Как научиться быстро считать без калькулятора (МАСТЕР-КЛАСС)

КАК НАУЧИТЬСЯ БЫСТРО СЧИТАТЬ БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА МАСТЕР - КЛАСС

на

Умеете ли Вы считать?

Каждый, конечно, скажет: «Да!»

Это очень важные умения, так как вычислительные навыки являются фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин.

Хорошо ли Вы считаете?

Об умении считать можно судить:

• по умению производить устные и письменные вычисления,
• по рациональной организации хода вычисления,
• по умению убеждаться в правильности полученных результатов.

Качество вычислительных умений определяется двумя вещами: знанием правил; знанием алгоритмов вычислений.

Актуальность темы:

Несмотря на все плюсы компьютерной эпохи, налицо тот факт, что многие разучились считать без калькулятора.

Систематическое использование технологии совершенствования вычислительных навыков на уроках математики, начиная с начального курса обучения, способствует формированию высокого вычислительного уровня математической культуры.

Актуальность темы:

Способы быстрого счёта рассчитаны на ум обычного « человека » и не требуют уникальных способностей.

Главное – более или менее продолжительная тренировка.

Кроме того освоение этих навыков развивает логику и память учащегося.

Цель исследования:

быстрый счёт с использованием нестандартных приёмов устного счёта,

знание упрощённых приёмов устных вычислений, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц и калькулятора.

Цель проекта:

Ознакомить и освоить дополнительные приемы устных и письменных вычислений, которые позволили бы значительно сократить время, потраченное на вычисления и запись решения, и избежать использования различных вычислительных средств, что в свою очередь позволит сэкономить время на решении заданий.

Задачи проекта:

Образовательные: развитие и закрепление вычислительных навыков; рациональных приемов устного счета;

восприятие, запоминание, обработка информации;

Развивающие: поддержание и укрепление умственной работоспособности, организованности, целеустремленности, внимательности, визуализации;

развитие оперативности, переключаемости, гибкости мышления, точности выполнения в соответствии с требованием задания;

совершенствование как образной, так и логической памяти;

развитие творческих способностей.

Воспитательные:

привитие и повышение познавательного интереса к урокам математики, как одного из важнейших мотивов учебно-познавательной деятельности, и развития личностных качеств ребенка.

Приемы устного быстрого счета: гениальность или метод?

• Уметь быстро считать может научиться каждый!

• Нужно знать способы устного быстрого счета.

• Но… есть люди, которые обладают уникальными способностями от природы.

Упрощённые приёмы устных вычислений при умножении натуральных чисел.

• Умножение чисел от 10-ти до 20-ти Умножение и деление на 5; 50; 0,5. Умножение на 15; 1,5. Умножение и деление на 25. Умножение и деление на 125. Умножение чисел на 11 Умножение чисел на 22, 33,… ,99. Умножение двузначных чисел на 101 , 10101. Умножение двузначных чисел , у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10. Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5. Квадраты близких чисел . Фокус «Корень кубический - мгновенно»
• Умножение чисел от 10-ти до 20-ти
• Умножение и деление на 5; 50; 0,5.
• Умножение на 15; 1,5.
• Умножение и деление на 25.
• Умножение и деление на 125.
• Умножение чисел на 11
• Умножение чисел на 22, 33,… ,99.
• Умножение двузначных чисел на 101 , 10101.
• Умножение двузначных чисел , у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10.
• Умножение двузначных чисел, у которых сумма цифр десятков равна 10, а цифры единиц одинаковые.
• Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.
• Квадраты близких чисел .
• Фокус «Корень кубический - мгновенно»

Умножение чисел от 10-ти до 20-ти

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 (дописываем 0) и прибавить произведение единиц чисел.

Например: 1 6 •1 8 =( 16+8 )•10+ 6 • 8 =288,

( 24 0 + 48 =288)

или

1 7 •1 7 =( 17+7 )•10+ 7 • 7 =289.

• Например: 1 6 •1 8 =( 16+8 )•10+ 6 • 8 =288, ( 24 0 + 48 =288) или 1 7 •1 7 =( 17+7 )•10+ 7 • 7 =289.

( 24 0 + 49 =289)

=168

1 4 • 1 2 =

16 0 + 8

13 • 1 7 =

20 0 + 21

=221

=285

24 0 + 45

1 5 • 1 9 =

=272

23 0 + 42

1 6 • 1 7 =

1 8 • 1 4 =

=252

22 0 + 32

Умножение на 5; 50; 0,5

Трудно согласится тем, что разделить произвольное число на 2 в уме легче, чем умножить его на 5. Зная, что 5= 10:2; 50= 100:2 имеем:

Четное число делим на 2 и дописываем 0 ( или 00 , если •50, ) .

Нечетное число: вычитаем 1, результат делим на 2 и дописываем 5; ( или 50 , если умножаем на 50) .

Например:

84 •5= 84 :2 •10= 42 0;

( 84 : 2, дописываем 0 = 42 0) или

8 5 •5= (( 84+ 1 ) :2) десятков =

= 42 десятка, остаток 1 = 42 5

( 84 : 2 дописываем 5 = 42 5)

86 • 5 =

= 43 0

86 : 2

128 : 2

= 64 0

128• 5 =

= 3726 0

7452 : 2

7452• 5 =

= 37 5

74 : 2

75 • 5=

189 • 5 =

= 94 5

188 : 2

Умножение на 1,5; 15

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Чтобы умножить число на 15, нужно к исходное число умножить на 10 прибавить еще половину.

Например:

84 •1,5= 84 + 84 : 2 =126;

( 84 + 42= 126)

или

84 •15= 84 •10 + 840 : 2=1260;

( 840 + 420= 1260)

86 • 1,5 =

86 +43

=129

128 +64

=192

128•1,5 =

=69

46 + 23

46• 1,5 =

=810

540 +270

54 • 15=

350 + 175

35 • 15 =

=525

Умножение на 25

Зная, что 25= 100:4 имеем:

Чтобы умножить какое-нибудь число на 25, нужно данное число разделить на 4 и дописать:

00 , если разделилось без остатка ;

25 , если остаток 1; 50 , если остаток 2 ; 75 , если остаток 3 ;

Например:

184 • 25=( 184 :4) сотен =

= 46 сотен, без остатка = 4600;

или

135 • 25 = ( 135 :4) сотни =( 100 :4+ 35 :4) сотни =

= 33 сотни, остаток 3 (или неполная сотня – 75 )= 3375.

16 :4

16 • 25 =

=400

128 :4

128•25 =

=3200

(44+2) :4

=1150

46• 25 =

=4075

163 • 25=

(160+3) :4

(80+1) :4

81 • 25 =

=2025

Умножение на 125

Зная, что 125= 1000:8 можем легко умножать на 125 числа кратные 8:

Чтобы умножить число на 125, нужно данное число разделить на 8 и дописать: 000 , если разделилось без остатка ;

125 , если остаток 1;

250 , если остаток 2 ;

375 , если остаток 3 ;

500 , если остаток 4;

625 , если остаток 5 ;

875 , если остаток 7;

750 , если остаток 6;

Например:

88 • 125=( 88 :8) тысячи = 11 тысяч, без остатка = 11000;

или

89 • 125 =( 89 :4) тысячи = =(( 88+ 1 ):4) тысячи = 11 тысяч , остаток 1 (или неполная тысяча 125 ) = 11125.

16 • 125 =

16 :8

=2000

168 :8

=21000

168•125 =

56 :8

=7000

56• 125 =

(64+1) :8

65 • 125=

=8125

(80+3) :8

83 • 125 =

=10375

Умножение на 11

Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

Например:

27 • 11= 2( 2+7 )7= 2 9 7 ;

135 • 11=1( 1+3 )( 3+5 )5 = 1485;

или

1 7

89 • 11 =8( 8+9 )9= 9 7 9

1 0

9 1 2

275 • 11=2( 2+7 )( 7+5 )5 = 3 02 5.

=176

16 • 11 =

1( 1+6 )6

3( 3+5 )5

=385

35•11 =

=616

5( 5+6 )6

56• 11 =

6( 6+2 )( 2+5 )5

625 • 11=

= 6875

247 • 11 =

2( 2+4 )( 4+7 )5

=2717

Умножение на 22; 33; …;99

Чтобы двузначное число умножить на 22; 33;…; 99,надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от2 до9) на 11,то есть 44=4•11; 55=5•11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

16 • 22 =

=352

Например:

27 • 22= 27 • 2 • 11= 54 •11= =5( 5+4 )4= 5 9 4 ;

или

54 • 44= 54 • 4 •11= 216 •11= =2( 2+1 )( 1+6 )6 = 2 37 6 ;

32 • 11

69 • 11

23 • 33=

=759

=2464

224 • 11

56 • 44 =

= 1430

130 • 11

26 • 55=

=6237

567 • 11

81 • 77 =

Умножение на 101; 10101

Пожалуй, самое простое правило:

чтобы двузначное число умножить на 101; 10101, припишите ваше число к самому себе;

чтобы трехзначное число умножить на 1001, надо к этому числу справа приписать это же число .

Например:

27 • 101= 27 27 ;

или

54 • 10101= 54 54 54 ;

или

653 • 1001= 653 653.

16 • 101 =

1616

23 • 101=

2323

56 • 10101 =

565656

292929

29 • 10101=

815815

815 • 1001 =

Умножение двузначных чисел , у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10.

Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1 , получим число сотен , затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй, таким образом получаем ответ.

2 2 • 2 8 =

Например:

2 6 • 2 4= ( 2 • 3) сотни +6 • 4 =624 ;

5 3 • 5 7= ( 5 • 6) сотни +3 • 7 =3021 ;

6 9 • 6 1= ( 6 • 7) сотни +9 • 1 =

=42 сотни + 9=4200+9= 42 09

=616

( 2 • 3) и 2 • 8

=1221

( 3 • 4) и 7 • 3

3 7 • 3 3 =

=3024

( 5 • 6) и 6 • 4

5 6 • 5 4 =

= 7225

8 5 • 8 5 =

( 8 • 9) и 5 • 5

=2009

( 4 • 5) и 1 • 9

4 1 • 4 9 =

Умножение двузначных чисел , у которых цифры единиц одинаковые, а сумма цифр десятков составляет 10.

Число десятков перемножить и прибавить цифру единиц , получим число сотен , затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй, таким образом получаем ответ.

2 1 • 8 1 =

Например:

6 2 • 4 2 = (6 • 4+ 2 ) сотни + 2 • 2 =

= 26 сотен + 4=2600+9 =26 04 ;

или

3 5 • 7 5 = (3 • 7+ 5 ) сотни + 5 • 5 =

=2625 ;

=17 0 1

(2 • 8+ 1 ) и 1 • 1

=23 0 4

(7 • 3+ 2 ) и 2 • 2

7 2 • 3 2 =

(6 • 4+ 5 ) и 5 • 5

=2925

6 5 • 4 5 =

= 3364

5 8 • 5 8 =

(5 • 5+ 8 ) и 8 • 8

=1649

(1 • 9+ 7 ) и 7 • 7

1 7 • 9 7 =

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число , увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25.

3 5 ² =

Например:

6 5 ² = ( 6 • 7) сотни + 25 =4225 ;

или

2 5 ² = ( 2 • 3) сотни + 25 =625 ;

=1225

( 3 • 4) сотни + 25

4 5 ² =

=2025

( 4 • 5) сотни + 25

( 5 • 6) сотни + 25

5 5 ² =

=3025

7 5 ² =

= 5625

( 7 • 8) сотни + 25

=9025

9 5 ² =

( 9 • 10) сотни + 25

Фокус «Корень кубический - мгновенно»

Кубы чисел 0,1,4,5,6,9 оканчиваются той же цифрой (9 3 =729), а числа 2 и 8, 3 и 7 образуют пары, в которой куб одной цифры оканчивается другой.

0 3 =

0

1 3 =

1

2 3 =

8

3 3 =

27

4 3 =

64

5 3 =

125

6 3 =

216

7 3 =

343

8 3 =

512

9 3 =

729

√ 12 16 7 =

=23

Например:

√ 474 55 2 = 78 3 ;

474 лежит между 343 и 512 . Следовательно, цифра десятков равна 7.

Последняя цифра 2 получается при возведении в куб числа 8 . Значит, цифра единиц равна 8.

Задуманное число 78 .

=56

√ 175 61 6 =

=39

√ 59 31 9 =

= 72

√ 373 24 8 =

=41

√ 68 92 1 =

Феноменальные способности Люди-счетчики

Карл Фридрих Гаусс

В детстве Карл отличался умением быстро считать в уме. Как-то, в три года, он совершенно обескуражил своего отца, найдя в его математических расчетах ошибку. С тех пор родители обратили внимание на способности мальчика и старались их развивать. Уникальность Гаусса предопределила его карьеру как великого математика.

Арраго

В России в начале XX века блистал своими умениями «волшебник вычислений» Роман Семенович Левитан, известный под псевдонимом Арраго. Уникальные способности стали проявляться у мальчика уже в раннем возрасте.

За несколько секунд он возводил в квадрат и куб десятизначные числа, извлекал корни разной степени. Казалось, всё это он делал с необычайной легкостью. Но эта легкость была обманчива и требовала большой работы мозга.

Феноменальные способности Люди-счетчики

Ю . З . Приходько

Юзеф Зиновьевич Приходько из Димитровграда делает вычисления типа 31245*64537 за несколько секунд.

О своих способностях он узнал неожиданно, когда ему было около тридцати лет. Совершенно случайно ему на глаза попалась публикация об артисте-математике Р.С. Арраго. Приходько попытался сам проделать в уме подобные вычисления. И был немало удивлен, когда эксперимент удался.

По своей инициативе устроил соревнование в скорости счета с ЭВМ.

Вывод:

Устный счет развивает механическую память, быстроту реакции, умение сосредоточиться.

Приёмы устных вычислений быстрого счёта при умножении натуральных чисел способствуют развитию памяти и повышению математической культуры мышления.

Знание упрощённых приёмов устных вычислений остаётся необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоёмких вычислительных процессов.

Приёмы устных вычислений быстрого счёта повышают скорость и качество вычислений при выполнении наиболее трудоёмких случаев умножения натуральных чисел без применения калькулятора.

Знание приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц или калькулятора.

Поэтому всем школьникам обязательно нужно взять на вооружение основные приемы устного счета и постоянно тренироваться в этом.

Рефлексия:

Опиши свои впечатления о сегодняшнем занятии:

• Спасибо за…
• Я узнал…
• Хорошо, что…
• Мне понравилось…
• Меня удивило…

Интернет - источники

• www.school.edu.ru
• www.ik.net/~stepanov/
• http://www.junior.ru/students/chukhua/shestoe%20chyvstvo.htm
• http://5klass.net/matematika-5-klass/Ratsionalnyj-schjot/001-V-chem-sekret-ratsionalnogo-scheta.html
• http://www.myshared.ru/slide/831283/