Хорда жана жаныма усулдары боюнча практикалык жумуш

Хорда жана жаныма усулдары боюнча практикалык жумуш

Жаныма усулу (теория)

Бул усулду ишке ашыруу үчүн берилген y=F(x) функциясынын графигин тургузуу жана ал функциянын кесиндинин учтарындагы F(a) жана F(b) маанилерин табуу керек. Затем провести хорду М₁M₂ c концами в точках М₁(a, F(a)) и M₂(b, F(b)). Абсцисса точки пересечения хорды М₁M₂ с осью OX это и есть приближенный корень x₁. Далее найти точку M₃(X₁ ,F(x₁ )), построить следующую хорду и найти второй приближенный корень x₂. И так далее. В зависимости от поведения функции возможны два случая:

Для первого случая (Рис. 1) справедлива следующая формула (8):

и справедливо неравенство: F(a)*F''(a)0, где x₀=b.

Для второго случая (Рис. 2) справедлива следующая формула (9):

и справедливо неравенство: F(b)*F''(b)0, где x₀=a.

Условия сходимости метода секущих аналогичны условиям сходимости метода Ньютона, т. е."[1]

 .

Практическая часть:

Пусть дана задача следующего характера: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд с точностью до 0,00001.

Для того чтобы уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом хорд, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Выбрать одну из двух предложенных формул для решения задачи, для этого:

Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).

Заполнить ячейки следующим образом:

• - В ячейку A1 ввести a.

• - В ячейку A2 ввести цифру 5.

• - В ячейку B1 ввести b.

• - В ячейку B2 ввести цифру 6.

• - В ячейку C1 ввести f(x)=cos(2x)+x-5.

• - В ячейку C2 ввести формулу =COS(2*A2)+A2-5.

• - В ячейку D1 ввести f1(x)=-2sin(2x)+1.

• - В ячейку E1 ввести f2(x)=-4cos(2x).

• - В ячейку E2 ввести формулу =-4*COS(2*A2).

• - В ячейку F1 ввести Выбор формулы.

• - В ячейку F2 ввести формулу =ЕСЛИ(C2*E20;"Воспользоваться формулой 8";"Воспользоваться формулой 9").

• - В ячейку G1 ввести e.

• - В ячейку G2 ввести цифру 0,00001.

• В итоге получается следующее:

1. Исходя из того, что выбрана формула 9, в Excel необходимо выполнить следующие действия:

• В ячейку A4 ввести xn.

• В ячейку B4 ввести f(xn).

• В ячейку C4 ввести b-xn.

• В ячейку D4 ввести f(xn)*(b-xn).

• В ячейку E4 ввести f(b).

• В ячейку F4 ввести f(b)-f(xn).

• В ячейку G4 ввести xn-f(xn)*(b-xn)/f(b)-f(xn).

• В ячейку H4 ввести |f(xn)|

• В ячейку A5 ввести цифру 5.

• В ячейку B5 ввести формулу =COS(2*A5)+A5-5.

• В ячейку C5 ввести формулу =$B$2-A5.

• В ячейку D5 ввести формулу =B5*C5.

• В ячейку E5 ввести формулу =COS(2*$B$2)+$B$2-5.

• В ячейку F5 ввести формулу =$E$5-B5.

• В ячейку G5 ввести формулу =A5-(B5*C5/F5).

• В ячейку H5 ввести формулу =ЕСЛИ(ABS(B5)

• В ячейку A6 ввести формулу =G5.

• Выделить диапазон ячеек B5:D5 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек B6:D6.

• Выделить диапазон ячеек F5:H5 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек F6:H6.

• Выделить диапазон ячеек A6:H6 и скопировать его методом протягивания в диапазон ячеек ниже до получения результата в одной из ячеек столбца H (A6:H9).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.

Метод касательных (Ньютона).Теория

В отличие от метода хорд, в методе касательных вместо хорды на каждом шаге проводится касательная к кривой y=F(x) при x=x_n и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс:

Формула для (n+1) приближения имеет вид:

Если F(a)*F"(a)0, x₀=a, в противном случае x₀=b.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что:

 .

Практическая часть

Пусть дана задача следующего характера: Уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом касательных с точностью до 0,00001.

Для решения такой задачи, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

Изначально необходимо определиться с тем, чему равно x0: либо a, либо b. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).

Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

В итоге получается следующее:

Так как x0=b, то необходимо выполнить следующие действия:

Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

В ячейку A6 ввести формулу =D5.

Выделить диапазон ячеек B5:E5 и методом протягивания заполнить диапазон ячеек B6:E6.

Выделить диапазон ячеек A6:E5 и методом протягивания заполнить диапазон нижерасположенных ячеек до получения в одной из ячеек столбца E результата (диапазон ячеек A6:E9).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.

Хорда жана жаныма аралаш усулу (Комбинированный метод).Теория

Для того чтобы достичь наиболее точной погрешности, нужно одновременно использовать методы хорд и касательных. "По формуле хорд находят x_n+1 , а по формуле касательных - z_n+1 . Процесс нахождения приближенного корня прекращается, как только:

В качестве приближенного корня берут значение, равное (11):"[2]

Практикалык бөлүк

Пусть требуется уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 комбинированным методом с точностью до 0,00001.

Для решения такой задачи, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Так как в комбинированном методе необходимо использовать одну из формул хорд и формулу касательных, то для упрощения следует ввести следующие обозначения:

• Для формул хорд обозначить:

- xn как mn.

- Переменная c будет играть роль a или b в зависимости от ситуации.

- Остальные обозначения аналогичны приведенным в формулах хорд, только учитывая выше введенные переменные.

• Для формулы касательных обозначить:

- xn как nn.

- Остальные обозначения аналогичны приведенным в формуле касательных, только учитывая выше введенные переменные.

1. Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.

2. Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).

3. Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

1. В итоге получается следующее:

1. В ячейку G1 ввести e, а в G2 ввести число 0,00001.

2. В ячейку H1 ввести c, а в H2 ввести число 6, так как c=b (см. ячейку F2).

3. В ячейку I1 ввести f(c), а в I2 ввести формулу =COS(2*H2)+H2-5.

4. Заполнить ячейки последовательно следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

1. В ячейку A6 ввести формулу =E5.

2. В ячейку F6 ввести формулу =I5.

3. Выделить диапазон ячеек B5:E5 и маркером автозаполнения заполнить диапазон ячеек B6:E6.

4. Выделить диапазон ячеек G5:K5 и маркером автозаполнения заполнить диапазон ячеек G6:K6.

5. Выделить диапазон ячеек A6:K6 и методом протягивания заполнить все нижестоящие ячейки до получения ответа в одной из ячеек столбца K (диапазон ячеек A6:K9).

В итоге получаем следующее:

Жообу: cos(2x)+x-5=0 теңдемесинин тамыры 5,32976 га барабар