Комплексный подход к изучению темы "Неравенства"

Комплексный подход к изучению темы "Неравенства"

в восьмом физико-математическом классе.

Штерн А. С., Железная Н. О. (Омский Государственный Университет,

центр довузовской подготовки)

Тема "неравенства" занимает существенное место в программе физико-математического класса. "На выходе" хороший ученик такого класса должен не только уметь решать и доказывать неравенства стандартными методами (метод интервалов, метод математической индукции, использование неравенства между средними и т.д.), но и должен демонстрировать культуру работы с неравенствами. Например, грамотно выстраивать цепочки неравенств, каждое из которых вытекает из предыдущих в силу свойства транзитивности. Или уметь хотя бы грубо находить границы для сложных числовых или алгебраических выражений. Причём, если раньше эти навыки оказывались востребованы, в основном, на олимпиадах, то сейчас школьник всё чаще сталкивается с такими задачами при выполнении заданий уровня "С" Единого Государственного Экзамена или заданий Централизованного Тестирования "Математика-2". Есть все основания полагать, что такая тенденция будет продолжена и в дальнейшем.

Любой учитель знает, как сложно идёт формирование этих навыков. Не будет, по-видимому, преувеличением сказать, что только очень способный ученик среднестатистического физматкласса может решить двух-трёхходовую задачу на неравенство треугольника, если для этого нужно существенно использовать свойство транзитивности неравенств. И это при том, что свойства неравенств в восьмом классе изучаются достаточно подробно. Нам кажется, что один из путей решения этой проблемы состоит в том, что школьники должны почувствовать, как свойства неравенств, изученные ими на уроках алгебры, работают при решении алгебраических, геометрических и логических задач. Подобный "комплексный полигон" для отработки навыков работы с неравенствами даёт гораздо больше, чем их традиционное изучение на уроках алгебры.

Учебный план восьмого физико-математического класса, в котором мы работаем, предусматривает проведение еженедельных двухчасовых занятий, которые мы называем "геометрия и логика". Название достаточно условное, хотя суть нашей методической установки оно отражает. Речь идёт о проведении занятий, посвящённых наиболее сложным с логической точки зрения темам, существенную роль среди которых занимают геометрические темы. Методика основана на известных принципах работы с "листочками". Эта методика давно уже освоена во многих физико-математических школах, а материалы, разработанные педагогами Москвы, Санкт-Петербурга, Харькова, давно уже опубликованы большими тиражами. В силу этого мы избавлены от необходимости описывать суть методики. Хочется только отметить, что мы не оставляем школьника наедине с листочком, а используем его как основу для содержательного разговора между учителем и учениками. Гораздо интереснее рассказать о принципах подбора задач для листочков.

Перед Вами две подборки задач. Эти подборки не совсем обычны. Хотя они и предназначены для работы на уроке и самостоятельных занятий дома, в них нет однотипных заданий, цель которых довести до автоматизма навыки работы с неравенствами. Решать задачи рекомендуется подряд – вырванные из контекста, они могут показаться гораздо труднее, да и сам процесс размышления над листком столь же важен, как и его результат. В центре первой подборки неравенство треугольника. Эта тема, хотя и рассматривается в 7 классе при изучении раздела «Соотношения между сторонами и углами треугольника», усваивается очень плохо. Задание было довольно трудным. Наряду с геометрическими задачами там немало и тех, которые не очень точно называют олимпиадными. Последние задачи довольно сложны, но в контексте всего задания с ними справляются и не самые способные школьники. После того как применение идеи транзитивности отработано на относительно несложных геометрических задачах, легче решается и, к примеру, весьма нетривиальная задача про Петю Иванова.

Вторая подборка задач называется "Что больше? Неравенства и моделирование". Нам кажется, что тема «Моделирование» есть именно отдельная очень важная тема, изучению которой нужно уделять много места в восьмом классе. Решение задач такого типа можно разбить на следующие этапы.

1. Ознакомление и изучение реальной ситуации или описание этой ситуации. В обучении это чаще всего изучение условия текстовой задачи.

2. Перевод содержания задачи на язык математических терминов, т. е. построение математической модели. При этом получается уравнение, система уравнений или неравенств, другие абстрактные математические объекты

3. Решение задачи внутри модели, т. е. решение полученного уравнения, системы уравнений или неравенств и т. д.

4. Этап интерпретации, то есть перенос полученных результатов на подлинный объект изучения.

Трудно сказать однозначно, какой из этих этапов представляет наибольшие сложности. Уже введение переменной оказывается новой мыслью для многих восьмиклассников. И, тем не менее, работа над этим листочком шла вполне успешно. Значительной части учеников удалось прорешать все или почти все задачи. Особый интерес учащихся вызывали задачи, в которых содержательным оказывается этап интерпретации ("честный купец", "дедушка и внук", "дама сдавала в багаж…").

В конце работы мы приводим небольшой набор задач, посвященных моделированию как таковому без какой-либо связи с неравенствами. Это тоже отдельный листок, предшествовавший листку «Что больше?»

Переживаемый нами период в преподавании математики весьма противоречив. С одной стороны, повсеместное внедрение тестов отодвигает на второй план проблему формирования и развития логической культуры. В то же время уже на уровне выпускных испытаний по математике школьник сталкивается с существенными трудностями логического характера, с которыми раньше сталкивались лишь абитуриенты немногих элитных вузов. Тем самым имеющий разумные амбиции учитель математики уже не может отмахнуться от проблемы формирования логической культуры как от несущественной. Некоторым опытом в решении этой задачи на примере одной конкретной темы мы и хотели поделиться с читателем.

Геометрические и Логические Задачи на неравенства

1. Стороны равнобедренного треугольника равны 1 и 3. Какая из сторон является основанием?

2. В треугольнике две стороны равны 1 и 6. Найдите третью сторону, если известно, что ее длина равна целому числу.

3. Известно, что числа А и В таковы, что суммы А+В и 3А+2В положительны. Может ли быть отрицательным число 5А+4В? А число 2А+3В?

4. Докажите, что сумма всех высот треугольника меньше его периметра.

5. Даны четыре точки А, В, С и D. Докажите, что АD  AB+BC+CD.

6. Докажите, что в четырехугольнике любая диагональ меньше половины периметра.

7. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырехугольника больше суммы его двух противоположных сторон.

8. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырехугольника меньше периметра, но больше полупериметра этого четырехугольника.

9. Внутри треугольника АВС взята точка М. Докажите, что угол ВМС больше угла ВАС.

10. Пусть СК – биссектриса треугольника АВС и АСBC. Докажите, что угол АКС – тупой.

11. В треугольнике АВС с тупым углом при вершине С точки M и N расположены соответственно на сторонах АС и ВС. Докажите, что отрезок MN меньше отрезка АВ.

12. Число х – натуральное. Из утверждений 2х70, х, 3х25, х10 и х5 три верных и два неверных. Чему равно х?

13. Точка М расположена внутри треугольника АВС. Докажите, что ВМ+СМАВ+АС.

14. Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. Где нужно вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырех домов была наименьшая?

МВ + МА АС + ВС,

МА + МС АВ +ВС.

Сложив их почленно, получим 2(МВ+МА+МС) АВ+ВС+АС). Отсюда следует, что указанная сумма меньше периметра треугольника.

Применяя неравенство треугольника к треугольникам АМС, ВМС и АМВ, получим

АМ + МС АС,

ВМ + МС ВС,

АМ + МВ АВ,

Откуда АМ+ВМ+СМ (АВ + АС +ВС).

2. ДВА*ШЕСТЬ. Самое большое число, которым может быть ШЕСТЬ это 98765 и 98765, а ДВАДЦАТЬ больше, чем ДВА*100 000.

3. Петя выше всех в своей колонне, а Ваня ниже всех в своей шеренге. В пересечении Петиной колонны и Васиной шеренги стоит некий Федя. Петя выше Феди, а Ваня ниже Феди. Поэтому Петя выше Вани.

4. Предположим, что у каждого школьника (кроме крайних) правый сосед не ниже левого. Пронумеруем школьников слева направо. Тогда третий школьник не ниже первого, пятый не ниже третьего (а значит, не ниже первого), и так далее. Таким образом, получаем, что двадцать пятый школьник не ниже первого, что противоречит условию.

что больше?

1. У правильной дроби числитель и знаменатель увеличили на 1. Уменьшилась или увеличилась дробь?

2. Имеется два различных числа a, b. Меньшее из них увеличили на 1, большее – уменьшили на 1. Уменьшилось или увеличилось произведение этих чисел?

3. Правильную дробь перевернули. Какая из двух дробей ближе к единице: исходная или перевёрнутая?

4. Дедушка с внуком пошли вместе кататься на лыжах. Бабушка знает, что по ровному месту оба едут со скоростью 7 км/ч, под гору: дедушка – 8 км/ч, внук – 20 км/ч; в гору: дедушка – 6 км/ч, внук – 4 км/ч. Оба проехали по одному и тому же маршруту. Может ли бабушка определить, что больше – протяженность спусков или подъемов на их пути, - если первым вернулся а) внук, б) дедушка?

5. Продавцу нужно взвесить 2 килограмма товара. У продавца были весы с различными по длине плечами: одно плечо в полтора раза длиннее другого. Один килограмм товара он взвешивал на левой чашке, а другой килограмм того же товара и тому же покупателю на правой чашке, и считал, что этим он компенсировал неточность весов. Что получалось в результате: были взвешены точно два килограмма; больше двух килограмм; меньше двух килограмм?

6. Как изменится ответ предыдущей задачи, если заменить в условии фразу «одно плечо в полтора раза длиннее другого» на фразу «одно плечо длиннее другого»?

7. Если первый автомобиль сделает 4 рейса, а второй 3 рейса, то они перевезут вместе меньше 21 т груза, если же первый сделает 7 рейсов, а второй 4 рейса, то они перевезут больше 33 т груза. Какой автомобиль имеет большую грузоподъемность?

8. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки, 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

9. Дама сдавала в багаж: диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же, сколько картина, корзина и картонка вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну и каждая из них больше, чем собачонка. Когда выгружали багаж, дама заявила, что собака не той породы. При проверке оказалось, что собака перевешивает диван, если к ней на весы добавить саквояж или чемодан. Докажите, что претензия дамы была справедлива.

1. . Ответ:

2. (а-1)(b+1)-ab=ab-b+a-1-ab=a-b-10. Ответ: Увеличилось.

3. Из двух дробей с равными числителями меньше та, у которой знаменатель больше. Ответ: ближе к 1, чем .

4. Обозначим протяженность подъемов через х, а протяженность спусков – через у. (Ровное место можно вообще не учитывать, так как на нем скорости деда и внука одинаковы). Тогда время деда на подъемах и спусках равно, а время внука равно. Пусть известно, какое из этих чисел меньше другого, что мы запишем так: . Преобразуя, получаем 9у10х. Если внук вернулся раньше, то 9у10х, откуда ух. Если же дед вернулся раньше, то 9у10х, что возможно как при у, так и при ух.