Конспект урока геометрии "Великая звезда Руси. Задачи на построение циркулем и линейкой", 8 класс

Конспект урока геометрии в 8 классе

Тема «Великая звезда Руси»

(построение циркулем и линейкой)

Учитель математики: Данилина Елена Владиславовна

Тип урока: Изучение нового материала.

Цель нашего урока:

1. Дать представление о звездчатых многоугольниках.

2. Закрепить навык построения биссектрисы угла и перпендикулярных прямых.

3. Построить восьмиконечную звезду с помощью циркуля и линейки.

Задачи урока:

1. обучающая:

а) ввести понятие звездчатого многоугольника

в) закрепить у учащихся навыки решения некоторых простейших задач на построение биссектрисы угла и перпендикулярных прямых;

г) развить словесно-логическое мышление (умение анализировать, обобщать);

1. воспитывающая:

а) привить любовь к гармонии и красоте геометрических фигур.

б) развить способности учащихся мыслить свободно, творчески, ответственно за принятые решения;

в) привить чувство заботы о маме и дать возможность ученику порадовать близких своей работой.

3) развивающая:

а) способствовать развитию самостоятельности, аккуратности, внимания, терпения;

б) расширить представление о возможностях использования приобретенных знаний в практических задачах; создать условия для поиска алгоритма построения звезды с заданным условием и использования навыков работы с циркулем и линейкой;

в) показать связь изученного материала с реальной жизнью.

Оборудование

1. Учебник «Геметрия 7-9 классы», авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и другие, М.: Просвещение 2014г.

2. Карандаши, линейки, циркули.

3. Раздаточный материал: карточки с таблицей «Фигуры, инструменты» для индивидуальной работы, справочный материал «Перечень задач на построение.

4. Листы формата А4 (количество соответствует количеству учащихся в класс).

5. Медиасистема (ноутбук, проектор).

Ход урока

1. Организационный момент (2 минуты).

- Ребята, прочитайте тему сегодняшнего урока, записанную на доске: Задачи на построение циркулем и линейкой.

2. Проверка готовности к уроку. Домашняя работа (5 минут)

- Многие построения геометрических фигур можно выполнить с помощью только двух инструментов, не имеющих шкал. Поэтому в геометрии специально выделяют блок задач, которые решаются с помощью только этих инструментов. Какие это инструменты, а также, какие задачи можно решать с их помощью?

Вы выполнили небольшое задание на карточках. Проверим результаты. (Ребятам предлагалось заполнить выданные карточки, т.е. выполнить рисунки и вписать в третьей строке числа, соответствующие количеству точек).

После выполнения заданий учащимися карточка выглядит так:

- Что же можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных и красивых задач на построение,простых и сложных. Вот некоторые из них:

• построить отрезок, равный данному (на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному);

• построить угол, равный данному (отложить от данного луча угол, равный данному);

• через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой (два различных случая: точка принадлежит данной прямой и точка не принадлежит данной прямой);

• построить середину данного отрезка (разделить данный отрезок пополам);

• построить биссектрису угла (разделить данный угол на два равных угла).

3.Введение нового знания (10минут).

Предлагаю вам подумать над темой нашего занятия и определить цель работы на уроке.

Работа с наглядным материалом

Назвать демонстрируемые геометрические фигуры: круг, прямоугольник, квадрат, прямоугольный треугольник.

Продемонстрировать геометрическую фигуру - два квадрата, один относительно точки пересечения диагоналей повернут на 45 град.

- Как называется эта геометрическая фигура?

Ответы: звезда, невыпуклый многоугольник и др.

-Да, близки к правильному ответу. Это – звездчатый многоугольник, восьмиконечная звезда.

Тема урока связана с изучением звезды как геометрической фигуры.

- Запишите в тетрадь «Великая звезда Руси».

Цель (формулируют ученики): построить звезду с помощью циркуля и линейки.

Записи в тетради:

Звёздчатый многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника.

Стороны звёздчатого многоугольника могут пересекаться между собой. Существует множество звёздчатых многоугольников или звёзд, среди них пентаграмма, гексаграмма, две гептаграммы, октограмма, декаграмма, додекаграмма. Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая одновременно все стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их следующего пересечения в точках, которые и являются вершинами звёздчатого многоугольника. Полученый звёздчатый многоугольник будет звёздчатой формой правильного многоугольника, из которого он получен. Вершинами звёздчатого многоугольника будут считаться только точки, в которых сходятся стороны этого многоугольника, но не точки пересечения этих сторон; звёздчатая форма данного многоугольника имеет столько же вершин, сколько он сам.

- Каким многоугольником: выпуклым или невыпуклым является звёздчатый многоугольник?

Ответ: невыпуклый

4.Закрепление (15 минут )

Задача: С помощью циркуля и линейки построить правильный звездчатый восьмиугольник, т.е. восьмиконечную звезду (другие её названия - Рождественская, Вифлеемская), длина лучей которой равна 6 см; центр звезды совпадает с некоторой точкой О.

- Я предлагаю выполнить вам построение очень красивой геометрической фигуры, используя знания о простейших алгоритмах построения фигур.

- Симметричен ли этот многоугольник?

- Да. Звезда обладает осевой и центральной симметрией.

Применим схему.

Схема решения задач на построение:

1. Анализ (рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами, и план построения).

2. Построение по намеченному плану.

3. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Исследование (при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько).

- Желаю вам творческих решений и радости открытий.

Можно дать 3-4 минуты на обдумывание решения. После этого заслушать все варианты решений и обсудить их, при этом попросить учащихся озвучить алгоритм построения.

Учащиеся ведут поиск алгоритма построения лучей этой звезды с помощью циркуля и линейки.

Вам выдан чистый белоснежный лист формата А4. У вас имеется карандаш, циркуль и линейка. Проанализируем, с помощью каких точек и отрезков можно построить Рождественскую звезду. Рассмотрим внимательно изображение восьмиконечной звезды. (Учитель представляет рисунок Звезды)

Выполнить построение на листе (формат А4) (учитель выполняет на доске).

Записи в тетради:

№1

ДАНО: точка О, длина луча звезды ОА=6см.

ПОСТРОИТЬ: восьмиконечную звезду с центром в некоторой точке О.

АНАЛИЗ:

Все вершины Звезды должны быть равноудалены от центральной точки на 6 см и расположены на окружности. Получить точки на окружности можно с помощью пересечения прямых и окружности. Сколько прямых? (Ученик: 4 прямых). Две диаметрально-противоположные вершины – это точки пересечения прямой a, проходящей через данную точку. Построим с помощью линейки.

Прямая b перпендикулярна прямой a, а значит может являться биссектрисой развернутого угла (построим по изученному алгоритму). Либо построить перпендикулярную прямую к прямой через точку, принадлежащую этой прямой.

Другие пары вершин также будут располагаться на биссектрисах прямых углов. Легко заметить, что образовались вертикальные углы. Вопрос: Какой угол образуют биссектрисы вертикальных углов? (Ученик: Угол 180 град). Продолжим мысль: биссектрисы вертикальных углов дополняют друг друга до прямой. Следовательно, надо построить еще две взаимно-перпендикулярные прямые, каждая из которых делит прямые углы пополам.

Таким образом, основной алгоритм, который мы будем использовать, это алгоритм построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки. Точки пересечения биссектрис с линией окружности и есть искомые вершины восьмиконечной звезды. Обозначим их A,B,C,D,E,F,G,H. Достроив квадраты, найдем точки пересечения их сторон, т.е. внутренние «вершины» звезды. Соедините последовательно точки (всего их 16) и ярко обведите контур искомой Звезды. Задача решена. У кого получилось? Покажите, пожалуйста, аудитории. Хорошими и отличными оценками отметить лучшие работы.

- Вашим творческим заданием, ребята, будет поиск других способов построения лучей. Подумайте о «лучистости» ваших звезд, используйте принцип равноудаленности. Жду ваших красивых восьмилучевых звездочек. (Учитель может обсудить «будущие звезды», предложить разные варианты звезд.)

Замечание: Если имеется возможность использовать медиаресурсы, то показать построение восьмиконечной звезды в программе «Atlier de Géométrie 2D».

1. Звезды Российских орденов (5 минут).

Восьмиконечная звезда используется в геральдике некоторых стран, к примеру, на флаге и гербе Азербайджана, Туркмении и других государств (Колумбия, Перу, Филиппины). Такие звезды – наиболее распространенный орденский знак во всех европейских христианских государствах. Действительно, поискав в интернете, я обнаружила большое количество орденов разных стран представляющих собой восьмиконечные звезды.

Для меня и думаю для Вас, ребята, чудесным открытием могут оказаться сведения об Орденах Российской Федерации.

В Российской Федерации высшей наградой является Орден Святого апостола Андрея Первозванного (за веру и верность). В 1998 году орден был восстановлен как высшая награда Российской Федерации. Напомню, что этот орден был первым по времени учреждения российским орденом и высшей наградой Российской империи до 1917 года.

Восьмиконечную звезду в своей основе имеет также Орден «За заслуги перед Отечеством» (польза, честь и слава), утвержденный Приказом президента в 1994 году. В этом же году был учрежден Орден "За военные заслуги". С 1994 года и до учреждения ордена Святого апостола Андрея Первозванного в 1998 году (Указ Президента РФ № 757 от 1 июля 1998 года) орден «За заслуги перед Отечеством» являлся высшей государственной наградой Российской Федерации.

Орден Святой Великомученицы Екатерины (или орден Освобождения) — орден Российской империи для награждения великих княгинь и дам высшего света, формально второй по старшинству в иерархии наград с 1714 до 1917 года. Указом Президента Российской Федерации Д. А. Медведева от 3 мая  2012 года был учрежден сходный с историческим новый орден - «Орден Святой великомученицы Екатерины» (за милосердие).

1. Домашнее задание (3 минуты).

1. Украсить звезду, превратить работу в поздравительную открытку с добрыми пожеланиями и преподнести маме в День Матери.

2. Орден Святого Георгия (за службу и храбрость) учрежден Екатериной II в 1769 году. В советской России орден был упразднён после Октябрьской революции 1917 года. В 2000 году  был восстановлен в качестве военной награды Российской Федерации за личную доблесть в бою.

а) Узнайте сколько лучей у звезды Ордена Святого Георгия.

б) Постройте эту звезду с помощью циркуля и линейки.

в) Определите количество осей симметрии этой звезды.

1. Итог урока (5 минут).

- Что нового узнали на уроке?

(Ученик: звездчатые многоугольники).

- Какие алгоритмы мы использовали на уроке для решения поставленной задачи на построение? (Ученик: «построение перпендикулярных прямых», «построение биссектрисы угла»).

- Обладает ли симметрией правильная восьмиконечная звезда? Сколько осей симметрии у звезды? (Ученик: 8 осей симметрии.)

- Где встречается символ восьмиконечной звезды? (Ученик: Геральдика и гос. Награды, в иконописи).

- Есть ли вопросы по домашнему заданию?

Желаю вам радости от творчества при выполнении домашней работы.

Урок окончен.

Перечень задач, при решении которых нужно построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую заданным условиям,

с помощью циркуля и линейки без делений

• построить отрезок, равный данному (на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному);

• построить угол, равный данному (отложить от данного луча угол, равный данному);

• через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой (два различных случая: точка принадлежит данной прямой и точка не принадлежит данной прямой);

• построить середину данного отрезка (разделить данный отрезок пополам);

• построить биссектрису угла (разделить данный угол на два равных угла).

Схема решения задач на построение

1. Анализ (рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами, и план построения).

2. Построение по намеченному плану.

3. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Исследование (при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько).

Перечень задач, при решении которых нужно построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую заданным условиям,

с помощью циркуля и линейки без делений

• построить отрезок, равный данному (на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному);

• построить угол, равный данному (отложить от данного луча угол, равный данному);

• через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой (два различных случая: точка принадлежит данной прямой и точка не принадлежит данной прямой);

• построить середину данного отрезка (разделить данный отрезок пополам);

• построить биссектрису угла (разделить данный угол на два равных угла).

Схема решения задач на построение

1. Анализ (рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами, и план построения).

2. Построение по намеченному плану.

3. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Исследование (при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько).

Источник:

http://rfwiki.org

Звёздчатый многоугольник — многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника. Стороны звёздчатого многоугольника могут пересекаться между собой. Существует множество звёздчатых многоугольников или звёзд, среди них пентаграмма, гексаграмма, две гептаграммы, октограмма, декаграмма, додекаграмма. Звёздчатые многоугольники можно получить, продолжая одновременно все стороны правильного многоугольника после их пересечения в его вершинах до их следующего пересечения в точках, которые и являются вершинами звёздчатого многоугольника. Полученый звёздчатый многоугольник будет звёздчатой формой правильного многоугольника, из которого он получен. Вершинами звёздчатого многоугольника будут считаться только точки, в которых сходятся стороны этого многоугольника, но не точки пересечения этих сторон; звёздчатая форма данного многоугольника имеет столько же вершин, сколько он сам. Указанную операцию невозможно проделать с правильным треугольником и квадратом, так как после продления их стороны более не пересекаются; среди правильных многоугольников звёздчатые формы имеют только многоугольники с числом сторон более четырёх. Звёздчатой формой правильного пятиугольника (пентагона) являетсяпентаграмма.

Звёзды могут быть нераспадающимися едиными многоугольниками, не являясь соединениями других правильных или звёздчатых многоугольников (как в случае с пентаграммой), а могут являться таковыми соединениями, примером чему служит звёздчатая форма шестиугольника — гексаграмма (илиЗвезда Давида), являющаяся соединением двух треугольников.

У правильного многоугольника может быть несколько звёздчатых форм, количество которых зависит от того, сколько раз его стороны пересекаются между собой после их продления, примером чего является семиугольник, имеющий 2 звёзчатые формы (два вида семиконечной звезды).

Много звёздочек в небе светит,
Но прекраснее всех звезда,
Что зажглась на востоке где-то,
Мудрецов ко Христу привела.

Всех светлее она и ярче,
Светит людям во все года,
Утешенье несёт тем, кто плачет
Та Рождественская звезда.

Путь её от яслей Вифлеема
Через крест к воскресенью ведёт,
Ко Христу из греховного плена
Всех блуждающих снова зовёт.

Друг, измученный в мире этом,
Посмотри с надеждою вверх,
Там горит спасительным светом
Та звезда, что прекрасней всех.

9