мира? Деньгами тут не откупишься. Тогда Миша придумал самый простой способ: он предложил Нанносу Главному:

- А давай я стану у тебя Главным Решателем Задач, а ты меня вернёшь в мой мир, где я буду дальше учиться и передавать тебе знания людей.

Такое решение вопроса устроило обе стороны, вот поэтому мы и узнали эту историю и смогли с помощью математики заглянуть в Наномир.