Комбинаторные задачи в ЕГЭ

Теория вероятностей и комбинаторные правила решения задач

Классическое определение вероятности

Стохастическим называют опыт, если заранее нельзя предугадать его результаты. Результаты (исходы) такого опыта называются событиями .

Пример : выбрасывается игральный кубик (опыт) ;

выпадает двойка (событие).

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным , а которое не может произойти, - невозможным .

Пример : В мешке лежат три картофелины.

Опыт – изъятие овоща из мешка.

Достоверное событие – изъятие картофелины.

Невозможное событие – изъятие кабачка.

Классическое определение вероятности

Равновозможными называют события, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие.

Примеры : 1) Опыт - выбрасывается монета.

Выпадение орла и выпадение решки –

равновозможные события.

2) В урне лежат три шара. Два белых и синий.

Опыт – извлечение шара.

События – извлекли синий шар и извлекли

белый шар - неравновозможны.

Появление белого шара имеет больше шансов..

Классическое определение вероятности

Несовместимыми (несовместными) называют события, если наступление одного из них исключает наступление других.

Пример : 1) В результате одного выбрасывания выпадает

орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - несовместны.

2) В результате двух выбрасываний выпадает

орел (событие А) или решка (событие В).

События А и В - совместны. Выпадение орла в первый раз

не исключает выпадение решки во второй

Классическое определение вероятности

Полной группой событий называется множество всех событий рассматриваемого опыта, одно из которых обязательно произойдет, а любые два других несовместны.

События образующие полную группу называют элементарными.

Пример : 1) Опыт – один раз выбрасывается монета.

Элементарные события : выпадение орла

и выпадение решки образуют полную группу.

Классическое определение вероятности

Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу.

P(A) = m/n

Для конечных множеств событий при нахождении m и n широко используют правила комбинаторики.

Задача №1 : Сколько двузначных чисел можно

составить, используя цифры 7 ; 8; 9

(цифры могут повторяться) ?

В данном случае легко перебрать все комбинации.

77

78

79

88

87

89

99

97

98

9 вариантов

Задача №2 : Сколько пятизначных чисел можно

составить, используя цифры 7 ; 8; 9

(цифры могут повторяться) ?

Как видим, в этой задаче перебор довольно затруднителен.

Решим задачу иначе.

На первом месте может стоять

любая из трех цифр – 3 варианта.

На втором месте может стоять

любая из трех цифр – 3 варианта.

На третьем месте может стоять

любая из трех цифр – 3 варианта.

На четвертом месте может стоять

любая из трех цифр – 3 варианта.

На пятом месте может стоять

любая из трех цифр – 3 варианта.

Комбинаторное правило умножения

Задачи открытого банка

№ 1

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

№ 1 В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Благоприятное событие А : первой выступает

спортсменка из Канады

К-во всех событий группы : n=?

К-во благоприятных

событий : m = ?

Соответствует количеству всех гимнасток.

n= 50

Соответствует

количеству

гимнасток

из Канады.

m =50-(24+13)=13

23.04.20

№ 2

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

№ 2 В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Благоприятное событие А : выбранный насос

не подтекает.

К-во всех событий группы : n=?

Соответствует количеству всех насосов.

n= 1400

К-во благоприятных

событий : m = ?

Соответствует

количеству

исправных

насосов

m =1400-14=1386

23.04.20

№ 3

Фабрика выпускает сумки.

В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

№ 3 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Благоприятное событие А : купленная сумка

оказалась качественной.

К-во всех событий группы : n=?

Соответствует количеству всех сумок.

n= 190+8=198

К-во благоприятных

событий : m = ?

Соответствует

количеству

качественных

сумок.

m =190

23.04.20

Вероятность и правило произведения

Два события называются независимыми , если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.

Правило произведения (теорема об умножении вероятностей)

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Теорема о сложении вероятностей

Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

№ 4

В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей.

Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман.

Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в разных карманах.

Вероятность и правило произведения

Решение:

Всего 6 монет. Возможны варианты перекладывания:

1 карман 2 карман

5 1 1 5 1 1

1 5 1 1 5 1

1 1 5 1 1 5

P 1 = 2 /6 * 4 /5 * 3 /4 = 1 /5

« 5 » « 1 » « 1 »

P 2 =4/6 * 2/5 * 3/4 = 1/5

« 1 » « 5 » « 1 »

P 3 =4/6 * 3/5 * 2/4 = 1/5

« 1 » « 1 » « 5 »

P = P 1 + P 2 + P 3 = 3/5 = 0,6

№ 4

В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 5 рублей.

Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман.

Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат в

разных карманах.

№ 5 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

№ 5 В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Опыт : выпадают три игральные кости.

Благоприятное событие А : в сумме выпало 7 очков.

К-во благоприятных

событий m = ?

К-во всех событий группы n=?

1- я кость - 6 вариантов

2-я кость - 6 вариантов

3-я кость - 6 вариантов

313

322

331

115

124

133

142

151

214

223

232

241

511

412

421

23.04.20

№ 6 В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды . Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

№ 6 В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Условие можно трактовать так : какова вероятность того,

что все четыре раза выпадет решка ?

К-во всех событий группы n=?

1- й раз - 2 варианта

2-й раз - 2 варианта

3-й раз - 2 варианта

4-й раз - 2 варианта

К-во благоприятных

событий m = ?

m= 1

Четыре раза выпала

решка.

23.04.20

Самостоятельная работа

1 вариант

2 вариант

• 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых.
• 2. В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 15 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

• 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых
• 2.В среднем из 1300 садовых насосов, поступивших в продажу, 13 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.