КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ
Составитель: Фокина М. Е.
Педагог высшей категории
г.Чапаевск, 2021 г.
2
Содержание
1 Комбинаторика 3
2 Методы решения комбинаторных задач 5
2.1. Метод перебора возможных вариантов 5
2.2. Табличный метод 6
2.3. Метод построения дерева возможных вариантов 7
2.4. Метод построения граф -схемы 8
3 Типы комбинаторных задач 10
3.1. Перестановки 10
3.2. Сочетания 11
3.3. Размещения 12
4 Основные комбинаторные принципы 14
4.1. Правило суммы 14
4.2. Правило произведения 16
5 Решение задач с помощью разных методов 18
6 Примеры олимпиадных задач 20
Список литературы 22
3
1. КОМБИНАТОРИКА
В сказках, старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или
другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь
– голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча
лишишься”. С какой проблемой сталкивается добрый молодец на перепутье?
Конечно, с проблемой выбора дальнейшего пути движения.
А дальше уже говорится, как он выходит из
того положения, в которое попал в результате
выбора. Но выбирать разные пути или варианты
приходится и современному человеку. Это сделать
очень трудно не потому, что его нет или оно одно и
поэтому его трудно найти, а приходится выбирать
из множества возможных вариантов, различных
способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был наилучшим.
Оказывается, существует целый раздел математики, именуемый
комбинаторикой, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего
есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать
оптимальную.
Комбинаторика позволяет ответить на вопросы: сколькими
способами, сколько вариантов и так далее. Слово «комбинаторика»
происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять,
сочетать».
Можно научить маленького человека считать, как счетная машина,
проштудировать с ним горы энциклопедий. И это будет только
определѐнное количество информации, которой ребенок не сумеет
воспользоваться. Гораздо важнее воспитать его мышление так, чтобы он
сам сумел находить и отбирать нужную информацию. Вот комбинаторика
и формирует такие качества мышления, как системность, вариативность,
гибкость. Все эти качества характеризуют комбинаторный стиль
мышления.
4
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые
приходится составлять различные комбинации, подчинѐнные тем или
другим условиям, из заданных объектов и подсчитывать число
комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач.
Решение комбинаторных задач таит в себе большие развивающие
возможности: на их основе совершенствуются приемы умственной
деятельности, формируется важная для человека способность
комбинировать. Задачи по комбинаторике включают в математические
олимпиады и конкурсы.
Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней
рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с
азартными играми. В карты и кости выигрывались золото и
бриллианты, дворцы, породистые кони и дорогие украшения.
Широко были распространены всевозможные лотереи. Одним из
первых занялся подсчетом числа возможных комбинаций при игре в
кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу,
показывающую, сколькими способами могут выпасть r костей. Однако
при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть
получена разными способами.
Вот одна из комбинаторных задач: У кассы кинотеатра стоят четверо
ребят. У двух из них сторублевые купюры, у двух других– пятидесятирублевые.
Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. Как должны
расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?
Можно найти два варианта решения:
1) 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей;
2) 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей.
При решении комбинаторных задач можно использовать разные методы.
5
2. Методы решения комбинаторных задач:
метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления);
табличный метод (все условия вносятся в таблицу, в ней же
выполняется решение);
построение дерева возможных вариантов решений;
построение граф - схемы.
2.1. Метод перебора возможных вариантов
Простые задачи решают обыкновенным полным перебором
возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.
Способ перебора может применяться в простых задачах, например в
таких, как эта:
Задача 1. Для своих двух книг Маша купила три разные обложки.
Сколькими различными способами она может обернуть книги
купленными обложками?
Ответ: Для решения обозначим обложки буквами а, б, в. Составим из букв
всевозможные пары: аб, ав, бв, ба, ва, вб. Всего получилось 6 способов.
Задача 2.
Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Ответ: 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 41, 42, 43,
44, 45, 51, 52, 53, 54, 55.
Задача 3.
В финальном забеге на 100 м участвуют Иванов, Громов и Орлов.
Назовите возможные варианты распределения призовых мест.
Ответ:
Вариант1: 1) Иванов, 2) Громов, 3) Орлов.
Вариант2: 1) Иванов, 2) Орлов, 3) Громов.
Вариант3: 1) Орлов, 2) Иванов, 3) Громов.
Вариант4: 1) Орлов, 2) Громов, 3) Иванов.
6
Вариант5: 1) Громов, 2) Орлов, 3) Иванов.
Вариант6: 1) Громов, 2) Иванов, 3) Орлов.
Задача 4.
В кружок бального танца записались Петя, Коля, Витя, Олег, Таня, Оля,
Наташа, Света. Какие танцевальные пары девочки и мальчика могут
образоваться?
Ответ:
1) Таня - Петя, 2) Таня - Коля, 3) Таня - Витя, 4) Таня - Олег, 5) Оля -
Петя, 6) Оля - Коля, 7) Оля - Витя, 8) Оля - Олег, 9) Наташа - Петя, 10)
Наташа - Коля, 11) Наташа - Витя, 12) Наташа - Олег, 13) Света - Петя,
14) Света - Коля, 15) Света - Витя, 16) Света - Олег.
А теперь рассмотрим варианты организованного перебора.
2.2. Табличный метод
Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, как
и дерево возможных вариантов, наглядно представляют решение таких
задач.
Задача 1.
Сколько нечетных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 4,
6, 7, 8, 9?
Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - первые цифры
искомых чисел, вверху первая строка - вторые цифры.
Ответ: 28.
1 3 7 9
1 11 13 17 19
3 31 33 37 39
4 41 43 47 49
6 61 63 67 69
7 71 73 77 79
8 81 83 87 89
9 91 93 97 99
7
Задача 2.
Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать
ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты,
если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.
Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - имена девочек,
вверху первая строка - имена мальчиков.
Андрей Миша Игорь
Маша Маша - Андрей Маша - Миша Маша - Игорь
Оля Оля - Андрей Оля - Миша Оля - Игорь
Вера Вера - Андрей Вера - Миша Вера - Игорь
Ира Ира - Андрей Ира - Миша Ира - Игорь
Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах
таблицы. Всего 12 вариантов.
Задача 3. В школьной столовой приготовили на завтрак плов (П),
кашу (К), блины (Б), а из напитков – сок (С), чай (Ч) и молоко (М).
сколько различных вариантов завтрака можно составить?
П К Б
С СП СК СБ
Ч ЧП ЧК ЧБ
М МП МК МБ
Ответ: 9 вариантов.
2.3. Метод построения дерева возможных вариантов
решений
Подбирая различные комбинации, можно запутаться. В этом случае
приходит на помощь метод построения дерева возможных вариантов
решений. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название.
8
Если его правильно построить, ты не упустишь ни один из возможных
вариантов решения.
Рассмотрим задачу 1. Учитель попросил Олега разложить на полке
3 волшебных шара - жѐлтый, красный, синий. Сколькими способами Олег
может это сделать?
Начать можно и с жѐлтого, и с красного, и с синего шара. Дерево
вариантов будет выглядеть так:
Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и
без ствола. Каждый первый шар - это "корень" дерева, а ветви дерева - это
различные варианты расположения шаров. По этой схеме несложно
посчитать, что возможных комбинаций всего 6.
Схему-дерево возможных рассуждений можно располагать поразному (корень вверху или внизу).
Задача 2. Катя собирается на каникулы. Она может поехать с бабушкой
или с родителями. Если Катя поедет с бабушкой, то она сможет провести
каникулы или на даче, или в городе, или в деревне. Если она поедет с
родителями, то она сможет провести каникулы или отдыхая в санатории,
или путешествия по горам, или путешествуя на теплоходе. Сколько
разных вариантов есть у Кати, чтобы провести свои каникулы?
Решение:
ВСЕГО: 6 вариантов
2.4. Метод построения граф-схемы
Все видели схему станций метрополитена, трамвайных путей или карту
железнодорожных сообщений. Точки — города, отрезки или дуги,
КАНИКУЛЫ КАТИ
БАБУШКА РОДИТЕЛИ
ДАЧА ГОРОД ДЕРЕВНЯ САНАТОРИЙ ГОРЫ ТЕПЛОХОД
9
которые их соединяют — железнодорожные пути. Такие схемы и
называют графами.
Итак, если произвольные точки пространства соединены между
собой отрезками или дугами (не обязательно все), то такое
соединение (схема) называется графом.
Граф — это набор точек, некоторые из которых соединены линиями.
Эти точки называются вершинами. Соединяющие их линии называются
ребрами графа.
Граф - это геометрическая фигура, состоящая из точек
(вершины графа) и линий, их соединяющих (рѐбра графа).
При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого
множества (предметов, людей и т.д.), а с помощью рѐбер - определѐнные
связи между элементами. Для удобства иллюстрации условия задачи,
вершины графа могут быть заменены кругами или прямоугольниками.
Задача 1. В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между
ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому
кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход. Задание: покажи,
какие дорожки надо сделать.
Это пример полного графа Ответ: 6 дорожек
Задача 2. Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый
сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?
10
Ответ: сыграно 6 партий
Задача 3. Вася, Коля, Петя, Аня и Наташа - лучшие лыжники в пятом классе.
Для участия в соревнованиях нужно выбрать из них одного мальчика и
одну девочку. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Эту задачу можно решить с помощью следующей схемы.
Ответ: 6 способов.
Итак, комбинаторика изучает, сколько различных комбинаций можно
составить из данных объектов по определѐнным правилам.
3. ТИПЫ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ
Комбинаторные задачи бывают трѐх типов. Давайте рассмотрим первый
из них.
3.1. Перестановки
Рассмотрим решение задач.
Задача 1. На столе лежат яблоко, груша и банан.. Выкладываем
фрукты слева направо в следующем порядке:
яблоко / груша / банан
Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить?
А Б
Г В
11
Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не
возникает:
яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко
Итого: 6 комбинаций или 6 перестановок.
Задача 2. Имеются шары. Их всего 3 - жѐлтый, красный и синий. Олег
должен разложить их на полке всеми возможными способами. Ответ
выглядит так:
Составляя комбинации, мы учитывали порядок шаров. И на первое,
и на второе, и на третье место мы могли положить любой шар. Отсюда и
такое разнообразие вариантов. Если в комбинациях участвуют все
объекты и важен их порядок - речь идѐт о перестановках.
3.2. Сочетания
При сочетаниях комбинаций, как правило, получается меньше, чем при
перестановках и размещениях. Почему? Дело в том, что порядок
элементов не важен, да и в комбинациях участвуют не все элементы.
Давайте снова рассмотрим конкретный пример.
На полке лежат три волшебных шара - жѐлтый, красный, синий. Учитель
попросил Олега принести ему два шара. Сколькими способами Олег
может это сделать?
Например, Олег возьмѐт жѐлтый и красный шары:
12
А так ли важно, жѐлтый и красный или красный и жѐлтый? Это как при
перемене мест слагаемых - сумма же не меняется. Всѐ равно Олег
принесѐт именно эти шары учителю и не возьмѐт синий. Порядок шаров
не имеет значения.
Оставшиеся способы выглядят так:
При сочетаниях нам не важен порядок элементов. Запомни эту
особенность!
3.3. Размещения
Задача 1. Из цифр 1,2,3,4,5,6 составить все возможные трехзначные числа.
При этом мы должны рассмотреть случаи:
1) когда цифры в записи числа повторяются
2) когда цифры в записи числа не повторяются.
Рассмотрим первый случай, когда цифры повторяются (размещение с
повторением). Сколько цифр претендует на первое место? На второе
место? На третье?
Отметим место каждой цифры
* * *
6 х 6 х 6 =216
Размещение
Цифры
повторяются
Цифры
не повторяются
13
Рассмотрим второй случай, когда цифры не повторяются (размещение
без повторения). Сколько цифр претендует на первое место? На второе
место? На третье?
Отметим место каждой цифры
* * *
6 х 5 х 4 =120
Задача 2. Сколько двузначных чисел можно получить из цифр 0, 1, 2, 3
при условии, что цифры в записи числа не повторяются?
Решение: На первом месте могут стоять цифры 1, 2, 3. Тогда на втором
месте в каждом случае могут стоять 3 цифры. Всего получаем 9 чисел: 10,
12, 13, 20, 21, 23, 30, 31, 32.
Размещением называется расположение ―предметов‖ на некоторых
―местах‖ при условии, что каждое место занято в точности одним
предметом и все предметы различны.
В размещении учитывается порядок следования предметов. Так,
например, наборы (2,1,3) и (3,2,1) являются различными.
В этом типе задач комбинации составляют не из всех элементов, а только
из некоторых. Но обязательно важен их порядок.
Снова наша задача с шарами, только теперь Учитель попросил Олега
один шар отнести Юре, а другой — Алисе. Сколькими способами Олег
может это сделать?
Можем изобразить комбинации вот так:
Или построить дерево вариантов, ведь мы уже научились это делать.
14
В этом задании каждый раз участвовало только 2 шара, а не 3. Но при
этом был важен их порядок.
В размещениях всегда участвует только часть элементов, но важен их
порядок.
4.ОСНОВНЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИНЦИПЫ
Иногда подсчитать комбинации в задачах можно быстро и легко. Для
этого используются правило суммы и правило произведения.
Правило суммы и правило произведения — основные комбинаторные
принципы, которые используются в комбинаторике.
4.1. ПРАВИЛО СУММЫ
Обобщения рациональных приемов систематического перебора целесообразнее
начать с комбинаторных задач на правило суммы. Проиллюстрируем правило
суммы на элементарных задачах.
Задача 1. В вазе 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно взять из
вазы один из фруктов?»
Решение:
Что значит «взять 1 из фруктов? Это значит взять яблоко или грушу.
15
Сколькими способами можно взять 1 яблоко? Почему? (Четырьмя способами,
так как яблок всего 4 они разные).
Сколькими способами можно взять 1 грушу и почему? (Тремя способами, так
как груш всего 3 и они разные).
Сколькими способами можно взять один из фруктов?( Семью способами 7=4+3).
Ответ: 7 способов
Задача 2. На полке стоят десять томов Пушкина, четыре тома
Лермонтова и шесть томов Гоголя. Сколькими способами можно выбрать
с полки одну книгу?
Решение. Понятно, что 10 + 4 + 6 = 20 способами.
Задача 3. На подносе лежат 5 яблок и 3 груши. Сколькими способами
можно выбрать фрукт с подноса?
Решение. Яблоко можно выбрать пятью способами. Грушу можно
выбрать тремя способами.
Стало быть, один из этих фруктов можно выбрать 5 + 3 = 8 способами.
ЗАПОМНИТЕ! Правило суммы применяется, когда нужно
выбрать один предмет из нескольких различных множеств.
4.2. Правило произведения
При решении комбинаторных задач часто приходится умножать
число способов выбора одного объекта на число способов выбора другого
объекта. Рассмотрим некоторые примеры.
Задача 1. Имеются три города: A, B и C. Из A в B ведут три дороги,
из B в C — пять дорог. Сколько различных путей ведут из A в C? Прямого
пути между A и C нет.
16
Решение. Обозначим дороги буквами и цифрами. Именно, дороги из
A в B назовѐм a, b, c; дороги из B в C назовѐм 1, 2, 3, 4, 5.
Тогда любой маршрут из A в C получает уникальное имя в виде пары
из буквы и цифры. Например, маршрут b4 означает, что из A и B мы
пошли по дороге b, а из B в C — по дороге 4. Выпишем все такие пары в
виде таблицы: a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 c1 c2 c3 c4 c5
Всего получилось 3 · 5 = 15 маршрутов. Как видим, число маршрутов
равно произведению числа дорог из A в B на число дорог из B в C.
Заметим, что строить каждый раз дерево вариантов не обязательно.
Чтобы найти число комбинаций, достаточно перемножить
число предметов одного вида на количество предметов другого
вида. Это правило называется правилом произведения.
Правда, работает оно не всегда. Зато при перестановках смело его
применяй!
Когда речь идѐт о выборе всех возможных вариантов, т.е. нет условий
и ограничений - перед нами задача на перестановку.
Задача 3. У Алисы есть 4 разных платья и 3 разных пары туфель.
Она собирается на вечеринку и думает, что ей надеть. Сколько у Алисы
вариантов?
17
Нам надо составить все возможные комбинации. В каждой из них
будут участвовать и платье, и туфли.
Предположим, платье Алиса выбрала. Тогда к нему она может
подобрать одну из 3-х пар туфель. Таким образом, есть 3 набора "платьетуфли" с этим первым платьем.
Поскольку платьев всего 4, то по правилу произведения 4*3=12. У
Алисы 12 вариантов нарядов на вечеринку.
Использовать правило произведения - это, значит, умножить число
одних элементов на количество комбинаций с ними.
Рассмотрим ещѐ одну задачу 4: В магазине «Сувениры» продают 6 видов
подсвечников и 3 вида вазочек к ним. Сколько можно составить разных
подарочных комплектов из подсвечника и вазочки?
Ответ: 6х3=18
Задача 5. В магазине «Все для чая» в продаже имеется 6 видов чашек, 5
видов блюдец и 3 вида ложек. Сколько можно составить разных
комплектов из трех предметов: чашки, блюдца и ложки?
Ответ: 90 (6х5х3)
А теперь давай решим задачу 6 (посложнее). Решив еѐ, ты поймѐшь,
насколько правило произведения помогает ускорить процесс поиска
комбинаций.
Итак, в магазине есть 5 видов пиджаков, 3 вида брюк и 2 вида галстуков.
Сколькими способами Юра может собрать себе комплект школьной
формы?
18
Допустим, пара "пиджак-брюки" выбрана. Это можно сделать 5*3=15
способами.
К этой паре можно купить галстук 2 способами.
Значит, для покупки пиджака, брюк и галстука имеется 5*3*2=30
способов. Согласись, рисовать 30 способов на бумаге - это долго!
Задача 7. В магазине есть 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и 4 вида
галстуков. Сколькими способами можно купить комплект из пиджака,
брюк и галстука?
Решение. Предположим, что пиджак уже выбран (это можно
сделать 7 способами). К пиджаку выбираем брюки 5 способами. Итого
пару (пиджак, брюки) можно выбрать 7 · 5 способами. К этой паре можно
купить галстук 4 способами. Следовательно, для покупки пиджака, брюк
и галстука имеется 7 · 5 · 4 = 140 способов.
4. Решение задач с помощью разных методов
Одну и ту же задачу можно решить с помощью разных методов.
Учащимся раздали цветные полоски (белый, синий, красный) и
предложили из них составить флаг Российской Федерации.
ФЛАГ
РОССИИ
Что означает каждый цвет?
Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту,
непорочность, совершенство; синий - цвет веры и верности,
постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь,
пролитую за Отечество.
Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета.
19
НИДЕРЛАНДЫ ФРАНЦИЯ ЮГОСЛАВИЯ
Флаги стран Европы, где встречаются три цвета:
белый, синий, красный.
Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой
флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех
цветных полосок?
Решение этой задачи можно записать тремя способами:
1. Таблица вариантов
КБС КСБ
БСК БКС
СБК СКБ
Ответ: 6 способов
2. Дерево вариантов
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
КРАСНЫЙ
Б С С К Б К
БЕЛЫЙ СИНИЙ
Ответ: 6 способов.
3. Правило умножения
1 полоса 3 способа
2 полоса 2 способа
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
КРАСНЫЙ
Б С С К Б К
БЕЛЫЙ СИНИЙ
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
КРАСНЫЙ
Б С С К Б К
БЕЛЫЙ СИНИЙ
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
КРАСНЫЙ
Б С С К Б К
БЕЛЫЙ СИНИЙ
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
КРАСНЫЙ
Б С С К Б К
БЕЛЫЙ СИНИЙ
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
КРАСНЫЙ
Б С С К Б К
БЕЛЫЙ СИНИЙ
ДЕРЕВО ВАРИАНТОВ
КРАСНЫЙ
Б С С К Б К
БЕЛЫЙ СИНИЙ
20
3 полоса 1 способ
3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
Ответ: 6 способов
ПРИМЕРЫ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
Разберем задачу, подобные которой часто встречаются на
олимпиадах, интеллектуальных конкурсах.
Задача 1: Встретились пятеро друзей, здороваясь, они пожали друг
другу руки. Сколько всего рукопожатий было сделано?
Решение: Сначала выясним, как можно обозначить каждого человека.
Удобнее изображать людей точками. Расположим точки по кругу. Как
показать людей, которые пожали друг другу руки? От двух точек
навстречу друг другу проводятся черточки – «руки», которые,
встречаясь, образуют одну линию. Так происходит переход к
символическому изображению рукопожатия. Сначала составляются
рукопожатия одного человека, потом переходят к другому человеку. И
так действуют до тех пор, пока все не «поздороваются» друг с другом.
По получившемуся графу подсчитывается число рассуждений /их всего
10/
Задача 2. Несколько приятелей при встрече пожали друг другу руки.
Сколько встретилось приятелей, если рукопожатий было 10? В процессе
анализа выясняем, что решить задачу, как предыдущую, не удается, так
как неизвестно, сколько поставить точек, зато известно количество
21
рукопожатий, то есть количество отрезков или ребер графа. Поэтому
в данной ситуации можно рассмотреть последовательно варианты:
- если приятелей было двое (то получается одно рукопожатие, а это не
соответствует условию задачи);
- если приятелей было трое (то рукопожатий было три);
- если приятелей было четверо (рукопожатий − шесть);
- если приятелей было пятеро, то получается десять рукопожатий.
Таким образом, если рукопожатий было десять, то встретилось пять
приятелей.
Задача 3. В вазе 4 яблока и 3 груши. Сколькими способами можно
взять из вазы пару фруктов: яблоко и грушу?».
Решение: Можно ли здесь для ответа на вопрос задачи применить
правило суммы? Нет, так как в задаче требуется выбрать пару фруктов.
Сколькими способами можно выбрать 1 яблоко для набора? Четырьмя
способами.
Сколькими способами можно выбрать 1 грушу? Грушу можно выбрать к
каждому яблоку 3 способами, так как груш 3.
Сколько всего способов выбора груши к яблокам мы нашли? 4х3=12
Ответ: 12 способов
Ну вот, вы просмотрели теорию. Теперь самое время приступать к
тренировкам!
Смелее вступайте в комбинаторный бой!
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Е.Белокурова «Обучение решению комбинаторных задач с помощью
таблиц и граф».
2. Проценко Е. А., Трофименко Ю. В. Методические аспекты обучения
младших школьников комбинаторике // Молодой ученый. — 2014.
— №8. — С. 864-867
22
3. С.В.Солнышко «Использование комбинаторных задач при обучении
первоклассников математике».
https://infourok.ru/reshenie_kombinatornyh_zadach_v_nachalnoy_shkol
e-191535.htm
http://mathus.ru/math/kombinatorika.pdf
http://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/kombinatornyie-zadachi-vnachal-noi-shkolie
https://logiclike.com/user#/service-order/logic
37 878
601 
