Խնդիրների լուծումը գրաֆիկների օգնությամբ

Խնդիրների լուծում գրաֆիկների օգնությամբ

Ð³×³Ë »ñ¨áõÛÃÝ»ñÇ ·ñ³ýÇÏ³Ï³Ý å³ïÏ»ñáõÙÁ ³ÛÝ ¹³ñÓÝáõÙ ¿ ³í»ÉÇ ï»ë³Ý»ÉÇ, áñÇ Ñ»ï¨³Ýùáí »ñ¨áõÛÃÁ ¹³éÝáõÙ ¿ ³í»ÉÇ Ñ³ëϳݳÉÇ: ø³ÝÇ áñ áñáß ¹»åù»ñáõÙ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ å³ñ½»óÝáõÙ »Ý ѳßí³ñÏÝ»ñÁ, ³ÛÝ û·ï³·áñÍáõÙ »Ý ÙÇ ß³ñù ·Çï³-ïËÝÇÏ³Ï³Ý ¨ ïÝï»ë³·Çï³Ï³Ý µÝáõÛÃÇ ËݹÇñÝ»ñ ÉáõÍ»ÉÇë: ²Ûëûñ ·ñ³ýÇÏÝ»ñ ϳéáõó»ÉÁ ¨ ³ÛÝ Ï³ñ¹³ÉÁ ß³ï Ù³ëݳ·»ïÝ»ñÇ Ñ³Ù³ñ å³ñï³¹Çñ å³ÛÙ³Ý ¿:

¸Çï³ñÏ»Ýù ÙÇ ù³ÝÇ ïÇå³ÛÇÝ ËݹÇñÝ»ñ, áñáÝù ÏÉáõÍ»Ýù ·ñ³ýÇÏ³Ï³Ý Ù»Ãá¹áí:

ÊݹÇñ 1. A ¨ B í³Ûñ»ñó, áñáÝó ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ 250 ÏÙ ¿,ÙÇ³Å³Ù³Ý³Ï Çñ³ñ Áݹ³é³ç ¹áõñë »Ï³Ý »ñÏáõ Ù³ñÙÇÝ, ѳٳå³ï³ë˳ݳµ³ñ 20 ÏÙ/Å ¨ 5 ÏÙ/Å ³ñ³·áõÃÛáõÝÝ»ñáí:ä³Ñ³ÝçíáõÙ ¿ áñáß»É

³) ѳݹÇåÙ³Ý ï»ÕÁ ¨ ųÙÁ.

µ) áñï»Õ ¿ñ ·ïÝíáõÙ »ñÏñáñ¹ Ù³ñÙÇÝÁ,»ñµ ³é³çÇÝÁ ³Ýó»É ¿ñ 100 ÏÙ.

·) á±ñ å³ÑÇÝ Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ÏÉÇÝÇ 125 ÏÙ:

ØǨÝáõÛÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõ٠ϳéáõó»Ýù Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ ß³ñÅÙ³Ý ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ:

s

C

250

A

R

M

T

225

200

100

S

B

E

F

12.5

50

t₀

O

t

G

³) ²Ûë ·ñ³ýÇÏÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïÇ ûñ¹ÇݳïÁ ¨ ³µëóÇëÁ óáõÛó Ïï³Ý ѳݹÇåÙ³Ý ï»ÕÁ ¨ ųٳݳÏÁ:

OA-Ý ³é³çÇÝ Ù³ñÙÝÇ ß³ñÅÙ³Ý ·ñ³ýÇÏÝ ¿,ÇëÏ BC-Ý^\ »ñÏñáñ¹ÇÝÁ:

Üϳï»Ýù, áñ OAE ¨ OMF »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ ÝÙ³Ý »Ý:ÜÙ³Ý »Ý ݳ¨ OCB ¨ OMF »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÁ:

_{ }

²ÛëåÇëáí. ѳݹÇåáõÙÁ ï»ÕÇ ¿ áõÝ»ó»É ß³ñÅáõÙÁ ëÏë»Éáõó 10 Å Ñ»ïá, O Ï»ïÇó 200ÏÙ Ñ»é³íáñáõÃÛ³Ý íñ³:

µ) ø³ÝÇ áñ _{ }(Å) ¶Í³·ñÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ »ñµ ³é³çÇÝÁ ³Ýó»É ¿ñ 100ÏÙ »ñÏñáñ¹Á ·ïÝíáõÙ ¿ñ R Ï»ïáõÙ, áñÇÝ Ñ³ë»É ¿ 5 ųÙáõÙ: CT=5Ē5=25

GR= 250-25= 225(ÏÙ):

¶) OC=250 SR-Á OCM »é³ÝÏÛ³Ý ÙÇçÇÝ ·ÇÍÝ ¿ ¨ ѳí³ë³ñ ¿ _{ } = 125

ѻ勉µ³ñ Ù³ñÙÇÝÝ»ñÇ ÙÇç¨ Ñ»é³íáñáõÃÛáõÝÁ ß³ñÅáõÙÁ ëÏë»Éáõó 5 Å Ñ»ïá »Õ»É ¿ 125 ÏÝ:

ÊݹÇñ 2 : лïÇáïÝÁ, ѻͳÝíáñ¹Á ¨ ÙáïáóÇÏɳí³ñÁ ß³ñÅíáõÙ »Ý ÙǨÝáõÛÝ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ: ²ÛÝ å³ÑÇÝ, »ñµ ѻͳÝíáñ¹Á ¨ Ñ»ïÇáïÝÁ ·ïÝíáõÙ ¿ÇÝ ÙǨÝáõÛÝ (B) Ï»ïáõÙ ÙáïáóÇÏÉÁ Ýñ³ÝóÇó Ñ»ï ¿ñ 6 ÏÙ: ºñµ ѻͳÝÇíÁ ¨ ÙáïáóÇÏÉÁ ѳÛïÝí»óÇÝ ÝáõÛÝ (C) Ï»ïáõÙ Ñ»ïÇáïÝÁ Ýñ³ÝóÇó Ñ»ï ¿ñ 3 ÏÙ: ÆÙ³Ý³É Ñ»Í³Ýíáñ¹Á áñù³±Ý ¿ñ ³é³ç ³ÛÝ å³ÑÇÝ, »ñµ ÙǨÝáõÛÝ Ï»ïáõÙ ¿ÇÝ ÙáïáóÇÏÉÁ ¨ Ñ»ïÇáïÝÁ (ѻͳÝíáñ¹ - hÍ, ÙáïáóÇÏɳí³ñ – Ùï, Ñ»ïÇáïÝ – Ñï):

·Í.1

ËݹÇñ.

ê»Õ³ÝÇ ÑÇÙù»ñÝ »Ý a ¨ b: ¶ïÝ»É ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ ÑÇÙù»ñÇÝÇÝ ½áõ·³Ñ»é ուղղի այն ѳïí³ÍÇ »ñϳñáõÃÛáõÝÁ, áñÁ ë³Ñٳݳ÷³Ïí³Í ¿ ë»Õ³ÝÇ ëñáõÝùÝ»ñáí:

a

C

B

h1

M

N

O

h

h2

b

D

A

MBO, ABD ¨ AMO, ABC »é³ÝÏÛáõÝÝ»ñÇ ÝÙ³ÝáõÃÛáõÝÇó Ñ»ï¨áõÙ ¿, áñ

²ÛÅÙ ³Ýñ³¹³éݳÝù Ù»ñ ËݹñÇÝ:

ØǨÝáõÛÝ Ïááñ¹Çݳï³ÛÇÝ Ñ³Ù³Ï³ñ·áõÙ ·Í»Ýù Ùï.-Ç, ÑÍ.-Ç, Ñï.-Ç ß³ñÅÙ³Ý ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ :

C

E

N

M

A

B

t₃

t₂

t₁

ø³ÝDZ áñ ß³ñÅáõÙÝ»ñÁ áõÕÕ³·ÇÍ Ñ³í³ë³ñ³ã³÷ »Ý, ѻ勉µ³ñ ·ñ³ýÇÏÝ»ñÁ áõÕÇÕ ·Í»ñ »Ý: Úáõñ³ù³ÝãÛáõñ Ù³ñÙÝÇ ß³ñÅÙ³Ý ·ñ³ýÇÏÁ ϳéáõó»Éáõ ѳٳñ µ³í³Ï³Ý ¿ áõÝ»Ý³É 2 Ï»ï:

t₁-Á ³ÛÝ å³ÑÝ ¿, »ñµ ÑÍ.-Ý ¨ Ñï.-Ý ·ïÝíáõÙ »Ý ÝáõÛÝ Ï»ïáõÙ (ï»ë ·Í.1): t₃-Á ³ÛÝ å³ÑÝ ¿, »ñµ C Ï»ïáõÙ ·ïÝíáõÙ »Ý Ùï.-Ý ¨ÑÍ.-Ý, ÇëÏ Ñï.Ý ·ïÝíáõÙ ¿ E Ï»ïáõÙ: BC-Ý Ùï.-Ç ß³ñÅÙ³Ý ·ñ³ýÇÏÝ ¿,AC-Ý ÑÍ.-Ç, AE-Ý Ñï.-Ç:

¶Í³·ñÇó »ñ¨áõÙ ¿, áñ ³ÛÝ å³ÑÁ (t₂), »ñµ ѳݹÇå»É »Ý Ùï.-Ý ¨ Ñï.-Ý BC ¨ AE áõÕÇÕÝ»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý (M) Ï»ïÝ ¿:²Û¹ å³ÑÇÝ ÑÍ.-Ý ·ïÝíáõ ¿ñ N Ï»ïáõÙ, ³ÛëÇÝùÝ Ýñ³ÝóÇó ³é³ç ¿ñ MN ã³÷áí:

MN-Á ABEC ë»Õ³ÝÇ ³ÝÏÛáõݳ·Í»ñÇ Ñ³ïÙ³Ý Ï»ïáí ³ÝóÝáÕ ¨ ÑÇÙùÇÝ ½áõ·³Ñ»é áõÕÇÕÝ ¿:

Àëï ݳËáñ¹ ËݹñÇ.

Այժմ մեկ այլ մոտեցում: Հաշվարկման համակարգը կցենք հետիոտնին: Այս դեպքում կարելի է համարել, որ հետիոտն անշարժ է, դեռ ավելին կարելի է հետիոտնին փոխարինել սյունով: Խնդիրը կարելի է վերաձևակերպել հետևյալ կերպ. Մոտոցիկլավարը և հեծանվորդը շարժվում են խճուղով միևնույն ուղղությամբ : Այն պահին երբ հեծանիվը անցավ սյան մոտով (B), մոտոցիկլը նրանից ետ էր մնում 6 կմ-ով : Այն պահին, երբ մոտոցիկլավարը հասավ հեծանվորդին (D), նրանք գտնվում էին սյունից 3 կմ հեռավորության վրա: Ինչ? Հեռավորության վրա էր գտնվում հեծանվորդը սյունից (BC), երբ մոտոցիկլավարը գտնվում էր սյան մոտ:

3կմ

Պարզ է,որ AD=9կմ ճանապարհը մոտոցիկլավարը անցել է այնքան ժամանակում, որքան ժամանակում հեծանվորդը անցել է BD=3կմ ճանապարհը:Այսպիսով,մոտոցիկլավարի արագությունը 3 անգամ մեծ է հեծանվորդի արագությունից:Դա նշանակում է, որ երբ մոտոցիկլավարը անցնի AB=6կմ ճանապարհը, հեծանվորդը կանցնի 3անգամ քիչ ճանապարհ BC =6/3=2(կմ):

Խնդիր3 Մաթեմատիկոսը գետի ափով, գետի հոսանքի հակառակ ուղղությամբ, հոսանքից 1.5 անգամ արագ, աշխատանքից վերադառնում է տուն: Նրա ձեռքում կար գլխարկ և փայտ: Շփոթմամբ, փայտի փոխարեն գլխարկը նետում է գետը: Որոշ ժամանակից նկատելով սխալը, փայտը նետում է գետը և հետ վազում երկու անգամ արագ, քան գնում էր: Հասնելով գլխարկին` այն հանում է գետից և վերադառնում նախկին արագությամբ: Գլխարկը վերցնելուց 10 րոպե անց հանդիպում է փայտին: Շփոթության պատճառով մաթեմատիկոսը քանի՞ րոպե կորցրեց ճանապարհին:

N

M

K

P

Կառուցենք մաթեմատիկոսի, գլխարկի և փայտի շարժման գրաֆիկները:

Հոծ գիծը համապատասղանում է մաթեմատիկոսի շարժմանը ,իսկ կետագծերը` փայտի և գլխարկի: B պահին մաթեմատիկոսը գցեց գլխարկը, C պահին` փայտը և վազեց ետ և D պահին գետից հանեց գլխարկը, իսկ E պահին հանդիպեց փայտինԼ:Կորցրած ժամանակը կազմված է CD և DF հատվածներից:

Քանի որ միևնույն S₁ ճանապարհը մաթեմատիկոսը անցել է AB , իսկ գլխարկը (կամ գետը) BD ųٳݳÏáõÙ, ³å³ Áëï ËݹñÇ å³ÛÙ³ÝÇ AB/BD= 2/3, S₂ ׳ݳå³ñÑÁ ٳûٳïÇÏáëÁ ·»ïÇ Ñáë³ÝùÇÝ Ñ³Ï³é³Ï ·Ý³ó»É ¿ AC րոպեյում, ÇëÏ ·»ïÇ áõÕÕáõÃÛ³Ùµ CD րոպեյում, AC/CD=2/1:Նշանակեք CD=x; AC=2x; ; DE = BC=10; AB=2x-10; BD=x+10:

AB/BD= 3/2 պայմանից` (2x-10):(x+10)=2:3 x=12.5, CF = CD + DF = x + 2Х = 37,5 րոպ.: Պատասխան` մաթեմատիկօսը կորցրեց 37,5 րոպ:

t

S

A

B

C

D

E

F

S₁

S₂