Конспект урока геометрии в 10 классе по теме: «Параллельность прямых в пространстве. Параллельность трёх прямых»

10 класс Геометрия Урок №11

Тема: Параллельность прямых в пространстве. Параллельность трёх прямых.
Тип: урок изучения нового материала.
Цель: получить знания о параллельности прямых и плоскостей.
Задачи:
Образовательные: рассмотреть возможные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве; познакомиться с понятиями параллельных и скрещивающихся прямых и их основными свойствами; доказать теорему о параллельных прямых в пространстве и параллельности трех прямых.

Развивающие: развивать умение доказательства теорем; развивать память и логическое мышление.
Воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность.

Автор разработки: Попов Дмитрий Сергеевич.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент
Учитель и ученики приветствуют друг друга. Выявление отсутствующих.

II. Актуализация знаний
1. Фронтальный опрос.
- Как называется наука о свойствах геометрических фигур?
- Как называется раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости?
- Назови основные понятия планиметрии.
- Как называется поверхность, имеющая два измерения?
- Выберите неверную аксиому:
а) Через любые две точки проходит плоскость, и притом только одна;
б) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна;
в) Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
2. Самостоятельная работа на карточках.
Выдаю учащимся карточки (приложение 1), для выполнения самостоятельной работы.

III. Постановка темы и цели урока

- Геометрия, которую мы изучаем, называется евклидовой, по имени древнегреческого учёного Евклида (III век до нашей эры), создавшего руководство по математике под названием «Начала». В этой книге есть раздел о параллельных прямых. Что же такое параллельные прямые в пространстве, и сильно ли они отличаются от параллельных прямых на плоскости? Сегодня мы будем в этом разбираться.

- Откройте тетради и запишите тему урока «Параллельность прямых в пространстве. Параллельность трёх прямых»

IV. Изучение нового материала

- В советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с греческого языка, как «идущий рядом».

В средние века параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность стали обозначать «║».

В книге «Начала» определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не пересекаются». Это определение почти не отличается от современного. В области параллельных прямых работало очень много учёных из разных стран мира.

Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).

П ерейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором - такие прямые называются скрещивающимися.

- Запишите определения:
1) Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2) Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

- Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет простой куб. Не верите?! Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:

AB||A₁B₁; AB|| CD; A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.

- А теперь рассмотрим некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в одной плоскости:

AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.

- Запишите теорему:

ТЕОРЕМА. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

У читель доказывает теорему:

Рассмотрим прямую а и точку М, не лежащую на этой прямой. Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна.

Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Но в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. На рисунке эта прямая обозначена буквой b.

Итак, b — единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а. Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей.

- Запишите лемму:

ЛЕММА. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

- Откройте страницу 10 и прочитайте доказательство данной леммы.

Учащиеся читают доказательство леммы.

- Запишите теорему:

ТЕОРЕМА. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

П усть а || с и b || с. Докажем, что а || b. Для этого нужно доказать, что прямые а и b: 1) лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются.

1)    Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой а плоскость, проходящую через прямую а и точку К. Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости. Действительно, если допустить, что прямая b пересекает плоскость а, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с также пересекает плоскость α. Но так как прямые а и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость α, что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости α.

2)    Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b), параллельные прямой с, что невозможно. 

V . Закрепление изученного материала. Решение упражнений

Задача 1 (из доп. лит.). Дано:
АС || α, АВ α = М;
СВ α = N.

Доказать:

Доказательство:
1) По утверждению 1: || АС. Тогда = (как односторонние при параллельных прямых).

2) – общий.

3) по двум углам.

Задача 2 (из доп. лит.). Вершина Q параллелограмма MNPQ лежит в плоскости α, а точки M, N, и P не лежат в этой плоскости. Докажите, что прямые NM и NP пересекают плоскость α.

Доказательство:
Прямая PQ пересекает плоскость α в точке Q, так как Q ϵ α, поэтому, согласно лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая NM, параллельная PQ, также пересекает плоскость α. Прямая MQ пересекает плоскость α в точке Q, поэтому параллельная ей прямая NP также пересекает плоскость α, что и требовалось доказать.

Задача 16 (учебник).

Задача 18(а) (учебник). Учащиеся решают самостоятельно.

VI. Подведение итогов урока

- Какие теоремы мы сегодня изучили?

- Какую лемму мы сегодня изучили?

- Оцените свою работу на уроке.

VII. Домашнее задание

• Прочитать (п. 4-5) и выучит теоремы и лемму.

• Решить №18(б).

_____________________________________________________________________

Приложение 1