Геометрия
Тема: Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Класс: 9 класс
Тип урока – урок изучения нового материала
Цели урока:
обучающие:
-
познакомиться с понятием координаты вектора,
-
изучить правила нахождения координат суммы и разности векторов, координат произведения вектора на число;
-
научить применять знания при решении геометрических задач;
развивающие:
воспитательные:
Задачи урока:
Формы работы: фронтальная.
Методы обучения: словесный, наглядный, практический.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация Microsoft Office PowerPoint.
Учебник: Геометрия 9 класс, Л. С. Атанасян
УУД:
Регулятивные:
- планирование, контролирование и выполнение действий по образцу, владение навыками самоконтроля
Познавательные:
-умение пользоваться формулами разложения векторов.
Коммуникативные:
-самостоятельная деятельность, сотрудничество с учителем
Учащиеся должны:
Знать формулировку и доказательство леммы о коллинеарных векторах и теорему о разложении по двум неколлинеарным векторам;
Уметь решать задачи, применяя полученные знания.
Ход урока.
Актуализация знаний.
Учитель: Вам уже хорошо знакомо понятие вектора, и вы умеете выполнять некоторые действия над векторами. А именно: складывать, вычитать и умножать вектор на число.
Учитель: Что же такое вектор?
Ученик: Отрезок, для которого указанно, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.
Учитель: Какие векторы называют коллинеарными?
Ученик: Это нулевые векторы, которые лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых
Изучение нового материала.
Учитель: На этом уроке мы приступаем к более глубокому изучению вопроса о векторах и для начала запишем лемму о коллинеарных векторах.
Учитель: Лемма, а что же это такое? Леммой называется вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается следующая теорема или несколько теорем. Лемма - доказанное утверждение. (показ презентации)
Лемма. Если векторы
и
коллинеарны и
, то существует такое число
, что
.
Доказательство.
1.
(соноправленные векторы, их направление совпадают)
Пусть
, тогда
.
2.
(противоположно направленные векторы, их направления противоположны)
Пусть
, тогда
.
Лемма доказана.
Выполним задание. (показ презентации)
Выразить коллинеарные векторы
,
,
,
,
и
через коллинеарный им вектор
.
Решение.
Итак, начнём с вектора
Видим, что векторы
и
сонаправлены. Значит, k0.
Также, взяв длину вектора
за единицу, видим что длина вектора
в 3 раза больше.
Можем записать, что вектор
равен произведению вектора
на число 3.
Рассмотрим следующий вектор, вектор
. Он так же сонаправлен с вектором
, поэтому k0. При этом длина вектора
в 6,5 раза больше длины вектора
.
Тогда вектор
равен произведению вектора
на 6,5.
Далее рассмотрим вектор
.
Он противоположно направлен с вектором
. Поэтому k в 5,5 раза больше длины вектора
. Тогда вектор
.
Далее не сложно записать, что вектор
.
Следующим рассмотрим вектор
. Он противоположно направлен вектору
и его длина в 2 раза меньше, поэтому вектор
.
Остался вектор
. Как видите, он нулевой. Нам известно, что нулевой вектор сонаправлен любому вектору. И его длина равна нулю. Поэтому вектор
.
Сейчас вспомним правило параллелограмма сложения двух векторов.
Если векторы-слагаемые
и
отложены от одной точки, то, построив на них параллелограмм ABCD, мы получим вектор
их суммы.
Обозначим вектор
как вектор
. Он равен сумме
.
В свою очередь вектор
всегда можно выразить как произведение коллинеарного ему вектора
на некоторое число x, а вектор
— как произведение коллинеарного ему вектора
на некоторое число y.
Тогда можно записать, что вектор
.
В таком случае говорят, что Вектор
разложен по неколлинеарным векторам
и
.
,
коэффициенты разложения.
Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство.
Пусть данными векторами будут неколлинеарные векторы
и
.
Докажем, что любой вектор
можно разложить по данным векторам.
1.
В этом случае по лемме о двух коллинеарных векторах получаем, что вектор
.
Так же можно записать его разложение по векторам
и
. Только коэффициент разложения при векторе
будет равен нулю
.
2.
Отметим некоторую точку О и отложим от неё векторы
,
и
, равные векторам
,
и
соответственно.
Через точку P проведём прямую параллельную прямой
. Точку пересечения полученной прямой с ОА обозначим как А1.
По правилу треугольника вектор
. Вектор
коллинеарен вектору
, вектор
коллинеарен вектору
. Это значит, что вектор
, а вектор
.
Отсюда получаем, что вектор
. Тем самым мы разложили его по векторам
и
.
Действительно, на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам.
Теперь докажем, что коэффициенты разложения x и y определяются единственным способом.
Допустим, что кроме разложения
возможно другое разложение,
.
Вычтем второе равенство из первого.
Получаем, что нулевой вектор можно разложить по векторам
и
, при этом коэффициенты разложения равны
и
.
.
Такое возможно только в том случае, если данные коэффициенты разложения равны нулю. А значит, при
и
.
Значит, коэффициенты разложения определяются единственным способом.
Что и требовалось доказать.
.
Задания в класе: №911(а,б), №912(а,б,в), №916(а,б,в).
Подведём итоги урока.
Сегодня вы узнали, что любой вектор можно выразить через коллинеарный ему вектор умножением на некоторое число k.
Также мы рассмотрели примеры и убедились в том, что на плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Д/з: №911(в,г), №912 (г-и), №916(г)