Картографиялық проекция

КАРТОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ — это способ перехода от реальной, геометрически сложной земной поверхности к плоскости карты.

Сферическую поверхность невозможно развернуть на плоскости без деформаций — сжатия или растяжения. Это значит, что всякая карта имеет те или иные искажения. Различают искажения длин площадей, углов и форм. На крупномасштабных картах (см. Масштаб) искажения могут быть практически неощутимы, но на мелкомасштабных они бывают очень велики. Картографические проекции обладают разными свойствами в зависимости от характера и размера искажений. Среди них различают:

Равноугольные проекции. Они сохраняют без искажения углы и формы малых объектов, зато в них резко деформируются длины и площади объектов. По картам, составленным в такой проекции, удобно прокладывать маршруты судов, но невозможно измерять площади;

Равновеликие проекции. Они не искажают площадей, но углы и формы в них сильно искажены. Карты в равновеликих проекциях удобны для определения размеров государства, земельных угодий;

Равнопромежуточные. Они имеют постоянный масштаб длин по одному направлению. Искажения углов и площадей в них уравновешены;

Произвольные проекции. Они имеют искажения и углов и площадей в любых соотношениях.

Проекции различаются не только по характеру и размеру искажений, но и по виду поверхности, которую используют при переходе от геоида к плоскости карты. Среди них различают:

Цилиндрические, когда проектирование с геоида идет на поверхность цилиндра. Цилиндрические проекции чаще всего применяют в картографии. Они обладают наименьшими искажениями в области экватора и средних широт. Эту проекцию чаще всего применяют для создания карт мира;

Конические. Эти проекции чаще всего выбирали для создания карт бывшего СССР. Наименьшее количество искажений при конических проекциях приходилось на параллели 47° северной широты и 62° северной долготы. Это очень удобно, поскольку между указанными параллелями размещались основные хозяйственные зоны этого государства и здесь была сосредоточена максимальная нагрузка карт. Зато в конических проекциях сильно искажаются районы, лежащие в высоких широтах и акватории Северного Ледовитого океана;

Азимутальная проекция. Это такой вид картографической проекции, когда проектирование ведется на плоскость. Такой вид проекции применяют при создании карт Антарктиды или Арктики или какого-либо другого района Земли.

В результате картографических проекций каждой точке на земном шаре, обладающей определенными географическими координатами, соответствует одна и только одна точка на карте.

Кроме цилиндрической, конической и азимутальной картографических проекций, существует большой класс условных проекций, при построении которых пользуются не геометрическими аналогами, а лишь математическими уравнениями нужного вида.

Картографическая проекция, масштаб, разграфка, номенклатура топографических карт

Автор admin Опубликовано: Июнь - 16 - 2010

Что же представляет собой топографическая карта и чем она отличается от других (географических) карт?

Прежде всего масштабом. Топографической картой называется точное и подробное изображение местности на плоскости (бумаге), выполненное с уменьшением линий местности от десяти тысяч до одного миллиона раз. Если уменьшение линий местности изображается больше, чем в один миллион раз, то такая карта называется географической. Следовательно, основное различие между топографическими и географическими картами состоит в том, что изображение местности на топографических картах всегда будет более детальным, чем на географических картах. На топографической карте можно показать с достаточной подробностью все элементы местности — населенные пункты, дороги, реки, болота, леса и неровности (рельеф) земной поверхности, чего нельзя достигнуть на географической карте, ввиду значительной степени уменьшения размеров местности. Поэтому топографические карты как более подробные предназначаются для изучения местности и ориентирования на ней, для производства измерений и расчетов, необходимых как в военном деле, так и для целей народного хозяйства.

Какие же масштабы существуют для топографических карт?

Масштабом карты называется отношение, показывающее, во сколько раз уменьшена длина линий на карте по сравнению с ее действительной величиной на местности. Так, например, если 1 см на карте соответствует 10 км на местности, то масштаб карты будет равен 1 : 100000. Этот масштаб называют численным. Величина эта отвлеченная и не зависит от системы линейных мер. При сравнении нескольких масштабов более крупным будет тот, у которого знаменатель меньше, и, наоборот, чем больше знаменатель, тем масштаб мельче. От масштаба карты зависит точность измерений, подробность карты и размер картографического изображения одной и той же местности. Очевидно, что с уменьшением масштаба уменьшается и количество наносимых на нее деталей местности. В зависимости от масштаба топографические карты принято разделять на крупномасштабные (1: 10 000, 1: 25 000, 1: 50 000), среднемасштабные (1 : 100 000, 1: 200 000) и мелкомасштабные (1: 500 000, 1: 1 000 000).

Практически расстояния по карте определяют с помощью линейного масштаба. Он изображается на карте в виде прямой линии с делениями для отсчета расстояний. На картах масштаб (численный, линейный и текстовой) всегда находится под южной рамкой в таком виде, как это изображено на рисунке 41. Расстояние в метрах или километрах на местности, соответствующее одному сантиметру на карте, называется величиной масштаба и всегда подписывается между численным и линейным масштабами.

Но топографическая карта не всегда может удовлетворить требованиям, которые могут возникнуть в практической деятельности, особенно когда необходимо очень подробно изучить отдельный небольшой участок местности. В этих случаях на отдельные участки местности населенного пункта создаются еще более подробные чертежи местности, которые называются планами. Они отличаются от топографической карты тем, что кривизна земной поверхности на них не принимается в расчет. Дело в том, что и на топографической карте небольшие участки местности в пределах которых крутизна земной поверхности незначительна, тоже практически не отличаются от плоского изображения. А это значит, что на топографических картах так же, как и на планах, все измерения можно производить так, как будто они никакой разницы не имеют.

Планы издаются нестандартными листами, местные предметы на них изображаются особыми условными знаками. А рельеф не изображается вообще. По существу, планы являются разновидностью топографических карт. Чаще всего планы создают для изучения населенных пунктов, участков леса, аэродромных площадок, строительных участков с уменьшением всех линий местности в 5— 10 тысяч раз.

Как же получить изображение шарообразной земной поверхности без искажений на плоскости? Какая картографическая проекция используется для этого?

Всем известно, что наша планета похожа на шар. Самое верное представление о взаимном расположении континентов и океанов, лесов и гор дает нам глобус. Им хорошо пользоваться, но не всегда удобно. Чаще возникает потребность иметь плоское изображение нужного нам участка Земли на бумаге. Если бы Земля имела форму цилиндра или конуса, то сделать развертку ее поверхности на плоскости не составляло бы труда. Но ни шар, ни эллипсоид нельзя развернуть на плоскости без складок и разрывов. Поэтому для изображения земной поверхности всегда прибегают к условным построениям, которые получили название картографических проекций. Задача их заключается в том, чтобы на бумаге построить сетки меридианов и параллелей, то есть основы, каркаса любой карты.

Рисунок 19 (а).

Рисунок 19 (б).

Рисунок 19 (в).

Представьте себе, что сеть параллелей и меридианов с поверхности стеклянного шара, образно представляющего в миниатюре земной шар (рис. 19, а, б) проектируется на боковую поверхность цилиндра (а) или конуса (б), сделанного из бумаги. Затем эти поверхности разрезаются по образующей и развертываются. В первом случае проекция называется цилиндрической, и на ней параллели и меридианы изображаются в виде взаимно перпендикулярных прямых. Во втором случае проекция называется конической. В ней параллели изображаются концентрическими окружностями, а меридианы — радиальными прямыми, расходящимися из центра окружностей. Если же на стеклянный шар помимо сетки параллелей и меридианов нанести на одной его половине еще и очертания материков, моря, реки и хребты и осветить его лампой на уровне экватора, то на экране мы получим изображение земной поверхности. В этом случае проекция называется экваториальной (азимутальной), в которой обычно и строятся географические карты в виде полушарий (рис. 19, в).

Над созданием картографических проекций, удобных для восприятия, трудились многие крупнейшие ученые разных эпох. Сюда можно отнести и великих мыслителей древности Аристотеля и Птолемея, и выдающихся гениев эпохи Возрождения, таких, как Леонардо да Винчи и Декарта, и талантливых ученых более позднего периода — Ломоносова и Гаусса и многих других. Несмотря на то что предложены тысячи способов изображения Земли на плоскости, ни один из них не дает точного ее воспроизведения. На одних картах пытаются правильно изображать очертания материков и океанов, но при этом искажаются их размеры. На других — сохраняются площади, зато искажается форма континентов.

В нашей и некоторых других, странах для топографических карт применяется поперечно-цилиндрическая картографическая проекция, предложенная немецким математиком Карлом Гауссом (1777-1855).

Сущность этой картографической проекции состоит в том, что поверхность Земли изображается на плоскости не вся сразу, а отдельными полосами (зонами) шириной по 6° по долготе от Северного полюса до Южного (рис. 20). Каждая такая зона проектируется на внутреннюю боковую поверхность воображаемого цилиндра, который касается земной поверхности по среднему меридиану, называемому осевым меридианом для данной зоны. «Поворачивая» Землю вокруг оси вращения, шестиградусные зоны последовательно проектируют одна за другой на боковую поверхность цилиндра. Затем боковую поверхность цилиндра развертывают на плоскость, и спроектированные зоны изображаются на ней одна рядом с другой. Между собой они соприкасаются только в одной точке — на экваторе (рис. 20). Изображение земной поверхности, полученное таким образом, затем делится сеткой меридианов и параллелей на отдельные листы топографических карт.

Какова точность изображения земной поверхности в такой картографической проекции?

Из ее описания видно, что осевой меридиан в каждой зоне соприкасается с поверхностью земного шара и, следовательно, изображается в проекции Гаусса без искажения своей длины и сохраняет масштаб уменьшения на карте одинаковый на всем их протяжении. Остальные меридианы (боковые) в каждой зоне изображаются в проекции кривыми линиями, поэтому они все длиннее осевого меридиана, то есть искажены на карте. Все параллели выше и ниже экватора также изображаются кривыми линиями и с некоторым искажением. Эти искажения длин увеличиваются по мере удаления от осевого меридиана на восток и на запад и от экватора к северу и к югу. Наибольшее их искажение получается на краях зоны, где они могут достигать величины порядка 0,1% длины измеряемых линий. Но это практически удовлетворяет всем требованиям точности при замерах, проводимых на местности.

Рисунок 20.

Несколько слов о форме и размерах самой Земли. До сих пор Землю условно считали шаром, но в действительности это далеко не так.

После многочисленных замеров и расчетов, продолжающихся вплоть до наших дней, топографы пришли к выводу, что фигура Земли очень близко подходит к эллипсоиду вращения, то есть правильному геометрическому телу, образующемуся вращением эллипса вокруг его малой оси (рис. 21). Поверхность эллипсоида — это некоторая воображаемая поверхность океанов и морей, продолженная над всеми материками, то есть поверхность среднего уровня океана, как бы покрывающая всю нашу планету. Поэтому на картах все возвышенности и отсчитываются от уровня моря. Единых размеров земного эллипсоида для всех стран до сих пор не принято. В СССР и других социалистических странах за основу, при создании топографических карт и определении координат на земной поверхности, принят эллипсоид Красовского, названный так в честь выдающегося советского ученого-геодезиста Ф. Н. Красовского (1878—1948), предложившего следующие размеры земного эллипсоида: большая полуось равна — 6 378 245 км, малая полуось — 6 356 863 км. Из этих размеров видно, что ось вращения Земли короче диаметра земного экватора примерно на 43 км. Поэтому для практических задач, не требующих особой точности, фигуру Земли принимают за шар, радиус которого равен примерно 6371 км.

Рисунок 21 (а, б).

На нашем земном шаре различают следующие основные точки и линии (рис. 21, б). Концы земной оси, вокруг которой происходит суточное вращение Земли, называются географическими полюсами; северный обозначается буквой латинского алфавита — N и южный — S. Плоскость, перпендикулярная к оси вращения Земли и проходящая через ее центр, называется плоскостью земного экватора, а пересечение ее с земной поверхностью дает окружность, которая называется экватором. Выше плоскости экватора находится Северное полушарие, ниже — Южное. Линии пересечения земной поверхности плоскостями, параллельными плоскости экватора, называются параллелями, а линии пересечения земной поверхности вертикальными плоскостями, проходящими через земную ось,— географическими или истинными меридианами. Сетка, образованная пересекающимися меридианами и параллелями, называется географической сеткой.

Итак, любая топографическая карта имеет рамку в виде трапеции, верхняя и нижняя стороны которой являются параллелями, а боковые — меридианами. Такое деление карт на отдельные листы называется разграфкой карт.

Виды картографических проекций

Для выбора наивыгоднейшего пути при переходе судна из одного пункта в другой судоводитель пользуется картой.

Картой называют уменьшенное обобщенное изображение земной поверхности на плоскости, выполненное по определенному масштабу и способу.

Так как Земля имеет сферическую форму, ее поверхность невозможно изобразить на плоскости без искажений. Если разрезать любую сферическую поверхность на части (по меридианам) и наложить эти части на плоскость, то изображение этой поверхности на ней получилось бы искаженной и с разрывами. В экваториальной части были бы складки, а у полюсов — разрывы.

Для решения навигационных задач пользуются искаженными, плоскими изображениями земной поверхности — картами, в которых искажения обусловлены и соответствуют определенным математическим законам.

Математически определенные условные способы изображения на плоскости всей или части поверхности шара или эллипсоида вращения с малым сжатием называются картографической проекцией, а принятая при данной картографической проекции система изображения сети меридианов и параллелей — картографической сеткой.

Все существующие картографические проекции могут быть подразделены на классы по двум признакам: по характеру искажений и по способу построения картографической сетки.

По характеру искажений проекции разделяются на равноугольные (или конформные), равновеликие (или эквивалентные) и произвольные.

Равноугольные проекции. На этих проекциях углы не искажаются, т. е. углы на местности между какими-либо направлениями равны углам на карте между теми же направлениями. Бесконечно малые фигуры на карте в силу свойства равноугольности будут подобны тем же фигурам на Земле. Если остров круглой формы в природе, то и на кар- те в равноугольной проекции он изобразится кружком некоторого радиуса. Но линейные же размеры на картах этой проекции будут искажены.

Равновеликие проекции. На этих проекциях сохраняется пропорциональность площадей фигур, т. е. если площадь какого-либо участка на Земле в два раза больше другого, то на проекции изображение первого участка по площади тоже будет в два раза больше изображения второго. Однако в равновеликой проекции не сохраняется подобие фигур. Остров круглой формы будет изображен на проекции в виде равновеликого ему эллипса.

Произвольные проекции. Эти проекции не сохраняют ни подобия фигур, ни равенства площадей, но могут иметь какие-нибудь другие специальные свойства, необходимые для решения на них определенных практических задач. Наибольшее применение в судовождении из карт произвольных проекций получили ортодромические, на которых ортодромии (большие круги шара) изображаются прямыми линиями, а это очень важно при использовании некоторых радионавигационных систем при плавании по дуге большого круга.

Картографическая сетка для каждого класса проекций, в которой изображение меридианов и параллелей имеет наиболее простой вид, называется нормальной сеткой.

По способу построения картографической нормальной сетки все проекции делятся на конические, цилиндрические, азимутальные, условные и др.

Конические проекции. Проектирование координатных линий Земли производят по какому-либо из законов на внутреннюю поверхность описанного или секущего конуса, а затем, разрезав конус по образующей, разворачивают его на плоскость.

Для получения нормальной прямой конической сетки делают так, чтобы ось конуса совпадала с земной осью PNР S (рис, 33). В этом случае меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, а параллели — дугами концентрических окружностей. Если ось конуса располагают под углом к земной оси, то такие сетки называют косыми коническими.

В зависимости от закона, выбранного для построения параллелей, конические проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными. Конические проекции применяются для географических карт.

Цилиндрические проекции. Картографическую нормальную сетку получают путем проектирования координатных линий Земли по какому-либо закону на боковую поверхность касательного или секущего цилиндра, ось которого совпадает с осью Земли (рис.34), и последующей развертки по образующей на плоскость.

Рис. 33

В прямой нормальной проекции сетка получается из взаимно перпендикулярных прямых линий меридианов Л, В, С, D, F, G и параллелей аа',bb',сс При этом без больших искажений будут изображены участки поверхности экваториальных районов (см, окружность К и ее проекцию К на рис. 34), но участки полярных районов в этом случае не могут быть спроектированы.

Если повернуть цилиндр так, чтобы ось его расположилась в плоскости экватора, а поверхность его касалась полюсов, то получается поперечная цилиндрическая проекция (например, поперечная цилиндрическая проекция Гаусса). Если цилиндр поставить под другим углом к оси Земли, то получаются косые картографические сетки. На этих сетках меридианы и параллели изображаются кривыми линиями.

Рис. 34

Азимутальные проекции. Нормальную картографическую сетку получают проектированием координатных линий Земли на так называемую картинную плоскость Q (рис. 35) — касательную к полюсу Земли. Меридианы нормальной сетки на проекции имеют вид радиальных прямых, исходящих из. центральной точки проекции P^N под угла- ми, равными соответствующим углам в натуре, а параллели — концентрическими окружностями с центром в полюсе. Картинную плоскость можно располагать в любой точке земной поверхности, и точку касания называют центральной точкой проекции и принимают за зенит.

Азимутальная проекция зависит от того, какими радиусами проводятся параллели. Подчиняя радиусы той или иной зависимости от широты, получают различные азимутальные проекции, удовлетворяющие условиям либо равноугольности, либо равновеликости.

Рис. 35

Перспективные проекции. Если картографическую сетку получают проектированием меридианов и параллелей на плоскость по законам линейной перспективы из постоянной точки зрения Т.З. (см. рис. 35), то такие проекции называют перспективными. Плоскость можно располагать на любом расстоянии от Земли или так, чтобы она касалась ее. Точка зрения должна находиться на так называемом основном диаметре земного шара или на его продолжении, причем картинная плоскость должна быть перпендикулярна основному диаметру.

Когда основной диаметр проходит через полюс Земли, проекция называется прямой или полярной (см. рис. 35); при совпадении основного диаметра с плоскостью экватора проекция называется поперечной или экваториальной, а при других положениях основного диаметра проекции называются косыми или горизонтальными.

Кроме того, перспективные проекции зависят от расположения точки зрения от центра Земли на основном диаметре. Когда точка зрения совпадает с центром Земли, проекции называются центральными или гномоническими; когда точка зрения находится на поверхности Землистереографическими; при удалении точки зрения на какое-либо известное расстояние от Земли проекции называются внешними, и при удалении точки зрения в бесконечность —ортографическими.

На полярных перспективных проекциях меридианы и параллели изображаются аналогично полярной азимутальной проекции, но расстояния, между параллелями получаются разными и обусловлены положением точки зрения на линии основного диаметра.

На поперечных и косых перспективных проекциях меридианы и параллели изображаются в виде эллипсов, гипербол, окружностей, парабол или прямых линий.

Из особенностей, свойственных перспективным проекциям, следует отметить, что на стереографической проекции любой круг, проведенный на земной поверхности, изображается в виде окружности; на центральной проекции всякий большой круг, проведенный на земной поверхности, изображается в виде прямой линии, в связи с чем в некоторых частных случаях эту проекцию представляется целесообразным применять в навигации.

Условные проекции. К этой категории относятся все проекции, которые по способу построения нельзя отнести ни к одному из перечисленных выше видов проекций. Они обычно удовлетворяют каким-нибудь заранее поставленным условиям, в зависимости от тех целей, для которых требуется карта. Число условных проекций не ограничено.

Небольшие участки земной поверхности до 85 км можно изобразить на плоскости с сохранением на них подобия нанесенных фигур и площадей. Такие плоские изображения небольших участков земной поверхности, на которых искажениями практически можно пренебрегать, называются планами.

Планы обычно составляют без всяких проекций путем непосредственной съемки и на них наносят все подробности снимаемого участка.

Из рассмотренных выше проекций в судовождении в основном применяются: равноугольная, цилиндрическая, азимутальная перспективная, гномоническая и азимутальная перспективная стереографическая.

Масштабы

Масштабом карты называется отношение бесконечно малого элемента линии в данной точке и по данному направлению на карте к соответствующему бесконечно малому элементу линии на местности.

Этот масштаб называется частным масштабом, и каждая точка карты имеет свой, присущий только ей, частный масштаб. На картах, кроме частного, различают еще главный масштаб, являющийся исходной величиной для расчетов размеров карты.

Главным называется масштаб, величина которого сохраняется лишь по определенным линиям и направлениям, в зависимости от характера построения карты. На всех остальных частях одной и той же карты величина масштаба больше или меньше главного, т. е. этим частям карты будут соответствовать свои частные масштабы.

Отношение частного масштаба карты в данной точке по данному направлению к главному называется увеличением масштаба, а разность между увеличением масштаба и единицей — относительным искажением длины. На равноугольной цилиндрической проекции масштаб изменяется при переходе с одной параллели на другую. Параллель, по которой соблюден главный масштаб, называется главной параллелью. По мере удаления от главной параллели в сторону полюса величины частных масштабов на одной и той же карте увеличиваются и, наоборот, по мере удаления от главной параллели в сторону экватора величины частных масштабов уменьшаются.

Если масштаб выражается в виде простой дроби (или отношения), делимое которой — единица, а делитель — число, указывающее, скольким единицам длины на горизонтальной проекции данного участка земной поверхности соответствует одна единица длины на карте, то такой масштаб называется численным или числовым. Например, числовой масштаб 1/100000 (1:100000) означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности.

Для определения длины измеряемых линий пользуются линейным масштабом, показывающим, сколько единиц длины высшего наименования на местности содержится в одной единице длины низшего наименования на карте (плане).

Например, масштаб карты «5 миль в I см» или 10 км в 1 см» и т. п. Это значит, что расстояние в 5 миль (или 10 км) на местности соответствует 1 см на карте (плане).

Линейный масштаб на плане или карте помещают под рамкой в виде прямой, разделенной на несколько делений; начальную точку линейного масштаба обозначают цифрой 0, а затем против каждого или некоторых последующих его делений ставят цифры, показывающие соответствующие этим делениям расстояния на местности.

Переход от числового масштаба к линейному осуществляется простым пересчетом мер длины.

Например, чтобы перейти от числового масштаба 1/100000 к линейному, нужно 100 000 см перевести в километры или мили. 100 000 см = 1 км, или, приближенно, 0,54 мили, следовательно, данная карта составлена в масштабе 1 км в 1 см , или 0,54 мили в 1 см.

Если известен линейный масштаб, например 2 мили в 1 см, то для перехода к числовому необходимо 2 мили перевести в сантиметры и сделать запись в виде дроби с числителем единица: 2 • 1852 • 100 — = 370 400 см, следовательно, числовой масштаб данной карты 1/370400

ГЛАВА 10. КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В НАВИГАЦИИ
10.1. Классификация картографических проекций

Для получения плоского изображения земной поверхности нужно сначала нанести на плоскость систему координатных линий, которая соответствовала бы таким же линиям на сфере.

Имея нанесенную на плоскость систему меридианов и параллелей, можно теперь нанести на эту сетку любые точки Земли.

Картографическая сетка – условное изображение географической сетки земных меридианов и параллелей на карте в виде прямых или кривых линий.

Картографическая проекция – способ построения картографической сетки на плоскости и изображение на ней сферической поверхности Земли, подчиненный определенному математическому закону.

Картографические проекции по характеру искажений делятся на:

Равноугольные (конформные) – проекции, не искажающие углов. Сохраняется подобие фигур. Масштаб изменяется с изменением широты (φ) и долготы (λ). Отношение площадей не сохраняется на карте. (о. Гренландия ≈ Африке; на самом деле S Африки ≈ 30,1 млн. км². а S Гренландии ≈ 2,1 млн. км²., то есть в 13,8 раза больше.

Равновеликие (эквивалентные) – проекции, на которых масштаб везде одинаков и площади на картах пропорциональны соответствующим площадям на Земле. Равенства углов и подобия фигур не сохраняются. Масштаб длин в каждой точке не сохраняется по разным направлениям.

Произвольные – проекции, заданные несколькими условиями, но не обладающие ни свойствами равноугольности, ни свойствами равновеликости.

Картографические проекции по способу построения картографической сетки делятся на:

Цилиндрические – проекции, на которых картографическая сетка меридианов и параллелей получается путем проецирования земных координатных линий на поверхность цилиндра, касающегося условного глобуса (или секущего его), с последующей разверткой этого цилиндра на плоскость.

Прямая цилиндрическая проекция → ось цилиндра совпадает с осью Земли;

Поперечная цилиндрическая проекция → ось цилиндра перпендикулярна оси Земли;

Косая цилиндрическая проекция → ось цилиндра наклонена к оси Земли под углом, отличным от 0° и 90°.

Конические – проекции, на которых проецирование выполняется не на цилиндр, а на конус. По аналогии с цилиндрическими, конические также могут быть прямыми, поперечными или косыми.

Азимутальные – проекции, в которых меридианы – радиальные прямые, исходящие из одной точки под углами, равными, соответствующим углам в натуре, а параллели – концентрические окружности, проведенные из точки схождения меридианов (ортографические, внешние, стереографические, центральные, полярные, экваториальные, горизонтные).

Из всего многообразия картографических проекций, более подробно рассмотрены те из них, которые в той или иной степени применяются в судовождении.

10.2. Поперечная цилиндрическая проекция

Поперечная цилиндрическая проекция применяется для составления морских навигационных карт и карт-сеток на приполюсные районы для φ_Г 75÷80°N(S).

Как и нормальная цилиндрическая проекция Меркатора (см. п. 6.2), эта проекция является равноугольной (не искажает углы).

При построении и использовании карт в данной проекции применяется система квазигеографических координат («квази» (лат.) – как бы»), которая получается следующим образом (рис. 10.1):

Рис. 10.1. Поперечная цилиндрическая проекция

Северный полюс условно помещается в точку с координатами: φ_Г = 0°, λ_Г = 180° (р-н Тихого океана), а южный полюс – в точку с координатами: φ_Г = 0°, λ_Г = 0° (р-н Гвинейского залива).

Полученные точки называются квазиполюсами: P_Nq – северным, P_Sq – южным.

Проведя квазимеридианы и квазипараллели относительно квазиполюсов, получим новую систему координат, повернутую на 90° относительно географической.

Координатными осями этой системы будут:

→ начальный квазимеридиан – большой круг, проходящий через северный географический полюс (P_N) и квазиполюсы (P_Nq и P_Sq), он совпадает с географическим (λ_Г = 0° и λ_Г = 180°) Гринвичским (начальным) меридианом;

→ квазиэкватор – большой круг, проходящий через географический полюс (P_N) и точки на экваторе с долготами: λ_Г = 90°Е (р-н Индийского океана) и λ_Г = 90°W (р-н Галапагоских островов).

Координатными линиями этой системы являются:

→ квазимеридианы – большие круги, проходящие через квазиполюсы;

→ квазипараллели – малые круги, плоскости которых параллельны плоскости квазиэкватора.

Положение любой точки на поверхности Земли на картах в поперечной цилиндрической проекции определяется квазиширотой (φ_q) и квазидолготой (λ_q).

Квазиширота (φ_q) → угол при центре Земли (шара) между плоскостью квазиэкватора и радиусом, проведенным в данную точку земной поверхности. Квазиширота определяет положение квазипараллелей; отсчитывается от квазиэкватора к квазиполюсам: к P_Nq → + φ_q и к P_Sq → –φ_q от 0° до 90°.

Квазидолгота (λ_q) → двугранный угол при квазиполюсе между плоскостями начального квазимеридиана и квазимеридиана данной точки. Квазидолгота определяет положение квазимеридианов; отсчитывается от географического полюса P_N по квазиэкватору к востоку (+λ_q) и к западу (–λ_q) от 0° до 180°.

Началом отсчета квазигеографических координат является географический северный полюс (т. P_N).

Основные уравнения поперечной цилиндрической равноугольной проекции имеют вид:

где

– радиус Земли (м);

m и n – частные масштабы по квазимеридиану и квазипараллели.

где а = 3437,74′.

Для эллипсоида Красовского: а = 6378245 м.

Переход от географических координат к квазикоординатам выполняется по формулам:

Прямой линией на такой карте изображается квазилоксодромия, пересекающая квазимеридианы под одним и тем же квазикурсом К_q (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Квазилоксодромия

Локсодромия, вследствие кривизны географических меридианов, сходящихся на полюсе, будет изображаться кривой линией, обращенной выпуклостью к экватору.

Ортодромия же представит собой кривую малой кривизны, обращенную выпуклостью в сторону ближайшего квазиполюса.

Таким образом, при построении квазигеографической сетки карты используются формулы, аналогичные формулам для нормальной проекции Меркатора с заменой в них географических координат квазигеографическими.

Главный масштаб карт и карт-сеток относят к квазиэкватору.

Географические меридианы изображаются кривыми, близкими к прямым линиям.

Географические параллели изображаются кривыми линиями, близкими к окружностям.

Квазикурс (К_q) – угол между квазисеверной частью квазимеридиана и направлением носовой части продольной оси судна (отсчитывается по часовой стрелке от 0° до 360°).

Для перехода от географических направлений к направлениям в квазигеографической системе координат используется угол перехода Q – угол между географическим меридианом и квазимеридианом, значение которого можно получить из треугольника АP_NP_Nq (рис. 10.1).

В широтах 80°, когда соs φ_q ≈ 1, получим:

т.е. в высоких широтах угол перехода практически равен долготе точки.

Прокладка курса на такой карте относительно географических или квазигеографических меридианов осуществляется по формуле:

Для прокладки расстояний необходимо пользоваться специальными вертикальными шкалами с линейным масштабом в морских милях, находящимися за боковыми рамками карт.

Для приполюсных районов Северного Ледовитого океана (СЛО) издаются карты М 1:500.000, на которых красным цветом нанесены квазипараллели, а черным цветом – географические меридианы и параллели с двойной оцифровкой красным и зеленым цветом. Это позволяет использовать карту-сетку в двух районах, симметричных относительно географических меридианов 0°…..180° и 90°Е…..90°W.

По аналогии с нормальной проекцией Меркатора на картах и картах-сетках в поперечной проекции Меркатора прямой линией изображается квазилоксодромия – кривая на поверхности Земли, пересекающая квазимеридианы под постоянным углом К_q (при φ_q ≤ 15° ее можно принимать за кратчайшую линию).

Уравнение квазилоксодромии:

Уравнение (10.11) используется при аналитическом счислении в квазигеографической системе координат.

Если известен главный масштаб карты или карты-сетки

по квазиэкватору, то частный масштаб

в точке с квазиширотой φ_q вычисляется по формуле:

или

(масштаб карт увеличивается по мере удаления от квазиэкватора).

10.3. Перспективные картографические проекции

Перспективные проекции применяются для составления некоторых справочных и вспомогательных карт (обзорные карты обширных районов, ортодромические карты, ледовые карты и пр.).

Эти проекции представляют собой частный случай азимутальных проекций.

(Азимутальные проекции – проекции, в которых меридианами являются радиальные прямые, исходящие из одной точки (центральной точки) под углами, равными соответствующим углам в натуре, а параллели – концентрические окружности, проведенные из точки схождения меридианов).

Рис. 10.3. Перспективные проекции

В перспективных проекциях (рис. 10.3) поверхность Земли (сферы) переносится на картинную плоскость методом проецирования с помощью пучка прямых, исходящих из одной точки – точки зрения (ТЗ).

Картинная плоскость может отстоять от поверхности сферы на некотором расстоянии (КП₁), касаться сферы (КП₂), или пересекать ее.

Точка зрения (т. О) лежит в одной из точек на перпендикуляре к картинной плоскости, проходящем через центр сферы.

Точку пересечения картинной плоскости с перпендикуляром называют центральной точкой карты (ЦТ).

В зависимости от положения точки зрения (ТЗ) одна и та же точка (т. К₀) будет отстоять на различных расстояниях ρ от ЦТ карты, что и будет определять характер искажений, присущих данной проекции.

Наиболее распространенными перспективными проекциями являются – гномоническая (центральная) и стереографическая.

В гномонической проекции точка зрения (ТЗ) совпадает с центром сферы (ТЗ → в т. О₁).

Сетка меридианов и параллелей карты строится по формулам, связывающим прямоугольные координаты точек с их географическими координатами.

В зависимости от положения центральной точки (ЦТ) карты, гномоническая проекция может быть (рис. 10.4):

→ нормальной (полярной) – если центральная точка (ЦТ) совмещена с географическими полюсом (рис. 10.4а);

→ экваториальной (поперечной) – если центральная точка (ЦТ) расположена на экваторе (рис. 10.4б);

→ косой – если центральная точка (ЦТ) расположена в некоторой промежуточной широте (рис. 10.4в).

Рис. 10.4. Гномонические проекции

Общие свойства карт в гномонической проекции:

1) → большие искажения как формы, так и размеров фигур, возрастающие по мере удаления от центральной точки (ЦТ) карты, поэтому измерение расстояний и углов на такой карте затруднено.

Измеряемые по карте углы и расстояния, называемые гномоническими, могут довольно значительно отличаться от истинных значений, вследствие чего для точных измерений карты в данной проекции не применяются;

2) → отрезки дуги большого круга (ортодромии) изображаются прямыми линиями, что позволяет использовать гномоническую проекцию при построении ортодромических карт.

Карты в гномонической проекции строятся, как правило, в мелких масштабах для участков поверхности Земли меньше полушария, а сжатие Земли не учитывается.

В стереографической проекции картинная плоскость касается поверхности сферы, а точка зрения (ТЗ) расположена в т. О₂ (рис. 10.3), являющейся антиподом точки касания. Эта проекция равноугольная, однако, для решения навигационных задач она неудобна, так как основные линии – локсодромия и ортодромия – изображаются в этой проекции сложными кривыми.

Стереографическая проекция является одной из основных для построения справочных и обзорных карт обширных территорий.

10.4. Равноугольная картографическая проекция Гаусса

10.4.1. Общие положения

Равноугольная проекция Гаусса применяется для составления топографических и речных карт, а также и планшетов.

Основной картографической сеткой этой проекции является сетка прямоугольных координат.

В прямоугольной системе координат проекции Гаусса вся поверхность земного эллипсоида разбита на 60 6-ти градусных зон, ограниченных меридианами, каждая из которых имеет свое начало координат – точку пересечения осевого меридиана зоны с экватором.

Рис. 10.5. Равноугольная проекция Гаусса

Счет зон введется от Гринвичского меридиана к Е от № 1 до № 60. Любую заданную точку в пределах зоны (т. А – рис. 10.5) получают в пересечении 2-х координатных линий:

→ дуги эллипса nAn′, параллельной осевому меридиану зоны и

→ кратчайшей линии АА′, проведенной из данной точки А перпендикулярно осевому меридиану.

За начало координат в каждой зоне принимается точка пересечения осевого меридиана с экватором.

Удаление точки А′ (основание перпендикуляра) от экватора определяется абсциссой Х, а удаление малого круга nn′ от осевого меридиана – ординатой У.

Абсциссы Х во всех зонах отсчитываются в обе стороны от экватора («+» → к N).

Ординате У приписывается знак «плюс» (+), когда заданная точка удалена к Е (востоку) от осевого меридиана зоны, и знак «минус» (–), когда заданная точка удалена от осевого меридиана к W (западу).

Для определения отечественного номера зоны, в которой расположена заданная точка с долготой λ, применяют формулу:

(ближайшее целое число от 1 до 60).

Деление долготы λ производится до ближайшего целого числа (для λ = 55°Е → n = 10).

Для вычисления долготы L₀ осевого меридиана зоны применяют формулу:

(для n = 10 → L₀ = 57°Е).

N – международная нумерация зон (от меридиана 180° к востоку).

Для λ_E : N = n + 30 и n = N – 30 (для восточного полушария).

Для λ_W : N = n – 30 и n = N + 30 (для западного полушария).

В табл. 2.31а «МТ-2000» указаны значения отечественных (n) и международных (N) номеров долготных зон, их границы и долгота (λ₀) осевого меридиана → см. табл. 10.1.

Прямоугольная система координат применяется при производстве топографических работ, составлении топографических карт, расчете направлений и расстояний между точками при малых расстояниях.

Граничными линиями карты в проекции Гаусса служат меридианы и параллели.

Положение заданной точки на карте определяют указанием плоских прямоугольных координат Х и У.

Этим координатам соответствуют километровые линии:

Х = const – параллельна экватору, и

У = const – параллельная осевому меридиану зоны.

Плоские координаты Х и У являются функциями географических координат точки и в общем виде могут быть представлены выражениями:

где l – разность долгот заданной точки и осевого меридиана, т.е.

Вид функций f₁ и f₂ выводится так, чтобы обеспечивалось свойство равноугольности проекции при постоянном масштабе вдоль осевого меридиана зоны.

Километровые линии – линии одинаковых значений абсцисс X = const или ординат Y = const, выраженные целым числом км.

Километровые линии (X = const и У = const) → два семейства взаимно перпендикулярных прямых и оцифровываются соответствующими значениями координат в км. На картах в проекции Меркатора линии X изображаются кривыми, обращенными выпуклостью к полюсу, а линии Y – кривыми, выпуклостью к осевому меридиану и расходящимся по мере удаления от экватора.

Для исключения отрицательных значений ординат оцифровка осевого меридиана увеличена на 500 км.

(При Х = 6656 и У = 23612 → заданная точка удалена от экватора по осевому меридиану на 6656 км, находится в 23-й зоне и имеет условную ординату 612, а фактически → 112 км к Е).

Прямоугольные координаты Х и У выражают обычно в метрах.

Рамки карт в проекции Гаусса разбиты на минуты по широте и долготе. Значения широт и долгот параллелей и меридианов, ограничивающих карту, надписываются в углах рамки.

Меридианы и параллели на карту не наносятся. При необходимости их можно провести через соответствующие деления минут широты и долготы на рамках карты.

Угол между километровой линией У = const и истинным меридианом называется сближением или схождением меридианов. Этот угол (γ) отсчитывается от северной части истинного меридиана по часовой стрелке до северной части километровой линии У = const (см. рис. 10.6).

Схождению меридианов приписывают знак «плюс» (+), если заданная точка расположена к Е (востоку) от осевого меридиана, и знак «минус» (–), если она расположена к W (западу) от осевого меридиана зоны.

При известных координатах φ и λ заданной точки угол γ вычисляется по формуле:

где L₀ – долгота осевого меридиана зоны.

Ввиду ограниченной ширины зоны кратчайшие линии на картах в проекции Гаусса, изображаются практически прямыми линиями, а масштаб по всей карте постоянен.

Эти свойства, а также наличие сетки прямоугольных координат являются главными причинами широкого применения данной проекции при всех топографических, геодезических и гидрографических работах.

Для решения задач, связанных с использованием как географических, так и прямоугольных координат точек, а также с прокладкой отрезков локсодромий, применяются карты, составленные в нормальной проекции Меркатора с дополнительно нанесенной сеткой прямоугольных координат Гаусса. Основные свойства таких карт полностью соответствуют таковым для нормальной проекции Меркатора.

10.4.2. Планшеты в проекции Гаусса

Планшеты в проекции Гаусса составляют в крупных масштабах (от 1:50.000). Границами планшета являются километровые линии, координаты которых: X_S, X_N, У_Е, У_W пишут вдоль линий.

На рамках планшета наносят выходы километровых линий, соответствующих целому числу км.

Для прокладки курсов и пеленгов на планшетах проводят несколько истинных меридианов через 10÷15′ по долготе.

Линии курсов прокладывают, отсчитывая углы от ближайших к месту судна, меридианов, а линии пеленгов – от меридианов (ближайших) тех точек, в которых измерялись пеленги.

Для прокладки пройденных судном расстояний вблизи одной из боковых рамок строится шкала стандартных морских миль (или S переводится в км).

Направления на картах или планшетах в проекции Гаусса часто определяют относительно километровых линий.

Угол между северной частью километровой линии У = const и направлением заданной прямой – дирекционный угол α. Счет α ведется по круговой системе.

При известном дирекционном угле истинный пеленг (ИП) рассчитывается (рис. 10.6):

Пример:     в точке φ = 50°35′N; λ = 66°10′E измерен α = 156,2°. ИП = ?

Решение:

n = (λ/6) + 1 = 12.

L₀ = 6n − 3° = 69°E.

γ = (λ − L₀) · sin φ = −131′ = −2,2°.

ИП = α + γ = 154,0°.

Рис. 10.6. Дирекционный угол

Применение прямоугольной системы координат упрощает решение прямой и обратной геодезических задач.

Прямая геодезическая задача – вычисление координат искомой точки (т. Е₂) по известным координатам Х₁, У₁ исходной точки (т. Е₁), дирекционному углу α и расстоянию (базе) Е₁Е₂ = Б.

→ знаки приращений ΔХ и ΔУ совпадают со знаками функций cosα и sinα.

Если задан ИП или азимут А_Б, то:

Обратная геодезическая задача – вычисление направления и расстояния между точками по известным их координатам.

а

Координаты точек должны быть даны в одной и той же координатной зоне.

10.4.3. Нумерация топографических карт

За основу нумерации топографических карт принимается карта М 1 : 1.000.000, полученная в результате деления земной поверхности на шестиградусные (6°) зоны по долготе (табл. 10.1а) и четырехградусные пояса по широте (табл. 10.1б) при сплошном покрытии поверхности Земли. Такой карте приписывается двузначный номер.

Например: «L – 53», где L – заглавная латинская буква → пояс по широте (44°÷48°); «53» – арабская цифра → зона по долготе (N = 53, n = 23, λ = 132°÷138°Е, λ₀ = 135°).

Например: карта «L– 53» (рис. 10.7) расположена в широтном поясе «L» (44°÷48°N) и долготной зоне N = 53 (n = 23).

Рис. 10.7. – Топо-карта М 1:1.000.000

Карты М 1:500.000 получают делением карты М 1:1.000.000 на 4 листа (рис. 10.8). Т.е. карта «L – 53» (для нашего примера) образует 4 карты М 1:500.000 (L– 53–А, L–53–Б, L–53–В, L–53–Г).

Рис. 10.8. – Топо-карта М 1:500.000

Лист карты М 1:200.000 получается делением листа карты М 1:1.000.000 на 36 частей (или листа карты М 1:500.000 на 9 частей (рис. 10.9). Карты М 1:200.000 издаются сведенными вместе по 4 листа (L– 53–V, VI, XI, XII).

Рис. 10.9. – Топо-карта М 1:200.000

Карты М 1:100.000 получают делением карты М 1:1.000.000 на 144 листа, оцифрованных линейно построчно арабскими цифрами (от 1 до 144) (L– 53–69) → рис. 10.10.

Рис. 10.10. – Топо-карта М 1:100.000

Карты М 1:50.000 получают делением карты М 1:100.000 (например: L– 53–69) на 4 листа (А, Б, В, Г) → см. рис. 10.11. (карты: L– 53–69–А, L– 53–69–Б, L– 53–69–В, L– 53–69–Г).

Рис. 10.11. – Топо-карта М 1:50.000

Карты М 1:25.000 получают делением карты М 1:50.000 (например: L– 53–69–В) на 4 листа и номер такой карты слагается из обозначения листа карты М 1:50.000 с добавлением строчных букв (а, б, в, г) → рис. 10.12.

Рис. 10.12. – Топо-карта М 1:25.000

Координатные зоны и пояса карт в проекции Гаусса (из табл. 2.31 «МТ-2000»)

а) Долготные зоны

б) Широтные пояса

Выводы

При издании карт используются различные картографические проекции, которые классифицируются как по характеру искажений (равноугольные, равновеликие и произвольные), так и по способу построения (цилиндрические, конические и азимутальные).

Широкое применение, при плавании в приполюсных районах, нашла поперечная цилиндрическая проекция, в которой применена система квазигеографических координат.

Перспективные проекции применяются для составления некоторых справочных и вспомогательных карт и представляют собой частный случай азимутальных проекций.

Равноугольная проекция Гаусса применяется для составления топографических и речных карт. Основой этой проекции является сетка прямоугольных координат.